Приложение В. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах. Эквивалентность условия Лауэ и концепции отражения Брэгга

Прямоугольный параллелепипед на рис. В. 1 изображает ячейку кристаллической решетки, в которой каждый узел решетки представлен идентичной группой атомов. В разд. 2.7 отмечалось, что дифракционные рентгеновские максимумы возникают в данном направлении от кристалла

Рис. В. 2. Отражение волнового фронта рассеивающими центрами, лежащими в одной плоскости.

с такой решеткой, если рентгеновские лучи, рассеянные в этом направлении группами атомов, связанных с каждым из узлов решетки А, В и С, совпадают по фазе с излучением, рассеянным группой, связанной с узлом 0. Условия Лауэ [уравнение (2.18)] формулируют это требование, а именно

где - единичные векторы, задающие направления падающих и рассеянных рентгеновских лучей; а, b, с - векторы смещения; - целое или нуль, а - длина волны рентгеновских лучей.

Объясняя то же самое явление отражением, Брэгг отмечал, что требование совпадения по фазе рассеянных в А, В и С лучей аналогично оптическому отражению в зеркале с точками А, В, С на его поверхности: при любом угле падения отражение происходит под углом, равным углу падения (рис. В. 2). Как объяснял Брэгг, эта связь отраженной и падающей волн приводит к тому, что волны, рассеянные всеми точками в двух пространственных направлениях относительно плоскости решетки, совпадают одна с другой по фазе. Однако в противоположность отражению в оптике, при падении рентгеновских лучей на плоскость кристаллической решетки амплитуда отраженного пучка составляет очень малую долю от амплитуды падающего пучка. Большая часть излучения проходит через кристалл. Кроме того, лучи, отраженные от последующих плоскостей решетки, параллельных первой, в общем случае не будут совпадать по фазе один с другим. Усиление, однако, можно получить путем подбора угла падения. Как показано на рис. В. 3, для этого требуется, чтобы разность пути равнялась целому числу длин волн. Поскольку то это эквивалентно требованию

Рис. В. 3. Отражение волнового пакета последовательными плоскостями кристаллической решетки, разделенными расстоянием d.

где d - расстояние между рассматриваемыми плоскостями решетки, а целое число n - «порядок» отражения.

Это знакомое нам уравнение Брэгга, а особые значения углов скольжения 0 называют «углами Брэгга». При выполнении условия, выраженного указанным уравнением, рентгеновские волны от всех узлов кристаллической решетки усиливают друг друга; при других углах падения интерференция приводит к снижению интенсивности. Как со свойственной ему проницательностью отмечал Брэгг, это уравнение «представляет собой разновидность знакомого соотношения в оптике, которое определяет цвета при отражении от тонких пленок» (Брэгг, 1975).

Для установления эквивалентности интерпретаций Лауэ и Брэгга и нахождения отражающих плоскостей, которые соответствуют конкретным значениям в уравнении В. 01, мы поступим следующим образом.

Построим на рис. В. 1 плоскость АВС, такую, что где - целые величины в уравнениях Лауэ. Так как - целые, то отсюда следует, что А, В, С лежат в плоскостях решетки, которые проходят через узлы решетки повсюду в той же самой структуре (для которой мы изобразили только одну единичную ячейку). Поскольку при выводе уравнений Лауэ отмечалось, что для получения максимума необходимо, чтобы излучение, рассеянное в узлах А, В, С, опережало (или отставало) излучение от узла О на длин вдян, то излучение от А, В, С должно отличаться только на одну длину волны.

Более удачный вид АВС для очередного шага рассуждений показан на рис. В.4,а, где показана также часть следующей плоскости решетки,

Рис. В. 4.

параллельной АВС и проходящей через О. Теперь можно снова обратиться к уравнениям Лауэ.

При подстановке уравнение (В. 01) принимает вид

Вычитание второго из первого дает

т.е. направление S перпендикулярно ВА.

Вычитание других пар в. уравнении (В. 03) показывает, что S также перепендикулярно . Поэтому S перпендикулярно плоскости АВС. На рис. В. 4,6 мы видим теперь, что S пересекает s и . Поэтому отсюда следует, что s и имеют одинаковый наклон к АВС, в соответствии с представлением об отражении от плоскости решетки АВС.

Поскольку узлы в плоскости АВС дают при рассеянии разность пути в одну длину волны по сравнению с узлами в параллельной плоскости, проходящей через О, то мы также получаем картину Брэгга с усилением излучения, рассеянного на последовательных плоскостях решетки. Если и s расположены под равными углами скольжения

к АВС, которые Брэгг обозначил , то мы можем показать, что расстояние ОР между этими плоскостями равно d в уравнении Брэгга при . Из рисунка имеем

С учетом первого из уравнений Лауэ это дает

Согласно рис. и поэтому

равно d в уравнении Брэгга при

Таким образом, мы показали следующее: во-первых, рассеянные рентгеновские лучи, дающие в соответствии с уравнениями Лауэ дифракционный максимум, испытывают также и отражение, аналогичное оптическому, причем отражаются они в плоскостях структуры решетки, определяемых величинами в уравнениях Лауэ; во-вторых, расстояния между этими плоскостями решетки и угол отражения на них определяются уравнением Брэгга.