ПРЕДИСЛОВИЕ

Можно считать общепризнанным, что метод конечных элементов является эффективным способом численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Это в особенности верно для эллиптических уравнений, где сразу проявились его преимущества по сравнению с конечно-разностным методом. Метод конечных элементов служит хорошим примером весьма трудной темы, развитие которой стало возможным только благодаря тесному сотрудничеству между инженерами, математиками и специалистами по численному анализу. Принимая во внимание широту интересов его приверженцев, нетрудно понять, почему по методу конечных элементов не написано книги, которая отражала бы должным образом все возрастающий поток публикаций, ему посвященных. Целью нашей книги было заполнить пробел между хорошо известными работами Зенкевича (1976) и Стренга и Фикса (1977), в которых соответственно нашли отражение запросы инженеров и математиков. В старинном споре о сравнительных преимуществах методов конечных разностей и конечных элементов мы не становимся ни на одну сторону — нас вполне удовлетворяет, что есть два таких мощных метода численного решения дифференциальных уравнений с частными производными.

Большая часть книги доступна студентам соответствующих математических и инженерных специальностей. Для ее понимания не требуется специальных математических знаний, выходящих за рамки обычных курсов линейной алгебры и анализа. Исключением является гл. 5, которую при первом чтении можно опустить. Гильбертово пространство и понятия из функционального анализа используются на протяжении всей книги главным образом для унификации изложения материала. Но мы предполагаем, что у читателя есть определенные навыки практической работы с дифференциальными уравнениями в частных производных — только в этом случае наша книга будет для него действительно полезной. Так как отправной точкой для нас чаще являются не уравнения с частными производными, а тот или иной вариационный принцип, то в книгу включена глава о вариационных принципах с летальными ссылками на более подробные руководства.

Мы надеемся, что книга окажется полезной и для специалистов, применяющих метод конечных элементов на практике. С учетом их интересов метод конечных элементов излагается в самых различных вариантах (а именно: в форме Ритца, Галеркина, наименьших квадратов, коллокации), а в гл. 4 приводится большой набор возможных базисных функций, которые могут быть использованы в каждом из этих вариантов. Чтобы сбалансировать включение такого большого по объему практического материала, мы полностью опустили задачи на собственные значения. Некоторым оправданием этого шага служит то, что задачи на собственные значения в близкой нам трактовке подробно изложены в гл. 6 книги Стренга и Фикса (1977).

Библиография была ограничена только теми работами, на которые в книге делаются ссылки по существу. Более полная библиография по методу конечных элементов имеется в книге Уайтмена (1975). Учитывая возможный интерес читателя, мы включили в наш список литературы последние монографии и труды конференций, посвященные главным образом методу конечных элементов (см. Зенкевич (1975), Азиз (1972), Оден (1976), Стренг и Фикс (1977), Грам (1973), Ланкастер (1973, 1976), Миллер (1973, 1975), Уайтмен (1973, 1976), Уотсон (1974, 1976), де Бур (1974), Оден, Зенкевич, Галлагер и Тейлор (1974), Прентер (1975), Хаббард (1971)).

Большая часть материала этой книги излагалась в виде лекций для аспирантов и студентов математических специальностей в университетах Данди и Ливерпуля. Кроме того, первый автор по приглашению Института атомной энергии читал лекции по материалу гл. 2 и 4 в Институте высших исследований НАТО в Кьелере (Норвегия) в 1973 г., а второй — лекции По материалу гл. 3, 5 и 6 в 1973 г. во время своего пребывания в Техническом университете Дании.

Мы весьма признательны нашим коллегам и бывшим студентам за те полезные обсуждения, которые проводились в процессе подготовки этой книги. Мы особенно благодарны Бобу Барнхиллу, Лотару Коллатцу, Дэвиду Гриффитсу, Дирку Лаури, Джеку Ламберту, Петеру Ланкастеру, Робину Маклеоду, Гилу Стренгу, Юджину Уачспрессу, Джиму Уатту и Олеку Зенкевичу. И, наконец, мы благодарны Роз Даджон и Дорин Мэнли, которые с больщой тщательностью перепечатали рукопись.