3.5. Проекционные методы

Ранее в этой главе эквивалентность вариационного уравнения

и дифференциального уравнения

использовалась для получения приближенного решения вида

Параметры определяются из вариационных уравнений

которые можно записать в более явной форме

В разд. 1.3 показано, что если — гильбертово пространство со скалярным произведением — любое -мер-ное подпространство то для любого его ортогональная проекция на

такова, что

где образуют базис . Отсюда следует, что q является единственной наилучшей аппроксимацией, как и в разд. 1.2. Теперь покажем, что не только (3.38) и (3.40) кажутся похожими, но и аппроксимации обладают аналогичными свойствами.

Пусть — пространство допустимых функций, соответствующее дифференциальному уравнению с заданными граничными условиями. Тогда энергетическое пространство оператора А данной задачи есть подпространство содержащее все допустимые функции такие, что функционал определенный в разд. 3.4, ограничен. Скалярное произведение в энергетическом пространстве определяется как

а норма, которую называют энергетической нормой, — как

В этом определении предполагается, что если можно преобразовать скалярное произведение используя интегрирование

по частям, то именно преобразованная форма используется в определении энергетического пространства. Если это сделано, энергетическое пространство оказывается полным, а значит, гильбертовым.

Теорема 3.1. Если линейный оператор А положителен и самосопряжен, приближенное решение Ритца дифференциального уравнения является ортогональной проекцией точного решения на аппроксимирующее подпространство энергетического пространства. Таким образом, аппроксимация Ритца есть наилучшая аппроксимация в смысле энергетического пространства.

Доказательство. Доказательство прямо следует из определения аппроксимации Ритца, данного в разд. 3.1. Наилучшая аппроксимация

точного решения смысле энергетической нормы есть такое, что

т. е.

Если решение единственно, то (3.41) можно переписать как (3.38). Отсюда следует требуемый результат, если только а — действительно норма. Можно показать (Михлин, 1976, с. 86), что билинейная форма а является нормой тогда и только тогда, когда (3.36) эквивалентно (3.37), а это завершает доказательство.

Приближенное решение Ритца уравнения (3.2), например, есть наилучшая аппроксимация точного решения в смысле полунормы Дирихле

Упражнение 7. (I) Покажите, что для того, чтобы было скалярным произведением, — нормой, оператор А должен быть положительно определенным и самосопряженным.

(II) Покажите, что ограничена тогда и только тогда, когда и ограничены. Отсюда покажите, что и — элемент энергетического пространства тогда и только тогда, когда ограничена.

Упражнение 8. Покажите, что функционал соответствующий дифференциальному уравнению в области R с граничным условием можно переписать как

или

где — точное решение дифференциального уравнения.

Упражнение 9. Укажите класс дифференциальных уравнений, для которых аппроксимация Ритца оказывается наилучшей в смысле нормы Соболева:

Метод наименьших квадратов

Метод Ритца дает наилучшую аппроксимацию решения линейного дифференциального уравнения в смысле энергетической нормы тогда и только тогда, когда оператор А — положительно определенный и самосопряженный. Хотя метод Галеркина можно использовать для приближенного решения более широкого класса задач, мы уже не получим наилучшей аппроксимации того же типа. Чтобы получить «наилучшую аппроксимацию» в несамосопряженных задачах, необходимо переформулировать процедуру аппроксимации и ввести так называемый метод наименьших квадратов.

Напомним, что аппроксимация Ритца есть решение вариационной задачи

где — неизвестное решение. Теоретически можно заменить энергетическую норму на любую другую при условии, что нам требуется а не решение само по себе. Таким образом, мы можем определить аппроксимацию U как решение задачи

или

это и есть основа метода наименьших квадратов (Брамбл и Шатц, 1970; 1971). Если применить вариационное исчисление к вычислению необходимых условий стационарности такого

функционала, получается уравнение Эйлера — Лагранжа, включающее оператор АА, т. е. получается уравнение более высокого порядка, чем исходное. По этой причине необходимо быть осторожными с утверждением, что решения задач совпадают, особенно когда заданы неоднородные условия Дирихле; таким образом, если только не налагаются дополнительные условия на аппроксимирующие функции, мы должны видоизменить функционал (см. разд. 3.2). Если мы полагаем на аппроксимация по методу наименьших квадратов могла бы минимизировать, например,

при подходящем выборе k.

Хотя подробное рассмотрение метода наименьших квадратов остается вне рамок этой книги, он снова упоминается в разд. Численные эксперименты с методом наименьших квадратов можно найти в гл. 7.