4.3. Четырехугольник

Можно подумать, что четырехугольник является лучшей формой ячейки, чем треугольник, поскольку сетка в целом упрощается. Например, треугольная сетка всегда может быть упрощена объединением треугольников попарно в четырехугольники. К сожалению, однако, невозможно найти полином от х и у, который бы сводился к произвольной линейной форме вдоль четырех сторон общего четырехугольника, и поэтому не ясно, как можно построить кусочно-полиномиальную функцию от х и у, которая имела бы -гладкость на четырехугольной сетке.

Лемма 4.1. Пусть точки в трехмерном пространстве, такие, что . Тогда плоскость, проходящая через три точки , описывается уравнением

где и т. д. определены в разд. 4.1. Кроме того, поверхность

    (4.20)

Рис. 13.

где любая циклическая перестановка (1,2,3,4) проходит через четыре точки и и содержит прямые линии при любых значениях а и

Из этой леммы ясно, что такие поверхности как (4.20), которые проходят через точки , можно использовать для определения функций на четырехугольнике где таких, что изменяется линейно вдоль сторон четырехугольника.

Таким образом, можно взять и определить базисную функцию такую, что

Упражнение 13. Пусть — точка пересечения прямых — точка пересечения прямых (рис. 13). Докажите, что прямая линия такова, что

    (4.22 а)

и что существует такая константа для которой

Отсюда покажите, что если то базисные функции, определенные в (4.21), могут быть записаны

как

где — стороны четырехугольника, не содержащие угол и где — некоторая перестановка (1,2,3,4). (Используйте формулы

где — любая перестановка

Изопараметрические координаты

Билинейная аппроксимация

Наиболее общий метод использования четырехугольных элементов состоит в применении точечного преобразования четырехугольника в единичный квадрат и в использовании так называемой изопараметрической аппроксимации (Айронс, 1966; Зенкевич, 1975). Другими словами, угловые точки четырехугольника преобразуются в четыре точки (1,1), (0,1), (0,0) и (1,0) (в плоскости ). Стандартное преобразование есть

которое можно записать как

Изопараметрическая аппроксимация получается, если определить аппроксимацию вида (4.25), а именно

Упражнение 14. Покажите, что преобразование, обратное (4.25), может быть записано как

    (4.27 а)

и

Далее, используя (4.23 а) и покажите, что функция р, определенная в (4.27 а), эквивалентна поверхности вида

Рис. 14.

(4.20), проходящей через точки если , определенная в эквивалентна такой же поверхности с .

Упражнение 15. Если требуется преобразовать четырехугольник в единичный квадрат, то выбор не является единственно возможным. Покажите, что если взяты как в упражнении 14, и то новые координаты и q можно определить так:

Упражнение 16. Покажите, что якобиан J преобразования (4.25) можно записать как

и докажите, что для .

Если билинейные полиномы, использованные в преобразовании (4.25), заменить на полиномы более высокой степени, можно ввести дополнительные точки, определяющие преобразование, и одновременно распространить изопараметрические аппроксимации на криволинейные четырехугольники.

Биквадратичная аппроксимация

Теперь добавим к четырем точкам , которые соответствуют углам единичного квадрата в -плоскости, точки которые соответствуют

ствуют серединам сторон и центру соответственно (рис. 14). Биквадратичное преобразование определяется как

где и аналогично определяются и аналогично определяются . Изопараметрическая аппроксимация тогда определяется формулой

С другой стороны, если преобразование определено по (4.25), а аппроксимация — по (4.29), то это — пример субпараметрической аппроксимации.

Стороны четырехугольника можно сделать прямыми подходящей расстановкой узлов на сторонах. В частности, если они являются серединами соответствующих сторон, а — центром тяжести четырехугольника, формулы (4.28) сводятся к (4.25).

Внутренний узел можно исключить аналогично тому, как исключались внутренние узлы из аппроксимаций, основанных на треугольных элементах, используя линейное соотношение

Это дает функцию, которая все еще интерполирует квадратичные по и q функции точно, но не имеет члена с Ее можно записать как

где и аналогично и аналогично . Для изопараметрической аппроксимации с восемью узлами преобразование в будет также определяться по (4.30) заменой U поочередно на х и у. Этот четырехугольник с восемью узлами

Рис. 15.

был использован Джорданом (1970) в качестве Элемента при решении задач, включающих плоское напряжение или деформацию.

Бикубическая аппроксимация

Полная бикубическая аппроксимация включает четыре внутренних узла (см. рис. 15) в дополнение к четырем угловым и восьми боковым узлам (по два на каждой стороне). Внутренние узлы могут быть исключены для получения аппроксимации, в которой нет членов с Ее можно записать в виде

где и аналогично и аналогично