Главная > Метод конечных элементов для уравнений с частными производными
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ГЛАВА 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

2.1. Введение

Вариационные принципы встречаются во многих физических и других задачах, и методы приближенного решения таких задач часто основаны на соответствующих вариационных принципах. Математически вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или большее) значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Подынтегральная функция зависит от координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование осуществляется по области, покрываемой координатами системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача определения минимума интеграла часто сводится к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений с частными производными при соответствующих граничных условиях. Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как способ решения исходных физических задач, сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы намерены описать приближенные методы, которые основаны непосредственно на вариационных принципах.

В качестве примера таких экстремальных задач рассмотрим двойной интеграл

где — непрерывная вместе со всеми производными до второго порядка функция, значения которой на границе области R заданы. Область R здесь — ограниченная область на плоскости Сравнительно легко показать (см. Курант и Гильберт, 1951), что необходимое условие экстремума состоит в том, что функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа

Из многих решений этого уравнения выбирается то, которое удовлетворяет заданным граничным условиям. К примеру, для

уравнение (2.2) сводится к уравнению Лапласа

Причина требования непрерывности вторых производных и теперь ясна; непрерывность обеспечивает существование уравнения Эйлера. Однако приближенные методы, основанные на минимизации в виде (2.1), требуют только непрерывно и и кусочной непрерывности ее первых производных.

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа: найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области R, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут иметь решений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи.

Одно очевидное преимущество вариационного подхода состоит в том, что нужно налагать менее жесткие требования на непрерывность решения. Этот парадокс разъясняется в разд. 1.3 книги Стренга и Фикса (1973) и в гл. 2 книги Клегга (1967). Полезным следствием более слабых требований непрерывности является то, что в вариационном подходе легче строить приближенные решения. Большая часть данной книги состоит в описании таких приближенных методов.

Оцениваемый в вариационном принципе интеграл берется по пространству, которое может иметь координату-время. Мы рассмотрим сначала вариационные задачи, не содержащие время. Эти вариационные задачи обычно выражают принцип минимума потенциальной энергии при нахождении состояния

устойчивого равновесия во многих классических задачах математической физики. В этой главе содержатся только те вопросы теории вариационных принципов, которые имеют отношение к главной теме книги. Никаких доказательств или подробных обсуждений здесь нет, и в случае особой заинтересованности читателю следует обратиться к соответствующим разделам книг Куранта и Гильберта (1951), Морса и Фешбаха (1958), Хилдебранда (1965), Шехтера (1971) и Клегга (1967).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru