6.4. Непрерывные по времени методы

Как показано в предыдущем разделе, полудискретный метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями

и

    (6.24 а)

если Для линейных задач, у которых матрицы А, В и С постоянны, решение уравнения. (6.23) может быть получено "стандартными аналитическими методами.

Если то задача упрощается, и ее решение может быть записано в виде

и выражено (Уэйт и Митчелл, 1971) в терминах решения задачи на собственные значения для уравнения

Если же то может быть выражено в терминах решения задачи на собственные значения для уравнения

Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи на собственные значения, для больших систем вычисления будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто выгоднее аппроксимировать решение уравнения (6.23) небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие компоненты обычно очень слабо изменяются относительно изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю собственным значениям. Конкретные собственные значения вместе с соответствующими собственными векторами могут быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965, стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным решением задачи на собственные значения, и поэтому такой подход обладает определенным преимуществом при условии, что аппроксимация немногими преобладающими компонентами адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является особенно подходящей, если (I) и необходимо сглаживать осцилляции или (II) и требуется знать стационарное состояние, а не процесс его установления.

Рассмотрим для примера уравнение

решение которого удовлетворяет граничным условиям

и

а также начальному условию

Для построения конечноэлементного решения воспользуемся полудискретным методом и билинейным базисом. В данном случае необходимо специальным образом учесть то обстоятельство, что граничное условие (6.26с) является неоднородным (и гладким). Это можно сделать различными способами, и мы проведем некоторое сравнение их между собой. Будем

Рис. 27.

искать аппроксимирующее решение в виде

где функция

есть кусочная билинейная аппроксимация решения уравнения

с однородными начальными и граничными условиями, а либо

либо

и коэффициенты определяются с помощью начального условия.

Относительные достоинства различных способов вычисления такой аппроксимации видны из рис. 27. Точное решение задачи есть

Для способа задается равенством (6.30), для способа задается в виде (6.31) и интерполирует начальное условие; для способа задается в виде (6.31), причем коэффициенты выбираются так, чтобы получилась наилучшая аппроксимация начального условия в