ГЛАВА 4. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ

В разд. 1.1. были построены элементарные базисные функции для прямоугольных и многоугольных областей, причем первые разбивались на прямоугольные элементы, а вторые — на треугольные. В данной главе базисные функции строятся для разнообразных по форме элементов в случаях двух и трех измерений.

4.1. Треугольник

(А) Лагранжева интерполяция

Треугольник, или двумерный симплекс, является, вероятно, наиболее широко используемым конечным элементом. Одна из причин этого в том, что любую область в двумерном пространстве можно аппроксимировать многоугольниками, которые всегда можно разбить на конечное число треугольников. Кроме того, полный полином порядка

    (4.1)

может быть использован для интерполяции функции, скажем по значениям в симметрично расположенных узлах в треугольнике. Первые три случая этого общего представления для треугольника с координатами вершин соответственно таковы:

(1) Линейный случай Здесь интерполирующий полином имеет вид

где — значения в вершинах а

где

причем произвольная перестановка из (1, 2, 3), а удвоенная площадь треугольника нетрудно заметить, что

(2) Квадратичный случай Теперь полином имеет

где — значения в вершинах средних точках сторон соответственно. Функции задаются формулами

— аналогично). Снова видно, что

Особо отметим, что базисные функции можно выразить через базисные функции Это верно почти для всех базисных функций, которые мы рассматривать, и поэтому для упрощения формул мы будем писать просто вместо .

(3) Кубический случай Интерполирующий полином есть

где — значения в вершинах — в точках трисекции сторон, а — значение в центре тяжести треугольника. Базисные функции

таковы:

аналогично

аналогично , а

Десятый параметр может быть исключен с помощью линейного соотношения

и получающаяся функция будет еще точно интерполировать квадратичные функции (Сьярле и Равьяр, 1972 а); это пример так называемого исключения внутренних параметров. Треугольники для показаны на рис. 11.

Упражнение 1. Проверьте, что

интерполирует квадратичные полиномы точно, если

Упражнение 2. Покажите, что

Упражнение 3. Выразите через .

Вернемся теперь к общему случаю полного полинома порядка (см. (4.1)). Этот полином имеет коэффициентов, которые могут быть выбраны так, чтобы полиномом интерполировал по значениям в симметрично расположенных точках треугольника

координаты которых

где — целые числа, удовлетворяющие условиям Эти точки включают три вершины треугольника Остальные точки получаются разбиением каждой стороны треугольника на равных частей как точки пересечения прямых, параллельных сторонам треугольника и проходящих через точки разбиения. В результате получается разбиение треугольника на равных треугольников, чьи вершины суть точек, описанных в (4.5). Если обозначить значение в такой точке, интерполирующий полином степени можно выразить формулой

где суммирование осуществляется по всем точкам, а — полиномиальная базисная функция степени ту принимающая значение 1 в точке, связанной с тройкой и значение 0 во всех остальных узлах. Формула (4.6) — интерполяционная формула лагранжева типа.

Рис. 11.

Стандартный треугольник

Из формулы (4.2) легко вывести, что

(II) линейные уравнения представляют стороны треугольника соответственно и в вершинах соответственно.

Иначе говоря, треугольник в плоскости преобразуется в стандартный треугольник в плоскости по формулам (4.2), причем (см. рис. 12). Обратное преобразование плоскости в плоскость выражается формулами

    (4-7)

Поскольку все треугольники треугольной сетки в плоскости могут быть преобразованы в этот стандартный треугольник, очень удобно работать со стандартным треугольником и в нужный момент выражать результат в терминах конкретного треугольника плоскости с помощью линейного преобразования (4.7). Эта процедура будет использоваться неоднократно в этой главе и в следующей, когда будут встречаться треугольные элементы.

Рис. 12.

Геометрический метод построения базисных функций

Опишем теперь для треугольника в квадратичном и кубическом случаях простую геометрическую процедуру построения базисных функций, полученных из лагранжевой интерполяции. К примеру, в первом случае базисная функция должна быть равной нулю в узлах и единице в узле Прямая проходит через точки и а прямая линия проходит через точки и таким образом получается базисная функция Функции получаются аналогично. Базисная функция в узле, расположенном посредине стороны, скажем в получается из прямых которые проходят через точки соответственно. Требуемая базисная функция, нормированная в точке есть функции получаются аналогично. В кубическом случае построения осуществляются аналогичным образом.

