3.4. Метод Галеркина

Пока что в этой главе мы рассмотрели ряд методов аппроксимации решения линейного дифференциального уравнения

для удовлетворяющего определенным граничным условиям. Для всех этих методов - предполагалось, что дифференциальный оператор А удовлетворяет таким условиям, что функция является решением вариационной задачи

для некоторого функционала . В этом случае можно показать (Михлин, 1976), что функционал может быть записан в виде

где

Обобщение этого результата на случай нелинейных операторов подробно рассмотрено Вайнбергом (1956). В нескольких примерах, приведенных в предыдущих разделах этой главы, был использован оператор вместе с функционалом

Используя теорему Грина (Курант и Гильберт, 1951, с. 241), это выражение можно получить (при определенных граничных условиях) из стандартной формы (3.18).

Упражнение 5. Укажите граничные условия для при которых справедлив переход от (3.18) к (3.19).

Использование интегрирования по частям — т. е. теоремы Грина — для преобразования функционала из стандартной формы (3.18) к такому виду, при котором требуется меньшая гладкость допустимых функций является одной из основ успеха метода конечных элементов (Прентер, 1975, с. 229).

Аппроксимация Ритца решения вариационной задачи (3.17) может считаться решением уравнения только тогда, когда мы имеем оператор А требуемого вида. Но даже если это не так и (3.20) не справедливо, система уравнений

все еще определяет приближенное решение для (3.16). В действительности систему (3.21) можно использовать, даже если оператор нелинеен. Таким образом, метод конечных ментов можно использовать для решения значительно более широкого класса задач, чем класс задач, допускающих вариационную формулировку. Однако все же желательно, чтобы (3.21) можно было бы интегрированием по частям преобразовать так, чтобы уменьшить требуемую гладкость функций Такие аппроксимации решения обычно связывают с именем русского математика Б. Г. Галеркина (1871 — 1945). Во многих советских учебниках о них говорят как о методе Бубнова—Галеркина (Михлин и Смолицкий, 1965; Вулих, 1967).

Слабые решения

Часто функцию которая удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

называют классическим решением, в отличие от слабого решения, которое удовлетворяет уравнению

или

Пространство содержит все измеримые допустимые функции, которые обращаются в нуль на границе про такие функции иногда говорят, что они имеют компактный носитель. Пространство содержит только те допустимые функции, для которых измерима.

Отсюда следует, что если оператор А имеет порядок то слабая форма (3.22 а) требует, чтобы решение и имело измеримые производные порядка что в терминах пространства Соболева (см. гл. 5) можно Записать как Однако вторая слабая форма задачи требует только, чтобы для пробных функций v — наоборот. Дополнительное требование обращения в нуль v на границе обычно — как в гл. 5 — указывается как

С вычислительной точки зрения наиболее полезная слабая форма задачи, называемая далее галеркинской формой, возникает из (3.22 а) или из после k интегрирований по частям. В этой галеркинской форме требования гладкости минимальны в том смысле, что Обычно в этом случае задача записывается так:

где новое пространство пробных функций очевидно, удовлетворяет вложениям

Например, галеркинская форма дифференциального оператора — имеет вид

где в этом случае Форма Галеркина дифференциального оператора (см. гл. 2) выглядит так:

Можно показать, что при достаточно внимательном отношении к граничным условиям слабое решение единственно и совпадает с классическим: один из таких результатов приводится в теореме 5.2 гл. 5. Существование и единственность слабых решений изучаются также в книгах Берса, Джона и Шехтера (1966), с. 206, Нечаса (1967), с. 23 и Лионса и Мадженеса (1971), § 2.9. В этой книге предполагается, что пространства выбраны правильно, а тогда решения задач (3.22 а), и (3.23) совпадают с требуемым классическим решением. Вообще единственной рассматриваемой

здесь слабой формой является форма Галеркина. Аппроксимация Галеркина U удовлетворяет системе

Поскольку функции порождают конечномерное подпространство утверждение, эквивалентное системе уравнений (3.24), есть

Заметим, что и (или U) не обязательно из энергетического пространства, это требование накладывается только на v (или F). Так, если заданы неоднородные граничные условия Дирихле, то может быть удобным использовать аппроксимацию вида

где функция W удовлетворяет граничным условиям.

