6.3. Полудискретный метод Галеркина

Полудискретные методы, кратко упомянутые в разд. 6.1, позволяют обойтись без вариационной постановки эволюционных задач, включающей все независимые переменные. Они составляют основу наиболее употребительных методов решения таких задач. В гл. 3 различные модификации полудискретного метода применялись к эллиптическим задачам, но там такой подход оказывается несущественным. Первым шагом является переход к дифференциальному уравнению в слабой форме — как это было при рассмотрении методов Галеркина для эллиптических задач. Как и в гл. 3, здесь не делается попыток доказать эквивалентность классического и галеркинского решений дифференциального уравнения: будем считать, что решение единственно и совпадает с ними обоими.

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение

где А есть дифференциальный оператор второго порядка, который в двумерном случае имеет вид

Уравнение (6.15) дополняется начальным условием

    (6.15 а)

и граничным условием

Соответствующая слабая форма задачи в обозначениях параграфа 3.4 такова, что при

совместно с начальным условием

Ясно, что для этой модельной задачи (если вспомнить обозначения гл. и решение и Если заданы граничные условия более общего вида, то может оказаться необходимым модифицировать слабую форму задачи добавлением интегралов от граничных значений. Такая модификация функционалов рассматривалась в гл. 2, 3 и 5, Полудискретная аппроксимация U теперь определяется из уравнения в слабой форме: это означает, что при выполняется уравнение

с начальным условием

Для модельной задачи Если функции образуют базис подпространства то можно дать эквивалентную формулировку: полудискретная аппроксимация при удовлетворяет уравнению

и условиям

    (6.18 а)

Для этой модельной задачи снова следует, что V и U должны обладать одинаковыми свойствами (по ), так что а аппроксимация Галеркина имеет вид

Если заданы неоднородные граничные условия Дирихле, то аппроксимацию Галеркина можно представить в виде

где удовлетворяет граничным условиям. Как и для эллиптических задач, функция V должна только принадлежать энергетическому пространству, а на аппроксимацию U такого требования не накладывается.

Аппроксимация Галеркина определяется из системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций

Из (6.18) следует, что для модельной задачи эти уравнения могут быть записаны как

а начальные условия (6.18 а) примут вид

где

Определяемые из (6.20b) коэффициенты удовлетворяют условию

для определенных задач это обстоятельство может быть использовано с целью замены другой аппроксимацией исходных данных или для изменения формы аппроксимации таким образом, чтооы точно удовлетворить начальному условию (разд. 6.1).

В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим простейшее уравнение диффузии

решение которого удовлетворяет условиям

и

Приближенное решение этой задачи имеет вид

где базисные функции удовлетворяют граничному условию,

Тогда система уравнений (6.20) примет вид

где

и

Хотя полудискретные методы разработаны теоретически главным образом в применении к параболическим уравнениям, они с таким же успехом могут применяться и к гиперболическим уравнениям, в особенности к уравнениям вида

которые описывают затухающие механические колебания. Для таких задач полудискретная аппроксимация вида

приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Эту систему дополняют две последовательности начальных условий

и

коэффициенты определяются заданными начальными значениями

и

так, чтобы

и

соответственно.

Нелинейные задачи

В гл. 3 мы привели пример нелинейного уравнения которое может быть решено методом Галеркина. В то же время нужно помнить, что преимущества метода Галеркина не могут быть полностью реализованы, если невозможно применить интегрирование по частям для упрощения скалярных произведений. Это верно и в том случае, когда мы применяем полудискретный метод Галеркина для решения нелинейного параболического уравнения

Рассмотрим в качестве примера такой же нелинейный член, как и в эллиптическом случае, а именно

Чтобы применить полудискретный метод Галеркина к этому уравнению, сначала необходимо переписать уравнение в слабой форме

Затем второй член упрощается с помощью интегрирования по частям, после чего получится система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(ср. с (6.22) и с (6.37), где Вопрос о решении такой нелинейной системы обсуждается ниже в этой главе.

Упражнение 4. Опишите полудискретный метод Галеркина, построенный с помощью кусочно-линейных базисных функций, в применении к уравнению затухающих колебаний струны

дополненному граничными и начальными условиями

Упражнение 5. Опишите полудискретный метод в применении к уравнению

дополненному начальными и граничными условиями

где есть граница области является внешней нормалью к границе.

Упражнение 6. Покажите, что применение полудискретного метода Галеркина к линейному дифференциальному уравнению

приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где матрицы Р, Q и R не зависят от времени и