С-аппроксимирующие функции

В общем случае функция интерполируется по значениям в точках в треугольнике. На стороне треугольника интерполирующая функция сводится к полиному степени от переменной s, которая измеряется вдоль стороны треугольника. Этот полином интерполирует по значениям в точках на стороне треугольника и, значит, определен однозначно. Кроме того, при любой триангуляции каждая сторона (внутри области) принадлежит двум треугольникам. Если функция интерполирует в каждом треугольнике по симметрично расположенным точкам, она представляется единственным полиномом от s степени на общей стороне. Это означает, что интерполирующая функция на полной треугольной сетке непрерывна на внутренних сторонах сетки и, таким образом, имеет на многоугольной области гладкость

(В) Эрмитова интерполяция

Как альтернативу интерполяции функции на большом числе точек, симметрично расположенных в треугольнике,

можно рассматривать интерполяцию и некоторых ее производных по меньшему числу точек.

Класс полиномов, соответствующий этой задаче, содержит полные полиномы нечетной степени которые определяются значениями

Здесь — вершины треугольника, а — его центр тяжести; где — неотрицательные целые

Это пример мультииндексных обозначений производных. Первые два случая этого общего представления таковы:

(1) Кубический случай Здесь полный кубический полином имеет десять коэффициентов, которые определяются по значениям функции и ее первых частных производных в вершинах и по значению функции в центре тяжести треугольника, причем однозначно. Поэтому в этом случае мы можем записать полином данный в (4.4), в виде

где

получается из заменой g на ). В этих формулах -любая циклическая перестановка (1, 2, 3). Этот элемент широко используется в методе конечных элементов.

(2) Случай полинома пятой степени Полный полином пятой степени имеет 21 коэффициент; они однозначно определяются значениями функции и ее первых и вторых частных производных в вершинах и значениями функции и ее первых частных производных в центре тяжести. Этот элемент редко используется на практике и поэтому не рассматривается здесь подробно.

Упражнение 4. Покажите, что на стороне треугольника функция, заданная в (4.9), сводится к полиному степени 3 по переменной s, которая определяется вдоль стороны треугольника. Покажите также, что этот полином однозначно определяется значениями функции и ее первых частных производных в вершинах, являющихся концами стороны. Отсюда покажите, что интерполирующая функция этого элемента имеет гладкость

В случае кубической эрмитовой интерполяции можно исключить значение в центре тяжести и еще точно интерполировать квадратичные полиномы. В этом случае делается замена

где обозначает суммирование по для всех циклических перестановок (1, 2, 3).

Интерполирующий полином теперь имеет вид

где

— любая перестановка (1, 2, 3). Функции s получаются из заменой на

Упражнение 5. Проверьте, что квадратичные функции точно интерполируются сокращенным кубическим интерполянтом.

Упражнение 6. Используя линейное преобразование по формулам (4.7), покажите, что (4.10) в переменных стандартного треугольника имеет вид

где

и функции задаются формулами

Для доказательства можно воспользоваться соотношением

где — любая перестановка (1, 2, 3).

Упражнение 7. В частном случае найдите из (4.10), а затем покажите, что производные от по нормалям к сторонам описываются формулами

где

Трикубическая интерполяция

Биркгоф (1971) предложил треугольный элемент, включающий двенадцатипараметрическое семейство всех полиномов четвертой степени, которые кубичны вдоль любой прямой, параллельной любой стороне треугольника. Относительно стандартного треугольника такое семейство выражается формулой

причем

Полином (4.11) называется трикубическим: Этот полином однозначно определяется по значениям в каждой вершине. Здесь — смешанная производная, вычисляемая в каждой вершине по направлениям и s, параллельным смежным сторонам. Эту единственную интерполирующую функцию можно представить в виде

где коэффициентами при служат значения соответствующих производных от U в вершине стандартного треугольника (рис. 12). Функции и имеют вид

где - любая перестановка (1, 2, 3). Заметим, что здесь представляют производные в плоскости . Смешанные производные суть просто соответственно, где

Единственная интерполирующая трикубическая функция для конкретного треугольника на плоскости получается из (4.12) с помощью линейного преобразования (4.2), т. е. подстановкой вместо их выражений из (4.2).

