3.3. Метод Канторовича (или полудискретный метод)

Другим подходом к применению прямых методов аппроксимации является получение приближенного решения вида

где неизвестные коэффициенты уже не скаляры, а функции одной из независимых переменных, например, тогда рассматриваются как функции оставшихся

переменных, т. е.

Этот метод часто связывают с именем Л. В. Канторовича (Канторович, 1933); он лежит в основе большинства конечно-элементных методов решения нестационарных задач, рассмотренных в гл. 6. В применении к краевым задачам метод Канторовича весьма похож на хорошо известный метод прямых (Березин и Жидков, 1962).

Рассмотрим метод Канторовича на простом примере получения приближенного решения уравнения (3.2) с граничными условиями (3.2 а). Берется аппроксимирующее подпространство содержащее функции только одного аргумента у, по (3.2 а) такие функции будут удовлетворять условиям

Приближенное решение вида

вычисляется путем минимизации функционала из (3.3) относительно неопределенных функций Чтобы сделать это, необходимо сначала переписать функционал I следующим образом:

где

Это можно сделать, так как функции известны, а интегралы в (3.14) можно вычислить точно. Чтобы получить стационарную точку функционала

мы поступим согласно процедуре, описанной в предыдущей главе, и получим уравнения Эйлера—Лагранжа, соответствующие вариациям каждой а, Это необходимо делать с учетом того, что коэффициенты а,- уже не просто скаляры. Поэтому они определяются из системы N уравнений

где штрих означает дифференцирование по определяется в (3.14). Поэтому неизвестные функции входящие в приближенное решение (3.13), получаются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

где

при условии, что

Упражнение 3. Решите систему уравнений (3.15), используя кусочно-линейные базисные функции определенные на интервале с равномерным разбиением по формулам (1.3). Сравните результаты, полученные для различных значений N, с приведенными в табл. 1.

Полудискретный метод можно применять к задачам как с неоднородными граничными условиями Дирихле, так и с естественными раничными условиями. Процедура усложняется, когда функционал нужно дополнить интегралами по границе.

Упражнение 4. Найдите функционал который можно было бы использовать для получения решения уравнения (3.2) в области при условии на границе.

Вообще говоря, при решении краевых задач полудискретный метод эффективен только при условии, что получающаяся одномерная задача может быть решена непосредственно и точно. Несколько таких примеров есть у Эльсгольца (1958), с. 152. Применения к задачам с начальными данными имеют большее значение, и мы будем иметь с ними дело в гл. 6.