(Е). ЗАДАЧИ О КОНВЕКЦИОННОЙ ПРОВОДИМОСТИ

На неадекватность многих стандартных конечноэлементных методов в применении к задачам, содержащим как первые, так и вторые производные искомой функции, впервые обратил внимание авторов О. Зенкевич. Это в особенности так, если коэффициенты при первых производных оказываются сравнительно большими. Типичным примером такого рода служит задача о стационарном течении несжимаемой вязкой жидкости; здесь уравнение переноса завихрения в двумерном случае имеет вид

где w обозначает завихрение, и и v являются компонентами скорости, a v есть коэффициент кинематической вязкости. Коэффициенты при первых производных в (7.25) по порядку величины эквивалентны числу Рейнольдса и поэтому принимают большие значения во многих практических задачах.

Чтобы показать те трудности, с которыми приходится сталкиваться при численном решении уравнения (7.25), рассмотрим одномерное модельное уравнение

где положительно и предполагается постоянным. Разобьем интервал [0,1] на N равных частей длины точками В численных примерах использовались граничные условия

получающиеся из точного решения

Решение Галеркина W удовлетворяет системе уравнений

где

и штрих означает дифференцирование по . Если предположить базисные функции кусочно-линейными, то (7.29) сведется к системе разностных уравнений

Эта система имеет точное решение

и поэтому при

будут иметь место осцилляции.

Теперь заменим (7.29) системой

где W снова имеет вид (7.30) с теми же самыми кусочно-линейными базисными функциями а в качестве пробных функций взяты асимметричные кусочно-линейные базисные функции, показанные на рис. 32. Такие функции были предложены Д. Ф. Гриффитсом и имеют вид

Рис. 32.

где и а есть тангенс угла наклона среднего звена со знаком минус. Асимметричные функции совпадают со стандартными кусочно-линейными базисными функциями при Теперь коэффициенты аппроксимации (7.30) будут удовлетворять системе разностных уравнений

имеющей точное решение

Разностные уравнения (7.33) имеют первый порядок точности, если и

Если ввести еще обозначение

то точное решение (7.34) перепишется в виде

Следовательно, в конечноэлементном решении не будет осцилляций, если

или

Отметим, что три стандартные конечноразностные аппроксимации уравнения (7.26) получаются в следующих случаях:

При получаются уравнения Галеркина (7.31); только они имеют второй порядок точности.

Наконец, мы получим решение Галеркина, используя кусочные квадратичные базисные функции, показанные на рис. 33. После проведения соответствующих выкладок получаются разностные уравнения

в целых узлах и

в полуцелых узлах. После исключения неизвестных в полуцелых узлах получим систему разностных уравнений

,

имеющую точное решение

Это решение свободно от осцилляций при любых значениях h и

Численные результаты приведены в табл. 12, где сравниваются конечноэлементные решения, полученные для линейных и квадратичных базисных функций. Для линейных функций были выбранц два случая, а именно (центральное

Рис. 33.

разности) и (разности назад). Осцилляции видны в случае центральных разностей при Не вызывает сомнения то, что для этой частной задачи можно получить лучшую точность при том же объеме вычислений, уменьшая размеры элементов с приближением к правой границе. Однако в тех случаях, когда форма ответа не известна заранее, неравномерные сетки редко используются на первой стадии работы над задачей. Дальнейшие подробности по этому вопросу можно найти у Кристи (1975).