4.2. Прямоугольник

Области типа прямоугольника, т. е. области со сторонами, параллельными осям х и у, возникают во многих задачах физики и техники. Следовательно, прямоугольный элемент имеет большое значение и в этом параграфе для него строятся базисные функции.

Бикубические эрмитовы функции

В параграфе 1.1 мы использовали билинейные функции от у для построения базисных функций (1.17), каждая из которых равна нулю вне области, составленной из четырех

прямоугольных элементов. На всей прямоугольной области кусочно-билинейные аппроксимирующие функции имеют -гладкость. В этом пункте мы рассмотрим бикубические полиномы

на единичном квадрате . Коэффициенты можно однозначно найти по значениям в четырех вершинах, так что

где

Нижний индекс указывает значение в вершине с

Нетрудно увидеть, как можно изменить (4.18) для получения требуемой эрмитовой бикубической интерполирующей функции на прямоугольном элементе исходной области типа прямоугольника. Аппроксимирующая функция на всей области получается затем аналогично выводу (1.6). На этот раз каждому узлу прямоугольной области соответствуют четыре базисные функции. Для внутреннего узла, т. е. узла не на границе прямоугольной области, каждая базисная функция имеет своим носителем четыре прямугольных элемента. Для узла на границе, но не в углу, базисная функция имеет носителем два элемента, а для узла в углу — один прямоугольный элемент. Кусочно-бикубическая аппроксимирующая функция на всей прямоугольной области оказывается -гладкой 1).

Упражнение 12. Используя (4.18), покажите, что базисные функции для в узле (0, 0) единичной ячейки получаются в форме тензорного произведения

Интересный прямоугольный элемент был описан Пауэллом (1973). Прямоугольник разбивается диагоналями на четьь треугольника, и предполагается, что на каждом треугольнике аппроксимирующая функция задается полной квадратичной по х и у функцией. Коэффициенты этих квадратичных функций можно выбрать так, что получится С-гладкость на прямоугольной сетке.

Бикубические сплайны

В разд. 1.1 было показано, что одномерный кубический сплайн с локальным носителем длины имеет вид (1.15). Фактически этот сплайн, впервые предложенный Шёнбергом (1969), часто записывается как

где — обычный оператор центральной разности, а константа выбрана так, что

Константа — в (1.15) была выбрана с тем, чтобы

В областях типа прямоугольника, разбитых на прямоугольные элементы, рассмотрим сплайны Шёнберга из (4.19)

Тензорное произведение дает функцию с носителем из 16 прямоугольных элементов. Она оказывается базисной функцией в узле для кубических сплайнов, если только узел не лежит на границе области и не примыкает к ней. Для граничных и примыкающих к границе

узлов нужно строить специальные базисные функции, если, конечно, решаемая задача не имеет естественных граничных условий (гл. 3, стр. 54). Полная аппроксимирующая функция в этом случае является - гладкой.

Возможно, заслуживает упоминания то, что в маловероятном случае -гладкости аппроксимирующей функции на прямоугольной области, если только она потребуется, могут быть использованы, подобно кубическим сплайнам, сплайны Шёнберга пятой степени

Их тензорное произведение имеет носитель из 36 прямоугольных элементов, что делает эти сплайны довольно неудобными для работы.

В заключение этого короткого параграфа о прямоугольном элементе следует указать на то, что размер носителя сплайна увеличивается с ростом порядка сплайна, тогда как носитель эрмитовой функции остается всегда состоящим из четырех элементов, независимо от ее порядка, в то же время сплайны имеют гладкость против для эрмитовых функций при степени полиномов