ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями

Рассмотрим вначале задачу об аппроксимации вещественной функции на конечном интервале оси Один из простых способов решения этой задачи состоит в разбиении интервала на некоторое число неперекрывающихся подынтервалов и линейной интерполяции по значениям функции в граничных точках подынтервалов (см. рис. 1(a)). Если имеется подынтервалов то кусочно-линейная аппроксимирующая функция зависит только от значений функции в узловых точках . В тех задачах, где задается неявно уравнением (дифференциальным, интегральным, функциональным и т.д.), значения являются неизвестными параметрами задачи. В задаче интерполяции значения f, - известны заранее.

На подынтервале соответствующая часть аппроксимирующей функции описывается формулой

где

Следовательно, кусочная аппроксимирующая функция на интервале задается формулой

где

являются пирамидальными функциями, изображенными на рис. Пирамидальные функции, заданные формулами (1.3), представляют простейший тип базисных функций. Отметим, в частности, что базисные функции

(см. скан)

Рис. 1 (а).

(см. скан)

Рис. 1 (b).

равны нулю вне интервала или, как говорят, имеют локальный носитель. В этой книге будут строиться базисные функции различной степени сложности, однако всегда с локальными носителями. Основным свойством большинства базисных функций является то, что они равны единице в некоторой узловой точке и равны нулю в большинстве других узловых точек.

Вообще говоря, первые производные кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции заданной формулой (1.2), отличаются от первой производной даже в узлах. Теперь попытаемся построить кусочную аппроксимирующую функцию, которая совпадала бы вместе с первой производной с в узловых точках . Другими словами, мы должны построить кусочно-кубический полином такой, что

где На подынтервале соответствующая часть кубического аппроксимирующего полинома задается формулой

где

и штрих означает дифференцирование по Кусочная аппроксимирующая функция на интервале задается формулой

где кубические полиномы легко получаются из (1.5). Базисные функции изображены на рис. 2.

Рис. 2.

Базисные функции в выражениях (1.2) и (1.6) появляются при рассмотрении частных случаев кусочной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) для заданного разбиения интервала. Пусть теперь в общем случае есть произвольное разбиение интервала на оси Для целого положительного m и разбиения интервала П обозначим через множество всех действительных кусочно-полиномиальных функций определенных на R, так, что есть полином степени на каждом подынтервале интервала R. Для любой заданной действительной функции кусочная эрмитова интерполяция однозначно определяется как такой элемент , для которого

Частные случаи при уже были рассмотрены выше и привели к базисным функциям, входящим в выражения (1.2) и (1.6) соответственно. Оценки ошибок для кусочных эрмитовых приближений приводятся в работе Биркгофа, Шульца и Варги (1968).

В задачах, где требуется определить только часто бывает нежелательно вводить в качестве дополнительных параметров производные и тем самым заметно увеличивать порядок системы уравнений, которая должна решаться. Поэтому весьма желательным свойством кусочных функций является непрерывность производных в точках сшивки полиномов без введения значений производных в качестве дополнительных неизвестных параметров. Простейшим примером такого подхода представляется подбор на каждом подынтервале ) такой параболы, чтобы первые производные были непрерывны в каждой внутренней узловой точке Удобную форму такой

кусочной аппроксимации представляет квадратичный сплайн

где из непрерывности первых производных следует, что

а разбиение интервала предполагается равномерным с шагом h. Система (1.9) представляет собой линейных соотношений относительно неизвестных коэффициентов , и поэтому в случае квадратичных сплайнов остается свободным один коэффициент. Поскольку знание второй производной в любой точке полностью решает задачу.

Наибольшее признание получил кубический сплайн для которого при заданных значениях на каждом подынтервале подбираются кубические полиномы, такие, чтобы первая и вторая производные были непрерывны во всех внутренних узловых точках. Если есть искомый кубический сплайи, то функция должна быть линейной на и поэтому

где являются значениями вторых производных в точках соответственно. Это обеспечивает непрерывность вторых производных во внутренних узловых точках. Используя дополнительные условия

и

получим кубический сплайн в виде

где сетка предполагается равномерной, а коэффициентов удовлетворяют системе линейных соотношений

Два свободных параметра в случае кубического сплайна часто исключают, полагая и поэтому другие параметры однозначно определяются из (1.11).

Более естественным представлением кубического сплайна при равномерном разбиении интервала является выражение

где.

