7.4. Приложения

(А) ЗАДАЧИ О ПОЛЯХ

Теперь мы рассмотрим решение методами конечных элементов некоторых типичных граничных задач о полях.

Задача 1. (Уравнение Пуассона.)

Вернемся к задаче, впервые рассмотренной в гл. 3: найти решение уравнения

в области R, удовлетворяющее граничному условию

на границе где В методе Ритца (м. Р.) минимизируется функционал

тогда как в методе наименьших квадратов (м. н. к.) минимизации подлежит функционал

где v и w имеют вид (7.1) (или ) и удовлетворяют граничному условию на . В модификации Брамбла — Шатца (м. Б. III.) метода наименьших квадратов (разд. 5.4(D)) минимизируется функционал

где весовой множитель введен для того, чтобы оба интеграла имели одинаковую размерность, и уже не требуется, чтобы w удовлетворяла граничному условию на Величина h равна значению параметра аппроксимирующего подпространства.

Область R разобьем на квадратные элементы прямыми линиями, параллельными осям х и у, и пусть расстояние между

соседними линиями равно h, где Треугольные элементы получаются путем проведения в квадратах диагоналей с наклоном —1. Задача 1 была решена численно при методом Ритца, методом наименьших квадратов и методом Брамбла — Шатца с использованием различных базисных функций. Максимальные ошибки для каждого случая приведены в табл. 5.

Таблица 5

В общем для метода наименьших квадратов и метода Брамбла — Шатца они значительно больше, чем для метода Ритца. По-видимому, это объясняется плохой обусловленностью тех систем линейных уравнений, к которым сводятся методы наименьших квадратов.

Задача 2 (пластина с заделанным краем).

Найти решение уравнения

в области R, удовлетворяющее граничным условиям

на где Мы рассмотрим тот случай, когда нагрузка q распределена по пластине равномерно. Если есть максимальное смещение пластины, то

и точное значение а равно 0.00127. Задача решалась только методом Ритца, и вычисленные при в различных базисных функциях значения а приведены в табл. 6.

Авторы признательны М. Вайну за предоставленные им численные результаты, приведенные здесь в табл. 5 и 6. Дальнейшие подробности и численные результаты для этих и сходных с ними задач можно найти у Вайна (1973).

Таблица 6