5.3. Ошибки аппроксимации

Как показано в предыдущем разделе, аппроксимации Галеркина всегда почти оптимальны в некоторой норме. В частности, приближенные решения для задач второго порядка таковы, что

Оценки ошибки также могут быть получены в терминах другие норм, в частности норм пространств Оценки в позволяют также доказать так называемое свойство сверхсходимости некоторых методов Галеркина, т. е. наличие в узлах более высокого порядка аппроксимации по сравнению с неузловыми точками (Дуглас, Дюпон и Уилер, 1974). Более подробно с этим вопросом можно познакомиться в работе де Бура (1974).

Пусть есть стандартный элемент. Тогда большинство результатов о сходимости может быть получено с помощью следующей леммы о полиномиальной аппроксимации на То:

Лемма 5.5. Пусть есть проекция на где Тогда

Это значит, что если интерполяция точна для полиномов степени не выше k, то ошибка интерполяции может быть выражена через производные интерполируемой функции. Операторы переводят элементы пространства в элементы пространства поскольку при конкретном применении леммы зависит от порядка дифференциального уравнения, a k зависит от свойств пробных функций. Значение зависит от значений и k, но предполагается, что эти нормы равномерно ограничены и, вообще говоря, необязательно знать точное значение нормы.

Доказательство леммы 5.5. Для любого определим так, что при любом

Тогда, применяя к F лемму Брамбла — Гильберта, будем иметь

где

Из двойственности пространств следует, что для любого

так что, в частности,

Объединяя теперь эти результаты, получим

но

откуда сразу следует утверждение леммы.

Этот результат может быть объединен с условием регулярности для получения оценки ошибки интерполяции в области

Теорема 5.4. Предположим, что условие полноты справедливо для некоторого и условие регулярности справедливо для всех . Тогда если и интерполирует и, то

где h ограничивает диаметры элементов, составляющих разбиение области

Доказательство. Если мы предположим, что область R разбита на элементы то

Рассматривая типичный элемент Т, получим из леммы 5.5, что

Применяя затем условие 5.1 и результат упражнения 4, будем иметь

Ввиду равномерной ограниченности всех операторных норм суммирование по всем элементам приводит к желаемому результату.

Этот результат может быть применен в том специальном случае, когда преобразование в Т линейно и интерполяция конечноэлементными функциями точна для Тогда, в частности,

где — интерполирующая функция. Такой тип оценки требует для задач второго порядка определения порядка конечноэлементной аппроксимации с помощью почти оптимальных неравенств параграфа 5.2. Отметим, что если рассматривать область только из одного элемента, то получается оценка ошибки для обычной интерполяции Лагранжа; это обстоятельство

будет использовано ниже, в разд. Лагранжевы (или эрмитовы) элементы из разд. 4.1 таковы, что преобразование в Г линейно, базисные функции , интерполяция точна для и и Поэтому если область R является многоугольником, граничные условия точно согласованы и интегралы вычислены аналитически, то для ошибки такой конечноэлементной аппроксимации задачи второго порядка будем иметь

Аналогичный результат справедлив для задач на прямоугольниках с прямоугольной сеткой: снова показатель степени точно интерполируемых полиномов определяет показатель степени у Л в оценке (5.18).

Упражнение 16. Покажите, что исключение внутренних параметров из таких конечноэлементных аппроксимаций, как лагранжевы (или эрмитовы) кубические элементы, или исключение нормальных производных в серединах сторон -параметрической аппроксимации полиномами пятой степени со сшнвкой в уменьшает показатель степени в (5.18) на единицу.

Упражнение 17. Покажите, что биквадратичная и бикубическая субпараметрические аппроксимации (разд. 4.3), использующие билинейное преобразование для перевода произвольного четырехугольника в единичный квадрат, могут интерполировать точно полиномы второй и третьей степени соответственно по х и у. Покажите, что если R является многоугольником, граничные условия точно согласованы и интегралы вычисляются аналитически, то оценка (5.18) справедлива при и 3 соответственно.

Упражнение 18. Покажите, что оценка (5.18) справедлива для шестигранных субпараметрических элементов в трехмерном пространстве при условии, что область допускает точное разбиение.