Нетрудно показать, что функция и все ее производные, кроме третьей, непрерывны во всех внутренних узловых точках при всех значениях коэффициентов , Условие

дает линейных соотношений для коэффициентов, и поэтому остаются два свободных параметра. Система линейных уравнений сводится к виду, приведенному в упражнении 4, Если кубический сплайн (1.12) вместе с двумя свободными

параметрами теперь представить в виде

где , то получается, что основные сплайны не имеют локального носителя и не являются удобными для практики базисными функциями.

Кубические сплайны с локальным носителем длины были предложены Шёнбергом (1969) как удобные базисные функции. Для узловых точек они имеют вид

Эти функции и две их первые производные равны нулю при Кроме того,

Остальные функции требуют специального рассмотрения. Полагая

и сопоставляя правые части (1.14) и (1.16), мы получим трехдиагональную систему линейных уравнений для определения коэффициентов , входящих в (1.16). Большинство уравнений этой системы имеет вид

Двумерная аппроксимация

Теперь рассмотрим задачу об аппроксимации действительной функции кусочными непрерывными функциями на ограниченной области R с границей Область разбивается на некоторое число элементов. В этом разделе рассматриваются области, имеющие вид прямоугольника или многоугольника.

1) Прямоугольная область. Стороны такой области параллельны осям х и у, и она разбивается на такие же прямоугольные

Рис. 3.

элементы прямыми линиями, параллельными осям. Пусть есть прямоугольная область и есть типичный прямоугольный элемент, где (см. рис. 3). Билинейная форма, приближающая функцию на прямоугольном элементе, имеет вид

где

и

Кусочная аппроксимирующая функция в области задается выражением

Базисные функции обращаются в нуль всюду, за исключением прямоугольной области , и поэтому имеют локальный носитель (см. упражнение 6 и рис. 3).

Рис. 4.

Только что рассмотренный случай является простейшим примером кусочной двумерной эрмитовой интерполяции (или аппроксимации) на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы. В общем случае для любого целого положительного числа I и любого разбиения прямоугольника R на прямоугольные элементы обозначим через совокупность всех действительных кусочных полиномов определенных на R, так, что есть полином степени по каждому переменному х и у на каждом прямоугольном элементе области R. Для любой заданной действительной функции существует единственный кусочный эрмитов интерполянт , определяемый условиями

при всех Частный случай был уже рассмотрен выше и дает билинейные базисные функции, вид которых указан в упражнении 6. Случай разбирается в упражнении 7. Читателя, интересующегося получением оценок ошибок для двумерной эрмитовой интерполяции, мы снова отсылаем к работе Биркгофа, Шульца и Варги (1968).

2) Многоугольная область. Под этим понимается либо область в форме многоугольника, либо аппроксимация области другой формы. Многоугольник произвольным образом разбивается на треугольные элементы. Для типичного треугольного элемента с вершинами (см. рис. 4) линейная форма, приближающая функцию на треугольном элементе, имеет вид

где . Коэффициенты задаются формулами

где есть удвоенная площадь треугольника, а

Разумеется, функции (1.20) являются только частями полных базисных функций, связанных с вершинами треугольной сетки. Полная базисная функция относительно некоторой вершины получается путем суммирования частей, связанных с теми треугольниками, которые примыкают к этой вершине. Например, вершина 1 на рис. 4 имеет пять примыкающих треугольников, и поэтому базисная функция, соответствующая этой вершине, будет состоять из пяти частей. Полная базисная функция оказывается пирамидальной.

Упражнение 1. Покажите, что кубический полином который принимает значения

определяется формулой

Упражнение 2. Используйте результат упражнения 1, чтобы получить коэффициенты в представлении (1.4) и тем самым получить базисные функции, входящие в (1.6).

Упражнение 3. Применяя намеченный в основном тексте метод, получите выражение для кубического сплайна в форме коэффициенты определяются соотношениями (1.11).

Упражнение 4. Применяя условие (1.13) к сплайну вида (1.12), покажите, что система уравнений для определения

входящих в (1.12) коэффициентов имеет вид

где есть обычный оператор взятия центральной разности.

Упражнение 5. Решите систему уравнений упражнения 4 при Покажите с помощью (1.14), что в этом случае

Нарисуйте приближенный график основного сплайна при и покажите, что его носитель не является локальным.

Упражнение 6. Покажите, что для единичного квадрата при базисные функции, соответствующие внутренним узлам, имеют вид

где и

Упражнение 7. На единичном квадрате рассмотрите полином

Выразите все коэффициенты через значения функций в четырех угловых точках квадрата. Покажите, что результаты этих вычислений могут быть использованы для нахождения базисных функций в случае общей теории двумерной эрмитовой интерполяции на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные элементы.