ГЛАВА 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

2.1. Введение

Вариационные принципы встречаются во многих физических и других задачах, и методы приближенного решения таких задач часто основаны на соответствующих вариационных принципах. Математически вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или большее) значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Подынтегральная функция зависит от координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование осуществляется по области, покрываемой координатами системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача определения минимума интеграла часто сводится к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений с частными производными при соответствующих граничных условиях. Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как способ решения исходных физических задач, сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы намерены описать приближенные методы, которые основаны непосредственно на вариационных принципах.

В качестве примера таких экстремальных задач рассмотрим двойной интеграл

где — непрерывная вместе со всеми производными до второго порядка функция, значения которой на границе области R заданы. Область R здесь — ограниченная область на плоскости Сравнительно легко показать (см. Курант и Гильберт, 1951), что необходимое условие экстремума состоит в том, что функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа

Из многих решений этого уравнения выбирается то, которое удовлетворяет заданным граничным условиям. К примеру, для

уравнение (2.2) сводится к уравнению Лапласа

Причина требования непрерывности вторых производных и теперь ясна; непрерывность обеспечивает существование уравнения Эйлера. Однако приближенные методы, основанные на минимизации в виде (2.1), требуют только непрерывно и и кусочной непрерывности ее первых производных.

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа: найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области R, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут иметь решений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи.

Одно очевидное преимущество вариационного подхода состоит в том, что нужно налагать менее жесткие требования на непрерывность решения. Этот парадокс разъясняется в разд. 1.3 книги Стренга и Фикса (1973) и в гл. 2 книги Клегга (1967). Полезным следствием более слабых требований непрерывности является то, что в вариационном подходе легче строить приближенные решения. Большая часть данной книги состоит в описании таких приближенных методов.

Оцениваемый в вариационном принципе интеграл берется по пространству, которое может иметь координату-время. Мы рассмотрим сначала вариационные задачи, не содержащие время. Эти вариационные задачи обычно выражают принцип минимума потенциальной энергии при нахождении состояния

устойчивого равновесия во многих классических задачах математической физики. В этой главе содержатся только те вопросы теории вариационных принципов, которые имеют отношение к главной теме книги. Никаких доказательств или подробных обсуждений здесь нет, и в случае особой заинтересованности читателю следует обратиться к соответствующим разделам книг Куранта и Гильберта (1951), Морса и Фешбаха (1958), Хилдебранда (1965), Шехтера (1971) и Клегга (1967).