Упражнение 8. Покажите, что трикубические полиномы дают аппроксимирующую функцию гладкости (т. е. просто непрерывную) на сетке треугольных элементов.

(С) С1 - АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ

Рассматриваемый здесь треугольный элемент использует полное семейство полиномов пятой степени. На плоскости стандартного треугольника полный полином пятой степени имеет вид

Коэффициенты можно выразить через , где -вершины, а — середины сторон. Функция заданная в (4.13), сводится к полиному пятой степени по s вдоль каждой стороны треугольника, определенному однозначно 6 граничными условиями, а именно значениями на концах каждой стороны. Нормальная производная на каждой где суть соответственно, есть полином четвертой степени по s; он определяется однозначно значениями и на концах каждой стороны и значением в середине стороны. Отсюда видно, что полные полиномы пятой степени дают аппроксимирующую функцию на сетке треугольных элементов, непрерывную вместе со своими первыми производными на всей области. Про такую функцию говорят, что она имеет на области гладкость

На самом деле параметры, соответствующие нормальным производным в серединах сторон, можно исключить без потери С-гладкости на треугольной сетке. Это можно сделать, если предположить кубическое поведение нормальной производной вдоль каждой стороны, а это эквивалентно требованию,

что

Таким путем от (4.13) мы приходим к семейству полиномов, зависящему от 18 параметров, и однозначно определенная интерполирующая функция получается по формуле

где

и — циклические перестановки (1, 2, 3),

Корректирующие функции

В другом методе получения С-аппроксимирующей функции на треугольной сетке берется -аппроксимирующая функция из (4.10) и к ней добавляются корректирующие члены, которые повышают гладкость функции до Эти корректи рующие функции должны обращаться в нуль на периметре треугольника и сводить нормальную производную функции вдоль сторон треугольника от квадратичной к линейной функции, разумеется, без потери непрерывности функции и ее первых производных внутри треугольного элемента.

Одно семейство корректирующих функций, широко используемых на практике (Зенкевич, 1967, с. 113), имеет вид

где — перестановка (1, 2, 3). Фактически Дюпюи и Гёль (1970) показали, что С-гладкость получается, если к правым частям (4.10 а) и добавить

где — любая циклическая перестановка (1, 2, 3), — угол треугольника у вершины — длина стороны, лежащей против вершины получается из заменой на и I соответственно.

Упражнение 9. Покажите, что в случае дополнительные члены имеют вид

где

Отсюда, используя результат упражнения 7, покажите, что нормальные производные линейны вдоль каждой стороны треугольника.

Другие корректирующие функции, указанные Клафом и Точером (1965), получаются так. Каждый треугольник разбивается на три треугольника с общей вершиной в центре тяжести. Корректирующие функции выражаются формулой

где — треугольник напротив вершины — любая перестановка (1, 2, 3). Добавки получаются из из (4.16).

Упражнение 10. Для треугольника упражнения 9 найдите корректирующие функции А, Б, С из (4.16) и покажите, что на стороне, описываемой уравнением

на стороне с

и на стороне, точки которой удовлетворяют уравнению

где Покажите, что отсюда следует линейное изменение нормальных производных от вдоль сторон. (Указание. Используйте зультат упражнения 7.)

Упражнение 11. Пусть функции имеют вид

на малых треугольниках Г. Проверьте, что

(I) в вершинах и

(II) на сторонах

тогда и только тогда, когда

для любых констант и т. д., где - любая перестановка (1, 2, 3).

После этого докажите, что функции заданные в (4.16), имеют С-гладкость на треугольнике если приравнять и т. д. и их производные вдоль внутренних линий раздела.

Последний набор корректирующих функций таков:

где - циклическая перестановка (1,2,3). Биркгоф и Менсфилд (1974) использовали его для добавления к трикубическому полиному с целью получить -гладкость на треугольной сетке. Это -гладкое семейство, зависящее от 15 параметров, легко выразить через значения в вершинах и в серединах сторон, где обозначают частные производные по направлениям сторон и нормалей соответственно. Айронс (1969) использовал некоторые корректирующие функции для добавления к полному полиному четвертой степени и таким образом получил семейство, зависящее от 18 параметров, которое также имеет -гладкость на треугольной сетке.