Криволинейные элементы

Сьярле и Равьяр (1972 b) показали, что оценки вида (5.18) справедливы также для некоторых изопараметрических элементов с одной криволинейной стороной; в частности, они - установили порядок сходимости для двух специальных случаев:

(1) Квадратичные изопараметрические треугольные элементы могут быть представлены в виде (упражнение 9)

Так как интерполяция точна для полиномов второй степени по и q, то ошибка оценивается как

при условии, что

Это эквивалентно тому, что

де есть середина хорды а норма — это евклидово расстояние в Этому дополнительному условию всегда можно удовлетворить, если h достаточно мало по сравнению с радиусом кривизны границы. Предполагается также, что граница может быть точно представлена с помощью дуг, допускающих параметризацию вида

Аналогичная оценка справедлива для биквадратичных изопараметрических аппроксимаций, определенных на четырехугольниках с одной криволинейной стороной, если выполнены такие же ограничения геометрического характера.

(2) Кубические изопараметрические элементы могут быть представлены в виде (упражнение 10)

Так как интерполяция точна для кубических полиномов по и q, то ошибка оценивается как

при условии, что

и

и точка выбрана так, что

де — точки, делящие хорду на три равные части и прилежащие к соответственно. Дополнительное ограничение (5.21) в действительности выполняется при достаточно малом h. Как и в предыдущем случае, оценка порождаемой конечноэлементной аппроксимацией ошибки справедлива лишь тогда, когда в граничном условии нет погрешности. Подобная же оценка имеет место для эрмитовой изопараметрической аппроксимации (Сьярле и Равьяр, 1972 b) при выполнении совокупности условий, аналогичных (5.21) и (5.22).

Эти строгие ограничения на кривизну изопараметрических элементов могут оказаться необходимыми на практике, как показывают некоторые численные эксперименты (Бонд, Свенелл, Геншелл и Уабартон, 1973), но комментируются они по-разному.

Во всех оценках сходимости для случая двух переменных предполагается, что наименьший угол 9 треугольной сетки остается отделенным от нуля при стремлении h к нулю. В аналогичных результатах для случая трех переменных или четырехугольных сеток на плоскости предполагается, что отношение остается ограниченным при стремлении h к нулю. Для любого элемента величина определяется как диаметр наибольшей сферы (в ) или окружности (в ), лежащей внутри этого элемента. Если же таких предположений нельзя сделать, то оценка для ошибки интерполяции примет вид

в предположении, что величина равномерно ограничена по всем элементам. Оценка такого вида вводится потому, что в условии 5.1 второе неравенство теперь правильнее выражать через , чем через h (Сьярле и Равьяр, 1972а, Брамбл и Зламал, 1970). Для треугольных сеток

и поэтому в скобках правой части (5.23) будет стоять Если нельзя считать отношение ограниченным

при стремлении h к нулю, то может оказаться что величина также не будет равномерно ограниченной, и поэтому, как показали Брамбл и Зламал, оценка для ошибки интерполяции может быть представлена в виде

при некотором что лучше оценки (5.18). Бабушка и Азиз (1976) отмечают, что лучше иметь дело с углами, стремящимися к чем с углами, стремящимися к нулю.

Оценки вида

для ошибки интерполяции могут быть получены с помощью теоремы Сарда о ядре для методов, использующих как прямоугольники, так и треугольники. Для некоторых видов кусочных полиномиальных аппроксимаций значения постоянных из неравенства (5.24) могут быть получены численно. Результаты эти также подтверждают, что оценки вида (5.23) не являются наилучшими из возможных (см. Барнхилл, Грегори и Уайтман, 1972, и цитируемые ими работы).

Оценки ошибки интерполяции в терминах максимум-полунормы более правильные по сравнению с использующими соболевскую полунорму оценками вида (5.18), сначала получил Зламал, а затем Сьярле и Равьяр и Женишек (см. Сьярле и Равьяр, 1972а, и цитируемые ими работы).

Если решение не является достаточно гладким, величины могут не существовать и нельзя получить оценку вида (5.18), даже если . В таких случаях необходимо использовать показатель

так как k k, то необходимо лишь переформулировать теорему 5.4, заменив k на k там, где это нужно; в остальном анализ проводится без изменений. Типичные задачи, для которых решение сингулярно или почти сингулярно, возникают в случае областей с вдавленными внутрь углами. Для решения таких задач были разработаны специальные приемы, которые кратко рассматриваются в разд. другой подход приводится в гл. 8 книги Стренга и Фикса (1977) и в работе Уэйта (1976).