В уравнениях Галеркина естественно предполагать, что приближение U и пробные функции V определяются одним множеством базисных функций . В этом случае в задачах, в которых возможны как аппроксимации по Ритцу, так и аппроксимации по Галеркину, оба метода приводят к одному и тому же решению. Другая аппроксимация получается с использованием тех же базисных функций но при пробных функциях, выраженных через некоторые где — разцые подпространства пространства 26.

Метод наименьших квадратов можно рассматривать как метод этого типа Использование двух множеств, несовпадающих базисных функций для определения аппроксимации указанного выше вида из условий

приводит различных авторов к развитию так называемых сопряженных аппроксимаций (см. Оден, 1976, и приведенную там библиографию) и к так называемому методу взвешенных невязок (см. Финлейсон и Скривен, 1967, и имеющиеся там ссылки). В разд. 7.4(E) на примере показано, что в некоторых практических задачах есть определенные вычислительные преимущества, связанные с выбором пробных функций другого вида, нежели приближенное решение. Однако ни здесь, ни в гл. 5 нет возможности для обсуждения теоретических выгод таких методов; для этого читателю следует обратиться к указанной литературе.

Метод Галеркина можно применить к решению нелинейных задач, но только в специальных случаях удается получить слабую форму с меньшими требованиями гладкости. Один из примеров такого рода — дифференциальное уравнение

Оно приводит к форме Галеркина

Сопряженные формулировки

Вариационное исчисление можно распространить на широкий класс задач, допускающих применение метода Галеркина. В предыдущей главе был получен формальный лагранжиан диссипативной системы путем рассмотрения сопряженной задачи. Если ищутся приближенные решения как основной, так и сопряженной задач, то аппроксимация Галеркина находится из условия стационарности этого лагранжиана. Фактически (3.24) возникает как необходимое условие стационарности лагранжиана.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение

в некоторой области при условии на границе Будем называть эту задачу основной. Сопряженной задачей будет решение сопряженного уравнения

в R при аналогичном граничном условии

Нетрудно убедиться в том, что (3.26) и (3.27) оказываются уравнениями Эйлера — Лагранжа, соответствующими вариации функционала

Следует, однако, помнить, что основное уравнение (3.26) получается из условия

    (3.29 а)

а не из условия

так как ведет к сопряженному уравнению.

Если мы ищем приближенное решение основной задачи в виде то приближенное решение сопряженной задачи необходимо получить в той же форме, другой вид сопряженной аппроксимации даст скорее (3.25), чем (3.24). Эти приближения можно найти как стационарную точку функционала (3.28) относительно неизвестных коэффициентов а, и Таким образом мы от (3.29 а) приходим к

а от

    (3.30 а)

Если мы рассматриваем функционал из (3.28), приближенное решение основного уравнения получается из системы уравнений

Более прямой способ получения аппроксимации Галеркина следует из слабой формы уравнения (3.26). Легко проверить, что слабой формой Галеркина уравнения (3.26) является

где

а отсюда сразу получаем, что аппроксимация Галеркина, возникающая из системы уравнений

удовлетворяет уравнениям (3.31). Таким образом, на примере данной задачи показано, как одна и та же система уравнений может быть получена двумя математически разными

способами: как слабая форма исходного дифференциального уравнения, или как условие стационарности некоторого функционала. Сопряженная задача, нужная для определения подходящего функционала, вообще говоря, является всего лишь математическим приемом и не имеет физического смысла. Поэтому в дальнейшем метод Галеркина исследуется на основе слабой формы уравнения, на другую же формулировку делаются только ссылки.

В качестве примера возьмем уравнение (3.26) в области с граничными условиями

Применим к этой задаче метод конечных элементов Галеркина для получения приближенного решения на классе кусочнобилинейных функций, использованном ранее. Введем функцию

которая удовлетворяет граничным условиям, после чего найдем аппроксимацию Галеркина вида

из системы уравнений (3.31). Результаты вычислений при различных сетках, описанных ранее, приводятся в табл. 2. На рис. 10 изображено положение точек, включенных в таблицу. Хотя здесь нет той симметрии, которая была ранее, необходимо

Таблица 2

Рис. 10.

