(В) ЗАДАЧИ О ТОЧНОМ УПРАВЛЕНИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (ХАРЛИ И МИТЧЕЛЛ, 1976)

Теперь применим метод конечных элементов для решения задачи о точном управлении в случае линейного параболического уравнения. Пусть базисные функции состоят из кусочных бикубических полиномов, а дифференциальное уравнение удовлетворяется на каждом элементе в гауссовых квадратурных точках в смысле метода коллокации.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

дополненное начальным условием

и граничными условиями для , состоящими из условия

и либо условия

    (7.18 а)

или же условия

где есть константа. Функции в (7.17) заданы, а определить требуется граничную управляющую функцию g(t) (или G(t)) так, чтобы решение указанной выше системы в некоторый фиксированный момент времени Т в точности совпало с т. е. чтобы

где есть заданная функция.

Область Q нормируем по времени так, чтобы и разобьем ее на квадратов со стороной - , а приближенное решение представим через кусочные бикубические полиномы по и t (см. разд. 4.2). Полное число коэффициентов в такой аппроксимации равно но, конечно, некоторые из них определяются с помощью функций и если число неизвестных коэффициентов есть то идеальным для метода коллокации был бы тот случай, когда удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.15) в М точках, выбранных в области Q. Это дало бы М линейных уравнений относительно М неизвестных параметров. Будем получать эти уравнения по методу коллокации в квадратурных точках Гаусса для каждого элемента. Если на каждом элементе взять по четыре таких точки, то точность аппроксимации заданными базисными функциями будет наилучшей (ср. с разд. 3.4). При этом получится уравнений с М неизвестными, т. е. недоопределенная система. Это нежелательно, и поэтому мы возьмем по девять гауссовых узлов на каждом элементе, что даст уравнений с М неизвестными, т. е. переопределенную систему. Последняя решалась численно по методу наименьших квадратов — с деталями можно познакомиться в работе Харли и Митчелла (1977).

Здесь представлены численные результаты для двух таких задач, точные решения которых известны. Управляющая функция в первой задаче является составной частью граничного условия Неймана (7.18 а), а во второй задаче — составной частью смешанного граничного условия В обоих

Таблица 7

Таблица 8

случаях для функции состояния и функции управления вычислялись модули ошибок в рассматриваемых узлах. В табл. 7 и 8 приводится процент таких узлов от их общего числа, в которых модули ошибок были меньше чем

Задача 1.

и

Требуется найти функцию управления (см. (7.18 а)), если точное решение имеет вид

и

Задача 2.

и

Требуется найти управляющую функцию при (см. ), если точное решение имеет вид

и