2.5. Вариационные принципы в нестационарных задачах

Наиболее важным и фундаментальным из таких вариационных принципов, использующих и время в качестве независимой переменной, является принцип Гамильтона, из которого могут быть выведены основные уравнения для большого

числа физических явлений. Принцип Гамильтона утверждает, что реальное движение системы материальных точек с момента времени до момента таково, что интеграл по времени от разности кинетической и потенциальной энергий системы стационарен для траектории этого движения. Математически это означает, что интеграл от лагранжиана

где Т и V есть соответственно кинетическая и потенциальная энергии системы, имеет стационарное значение для реальной траектории по сравнению с близкими возможными траекториями. Для системы с обобщенными координатами связанные с этим принципом уравнения Эйлера — Лагранжа оказываются такими:

На них обычно ссылаются как на уравнения Лагранжа движения системы.

- В качестве простого примера применения этой теории к сплошной среде рассмотрим случай гибкой струны, на которую действует постоянное натяжение т. Концы струны закреплены, и она совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия — интервала оси . Если -перемещение точки струны перпендикулярно оси , то

где — плотность струны и Уравнение Эйлера — Лагранжа

является волновым уравнением. Таким образом, для струны волновое уравнение эквивалентно требованию минимальности усредненной разности полной кинетической и потенциальной энергий струны в предположении выполнения начальных и граничных условий задачи. Другими примерами применения этой теории служат колебания стержня, мембраны и пластины (Курант и Гильберт, 1951, стр. 215—221).

Вариационные принципы, включающие время как переменную, пока еще редко используются для численного решения

эволюционных задач. Они обычно решаются полудискретными методами Галеркина (см. гл. 6).

Теперь перейдем к нестационарным диссипативным системам и покажем, как можно построить для них вариационные принципы. Применяемый метод состоит во введении сопряженной системы с отрицательным трением. Энергия, теряемая диссипативной системой, передается сопряженной системе, и поэтому полная энергия обеих систем сохраняется. Другой подход, основанный на ограниченных вариационных принципах, можно найти у Розена (1954). В качестве примера рассмотрим одномерный осциллятор с трением. Уравнение его движения есть

Требуется найти вариационный принцип, для которого уравнение Эйлера — Лагранжа совпадало бы с этим уравнением. Это невозможно сделать, но если мы рассмотрим также сопряженный осциллятор (описываемый координатой х с отрицательным трением и с уравнением движения

то для построенного чисто формально лагранжиана

уравнения Эйлера — Лагранжа совпадут с приведенными выше уравнениями движения обоих осцилляторов.

Другим важным примером диссипативной системы является задача о диффузии тепла. В одномерном случае она определяется уравнением

Тогда сопряженную задачу определит уравнение

Эти два уравнения являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для формального лагранжиана