Главная > Метод конечных элементов для уравнений с частными производными
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.2. Прямоугольник

Области типа прямоугольника, т. е. области со сторонами, параллельными осям х и у, возникают во многих задачах физики и техники. Следовательно, прямоугольный элемент имеет большое значение и в этом параграфе для него строятся базисные функции.

Бикубические эрмитовы функции

В параграфе 1.1 мы использовали билинейные функции от у для построения базисных функций (1.17), каждая из которых равна нулю вне области, составленной из четырех

прямоугольных элементов. На всей прямоугольной области кусочно-билинейные аппроксимирующие функции имеют -гладкость. В этом пункте мы рассмотрим бикубические полиномы

на единичном квадрате . Коэффициенты можно однозначно найти по значениям в четырех вершинах, так что

где

Нижний индекс указывает значение в вершине с

Нетрудно увидеть, как можно изменить (4.18) для получения требуемой эрмитовой бикубической интерполирующей функции на прямоугольном элементе исходной области типа прямоугольника. Аппроксимирующая функция на всей области получается затем аналогично выводу (1.6). На этот раз каждому узлу прямоугольной области соответствуют четыре базисные функции. Для внутреннего узла, т. е. узла не на границе прямоугольной области, каждая базисная функция имеет своим носителем четыре прямугольных элемента. Для узла на границе, но не в углу, базисная функция имеет носителем два элемента, а для узла в углу — один прямоугольный элемент. Кусочно-бикубическая аппроксимирующая функция на всей прямоугольной области оказывается -гладкой 1).

Упражнение 12. Используя (4.18), покажите, что базисные функции для в узле (0, 0) единичной ячейки получаются в форме тензорного произведения

Интересный прямоугольный элемент был описан Пауэллом (1973). Прямоугольник разбивается диагоналями на четьь треугольника, и предполагается, что на каждом треугольнике аппроксимирующая функция задается полной квадратичной по х и у функцией. Коэффициенты этих квадратичных функций можно выбрать так, что получится С-гладкость на прямоугольной сетке.

Бикубические сплайны

В разд. 1.1 было показано, что одномерный кубический сплайн с локальным носителем длины имеет вид (1.15). Фактически этот сплайн, впервые предложенный Шёнбергом (1969), часто записывается как

где — обычный оператор центральной разности, а константа выбрана так, что

Константа — в (1.15) была выбрана с тем, чтобы

В областях типа прямоугольника, разбитых на прямоугольные элементы, рассмотрим сплайны Шёнберга из (4.19)

Тензорное произведение дает функцию с носителем из 16 прямоугольных элементов. Она оказывается базисной функцией в узле для кубических сплайнов, если только узел не лежит на границе области и не примыкает к ней. Для граничных и примыкающих к границе

узлов нужно строить специальные базисные функции, если, конечно, решаемая задача не имеет естественных граничных условий (гл. 3, стр. 54). Полная аппроксимирующая функция в этом случае является - гладкой.

Возможно, заслуживает упоминания то, что в маловероятном случае -гладкости аппроксимирующей функции на прямоугольной области, если только она потребуется, могут быть использованы, подобно кубическим сплайнам, сплайны Шёнберга пятой степени

Их тензорное произведение имеет носитель из 36 прямоугольных элементов, что делает эти сплайны довольно неудобными для работы.

В заключение этого короткого параграфа о прямоугольном элементе следует указать на то, что размер носителя сплайна увеличивается с ростом порядка сплайна, тогда как носитель эрмитовой функции остается всегда состоящим из четырех элементов, независимо от ее порядка, в то же время сплайны имеют гладкость против для эрмитовых функций при степени полиномов

1
Оглавление
email@scask.ru