(D) КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА ДЕТОНИРУЮЩЕГО СТЕРЖНЯ

В этом примере полудискретная форма метода конечных элементов (разд. 6.3) применяется для определения критической температуры твердого детонирующего стержня, один конец которого поддерживается холодным а другой — горячим ). Критическая температура определяется так, что при мы со временем придем к стационарному решению на всем стержне, тогда как при в некоторой внутренней точке стержня со временем возникнет что и является признаком зажигания стержня.

Уравнение, описывающее предшествующий зажиганию процесс, может быть записано в безразмерных единицах как

где Сил являются константами; оно дополняется начальным условием

и граничными условиями

и

где

Задача сведется к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, если приближенное решение ищется в виде

где базисные функции определены на интервале [0, 1] с помощью равномерного разбиения. Функции определяются граничными условиями, удовлетворяют системе уравнений

где есть положительно определенные матрицы, точка означает дифференцирование по времени, есть нелинейная векторная функция, компоненты которой имеют вид

Система (7.24) является жесткой, и при ее численном решении необходимо проявлять осмотрительность. Она решалась с переменным по времени шагом методом, предложенным Т. Р. Гопкинсом, которому авторы признательны за предоставленные им численные результаты.

В численном примере полагалось, что решение станет стационарным, если для ; напротив, если для некоторого и некоторого t 10, то считалось, что произошло зажигание. Критическая температура находилась по методу деления отрезка пополам: если приводит к стационарному решению, а приводит к зажиганию, то вычисляется решение для

Таблица 10

Линейные базисные функции

Таблица 11

и или заменяется этим новым значением в зависимости от того, приводит такое к зажиганию или нет.

В табл. 10 и 11 приведены численные результаты, полученные при решении этой задачи с различными значениями N для кусочно-линейных, кусочно-квадратичных и эрмитовых кусочно-кубических базисных функций. Во всех случаях что примерно соответствует температуре а бесконечное время зажигания означает то, что решение становится стационарным. Кусочно-квадратичные базисные функции изображены на рис. 33.