2.4. Смешанные вариационные принципы

Рассмотрим теперь теорию упругости при малых деформациях и принцип минимума потенциальной энергии, изложенный в примере (2) разд. 2.6. Этот принцип предполагает, что имеют место определенные соотношения между напряжением и деформацией и между деформациями и перемещениями, а также выполнены кинематические граничные условия.

Если ослабить два последних условия и рассматривать их как множество ограничений, то можно написать модифицированный функционал вида

где — функционал потенциальной энергии,

— множители Лагранжа. Независимыми варьируемыми величинами являются три перемещения, шесть деформаций и девять множителей Лагранжа. Из (2.7) можно получить много смешанных вариационных принципов. В частности, если

то получается принцип Васидзу, а при

возникает принцип Рейснера — Хелингера.

Функционал, связанный с принципом Рейснера — Хелингера, можно записать как

где — функционал дополнительной энергии.

Принципы — Васидзу и Рейснера — Хелингера являются смешанными принципами и утверждают стационарность, а не экстремальность значений функционала для реальных состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (например, в методе конечных элементов), основанных на смешанных вариационных принципах, достигается примерно одинаковая точность таких величин, как перемещения и напряжения, тогда как при использовании принципа минимума энергии хорошая точность может быть получена либо для перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновременно.

Более полное обсуждение смешанных вариационных принципов и полное определение величин, использованных в (2.7) и (2.8), имеется в книге Васидзу (1968) и Табаррока (1973).