рассматривать все еще только половину области. Точное решение уравнения (3.26), удовлетворяющее граничным условиям (3.33), выглядит так:

Здесь следует подчеркнуть, что во всех вариантах метода Галеркина система уравнений получается без особых затруднений.

Полудискретный метод Галеркина

Если метод Галеркина следует из вариационного принципа, получаемого с помощью введения сопряженной задачи, должно быть ясно, что, применяя метод, описанный в разд. 3.3, можно свести диссипативное уравнение с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Такой подход имеет небольшую ценность для решения краевых задач, и так как для задач с начальными данными нет вариационной формулировки, мы не рассматриваем подробно этот метод. Следующее ниже упражнение предназначено читателям, интересующимся данным методом.

Упражнение 6. Положим

    (3.34 а)

где кусочно-линейные функции. Постройте функционал соответствующий уравнению (3.26) с граничными условиями (3.33), а затем, используя указанные в (3.34 а) и (3.34 Ь), найдите решение уравнений

т. е. определите полудискретное решение Галеркина уравнения (3.26), удовлетворяющее (3.33). Сравните ваше решение с результатами, приведенными в табл. 2.

Метод переменных направлений Галеркина (ПНГ) для случая прямоугольных областей (Дуглас и Дюпон, 1971)

Когда метод конечных элементов применяется к одномерным линейным задачам, матрица получающейся системы линейных алгебраических уравнений имеет простой ленточный вид, тогда как задачи большей размерности дают блочно-ленточные матрицы, у которых каждый блок сам является ленточной матрицей. Например, в двумерном случае билинейная аппроксимация часто приводит к системе с матрицей вида

где С, D и Е — трехдиагональные матрицы.

Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. дающих максимальную точность при минимуме времени и памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же, что и в методе переменных направлений в разностных схемах, а именно свести систему уравнений многомерной задачи к последовательности систем, по форме аналогичных системам уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл, 1967).

Для того чтобы применять метод ПНГ, необходимо предполагать, что базисные функции имеют форму тензорного произведения, т. е.

Матрицу можно тогда разложить так, что

Если -матрица и -матрица, то матричное тензорное произведение, обозначаемое , есть -матрица

Теперь матрицу G можно записать как

если узлы упорядочены по столбцам. Система уравнений принимает вид

и решается посредством итераций

в два этапа:

Можно расщепить эти уравнения так, что если — столбец значений на сетке, — строка значений на сетке, то (3.35 а) переходит в

а

Дуглас и Дюпон показали, что при подходящем выборе последовательности параметров итераций метод ПНГ оказывается быстро сходящимся.

Метод коллокации

Метод коллокации во многих отношениях подобен методу Галеркина. Он предусматривает такой выбор коэффициентов в представлении

что дифференциальное уравнение удовлетворяется точно в некоторых определенных точках. Было показано и Шварц, 1973; Лукас и Редин, 1972; Элберг и что для обыкновенных дифференциальных уравнений при правильном выборе точек коллокации метод подобен по точности методу Галеркина с тем же самым набором базисных функций . Если, например, базисные функции являются эрмитовыми кусочно-полиномиальными функциями степени точки коллокации на кажом подынтервале берутся в нулях полинома Лежандра

Преимущества метода коллокации состоят в следующем:

(I) Нет скалярных произведений, а значит, не нужно интегрировать, как в методах Галеркина и Ритца.

(II) Окончательные алгебраические уравнения имеют меньше членов, чем соответствующие уравнения для аппроксимаций Галеркина.

Главный недостаток метода коллокации заключается в необходимости использовать базисные функции степени (по меньшей мере) для дифференциального уравнения порядка

Методы, использующие коллокацию, были разработаны также и для эволюционных задач (Дуглас и Дюпон, 1973). Пример, включающий коллокацию, приводится в разд. 7.4(B).