7.2. Несогласованные элементы

До сих пор аппроксимация для всей области в методе конечных элементов строилась в предположении ее некоторой гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках между соседними элементами. Для дифференциального уравнения порядка требовалась сшивка в для методов Ритца и Галеркина или сшивка в для метода наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка в достигается применением полиномов девятой степени, то нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при построение элементов с требуемой степенью гладкости сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому с вычислительной точки зрения желательно научиться использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках, чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы.

Поскольку инженеры в меньшей степени по сравнению с математиками избегают применения на практике теоретически не обоснованных приемов, нет ничего удивительного в том, что несогласованные элементы были впервые предложены именно инженерами. Ими было предложено также так называемое кусочное тестирование для выбора таких несогласованных

элементов, которые обеспечивали бы сходимость конечноэлементной аппроксимации для данной задачи. В действительности кусочное тестирование является проверкой непротиворечивости несогласованного конечноэлементного метода, используемого для решения конкретной задачи.

Кусочное тестирование (Айронс и Раззак, 1972)

Смысл кусочного тестирования состоит в следующем. Предположим, что пространство несогласованных базисных функций содержит все полиномы такого порядка , какой имеет старшая производная в энергетическом функционале (в обозначениях гл. 5 ), и пусть граничные условия вдоль периметра произвольно взятой части элементов определены как значения произвольно взятого частного решения на этой линии. Тогда кусочное тестирование считается выполненным, если приближенное решение вычисленное по методу конечных элементов в форме Ритца без учета разрывов на границах между элементами, совпадает с и на рассматриваемой части элементов. Таким образом, кусочное тестирование выполнено, если при

В качестве иллюстрации применения кусочного тестирования к задачам второго порядка рассмотрим решение уравнения Лапласа на части элементов, образующей единичный квадрат и составленной из двух треугольных элементов (рис. 28). Энергетический функционал содержит первые производные, и поэтому На каждом треугольнике определим линейную функцию по ее значениям в серединах трех его

Рис. 28.

сторон. Тогда

и

для треугольников соответственно. Интерполянт на всем квадрате в общем случае разрывен вдоль границы раздела треугольников, и поэтому такие элементы являются несогласованными для метода Ритца.

В качестве примера возьмем на этой части элементов тестовое решение

принимающее граничные значения

так что указанные интерполянты запишутся в виде

и

Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к минимизации энергетического функционала

относительно , что дает

Подставляя это значение в (7.4а) и в получим

и поэтому

та всей рассматриваемой части. В действительности же это верно для любого и любой части таких элементов, т. е. такой несогласованный элемент выдерживает кусочное тестирование.

Упражнение 1. Проведите кусочное тестирование для элементов, изображенных на рис. 29, и покажите, что

Рис. 29.

Докажите тем самым, что такие элементы выдерживают кусочное тестирование только при

В качестве следующего примера применения кусочного тестирования рассмотрим задачу четвертого порядка, определяемую на квадратной области бигармоническим уравнением и заданием решения и его нормальной производной на границе. Разобьем квадрат обычным образом на прямоугольные треугольники равной площади и снова рассмотрим часть элементов в виде единичного квадрата, состоящего из двух треугольных элементов (рис. 30). Для бигармонического уравнения энергетический функционал содержит вторые производные, и поэтому На каждом треугольнике определим квадратичную функцию по ее значениям в вершинах треугольника и по значениям ее нормальной производной в серединах

Рис. 30.

сторон. Такой элемент называется треугольником Морли. Интерполянты будут иметь вид

и

для треугольников соответственно, где есть внешняя нормаль по отношению к и внутренняя нормаль по отношению к Снова интерполянт на всем единичном квадрате в общем случае разрывен вдоль границы между двумя треугольниками, и поэтому такие элементы являются несогласованными. Для задачи четвертого порядка элементы останутся несогласованными и тогда, когда интерполянт будет непрерывным на этой границе, а его нормальная производная к ней — нет.

В качестве примера возьмем на этой части элементов тестовое решение

принимающее граничные значения

тогда указанные интерполянты запишутся как

и

Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к минимизации энергетического функционала

относительно параметра что дает

Подставляя это значение в (7.5а) и в получим

и поэтому

на всей рассматриваемой части. В действительности же это верно для любого и для любой части таких элементов, т. е. треугольник Морли выдерживает кусочное тестирование.

Упражнение 2. Покажите, что треугольный элемент, на котором полная квадратичная функция определяется своими значениями в вершинах и в серединах сторон, не выдерживает кусочного тестирования для задачи четвертого порядка, описанной выше.

Хотя математическая проверка несогласованных элементов кусочным тестированием привлекательна сама по себе, с практической точки зрения достаточно осуществить такую проверку на вычислительной машине. Элементы считаются выдержавшими кусочное тестирование, если численное решение воспроизводит заранее известный ответ с учетом, конечно, влияния ошибок округления.

Необходимое и достаточное условие сходимости построенной на несогласованных элементах аппроксимации, которое эквивалентно кусочному тестированию, в обозначениях разд. 5.4(E) имеет вид равенства

для любого полиномиального решения где есть порядок старшей производной, входящей в

Но любое решение и удовлетворяет уравнению

при всех допустимых функциях если оно также удовлетворяет уравнению

при всех несогласованных функциях то (7.6) примет вид

(Стренг и Фикс, 1973, с. 207). Например, если задача сводится к минимизации

то

Если область R разбита на неперекрывающиеся элементы то тогда

Физический смысл равенства (7.8) состоит в том, что разрывы на границах между элементами можно не учитывать при вычислении

Для установления эквивалентности (7.3) и (7.8) удобно ввести полунорму

Тогда можно получить оценки

и (ср. с (5.16))

при условии, что выполнено (7.7). Тогда (7.8) следует из (7.3) и (7.9). Обратно, из (7.8) и (7.10) следует, что

Правая часть этого неравенства равна нулю, так как и мы получаем (7.3).

Упражнение 3. Убедитесь в справедливости (7.7) для несогласованных кусочно-линейных элементов с узлами в серединах сторон.

Для задач второго порядка можно дать следующую полезную для практики формулировку кусочного тестирования: кусочное тестирование выдержано, если

где Е есть любое внутреннее прямое ребро сетки, есть любая несогласованная функция, так что являются ее предельными значениями по разные стороны ребра Е (Браун, 1975).

В заключение отметим два несогласованных прямоугольных элемента, которые выдерживают кусочное тестирование:

(1) Элемент Вильсона (Вильсон и др., 1971). На квадрате шесть функций образуют базис: четыре билинейные и две дополнительные Последние функции дают возможность представить в этом базисе произвольный квадратичный полином от двух переменных и тем самым повысить точность аппроксимации на каждом элементе.

(2) Элемент Адини (Адини и Клаф, 1961). Для этого элемента с 12 степенями свободы неизвестными параметрами являются значения в вершинах квадрата, а входящие в полный кубический полином функции вместе с образуют базис.

Упражнение 4. Покажите, что прямоугольные элементы Вильсона и Адини выдерживают кусочное тестирование для задач второго и четвертого порядка соответственно.