5.5. Резюме

В этом разделе содержатся краткие выводы по некоторым из наиболее важных результатов разд. 5.2-5.4.

Первый результат относится к интерполяционным свойствам базисных функций, используемых в конечноэлементной аппроксимации, и называется условием полноты. Если в общем случае полином степени k интерполируется точно и решение и задачи второго порядка, заданной на двумерной области R, является достаточно гладким, так что то для аппроксимации Галеркина справедлива оценка

где h есть диаметр наибольшего элемента и интерполирует и. В этом контексте вид интерполирующей функции определяется типом используемой конечноэлементной аппроксимации; при этом предполагается, что все узловые параметры интерполяции определены точно.

Если решение и не является столь гладким, как этого требует оценка (5.53), то показатель степени у h в оценке ошибки уменьшается так, что при

Оценка ошибки в такой модифицированной форме используется, например, тогда, когда какая-либо из младших производных имеет особенности внутри области R или на ее границе. Тот случай, когда имеет особенности на границе, подробно обсуждается в других работах (Стренг и Фикс, 1973, гл. 8, и Уэйт, 1976) и здесь рассматривается только вкратце в разд.

Для аппроксимаций, построенных на элементах, у которых базисные функции не выражаются непосредственно через пространственные переменные х и у, а определяются вместо этого с помощью преобразования к стандартному элементу с новыми переменными и q, показатель степени у h в (5.53) определяется немного иначе. Для таких аппроксимаций, в которые входят и весьма распространенные изопараметрические элементы, k есть степень полиномов по и q, которые интерполируются точно.

При использовании криволинейных изопараметрических элементов важно помнить о тех строгих ограничениях, при которых справедливы оценки (5.53) и (5.54). Даже когда только одна сторона треугольного элемента заменяется отрезком квадратичной кривой, элемент будет близким к треугольному с прямолинейными сторонами только с точностью Если криволинейная граница будет кубическим полиномом, то ограничения на элемент будут даже более строгими — детали изложены в разд. 5.3 на с. 132.

Если заданы граничные условия Дирихле, то необходимо добиться удовлетворения приближенным решением этих условий по всей длине границы, прежде чем применять оценки (5.53) или (5.54). Если же граничные условия интерполируются по конечному числу значений в граничных точках, оценка ошибки принимает вид

где величина добавочного члена определяется типом аппроксимации граничных данных. Оценкой (5.55) можно пользоваться также и тогда, когда область R аппроксимируется некоторым образом (например, многоугольником), когда применяется численное интегрирование или используются несогласованные элементы при построении аппроксимации. Все три приема можно рассматривать как отклонения от классического вариационного метода, и поэтому в анализе каждого из них есть много общего. Что же касается величины возмущения, то сходимость еще имеет место, если эта величина есть Измененная возмущением аппроксимация называется оптимальной, если порождаемая возмущением ошибка есть т. е. имеет тот же порядок малости, что и ошибка интерполяции.

(А) Численное интегрирование

Можно показать, что для задач второго порядка, при решении которых используются элементы с прямолинейными сторонами, порождаемый численным интегрированием добавочный член есть

при условии, что квадратура точна для всех полиномов степени это означает, что сходимость имеет место для квадратурной формулы порядка а оптимальность — для квадратурной формулы порядка Если используются треугольные изопараметрические элементы с криволинейными сторонами, то в силу упомянутых выше ограничений для обеспечения оптимальности аппроксимации необходимы квадратурные формулы порядка тогда как для сходимости достаточно формул порядка

(B) Интерполяция граничных условий

Если для каждого граничного элемента граничные условия согласованы только в конечном числе точек, то порядок соответствующего добавочного члена зависит от расположения этих точек интерполяции на границе. Аппроксимация будет оптимальной, если граничные данные согласованы в квадратурных точках Лобатто; это означает, что если граница элемента может быть задана параметрически как , то точки границы, по значениям в которых интерполируются граничные данные, определяются квадратурными точками Лобатто на интервале [0,0]. Другим способом задания квадратурных точек является использование длины дуги вдоль границы в качестве параметра.

(C) Аппроксимация криволинеиных границ

Можно показать, что если для каждого граничного элемента граница аппроксимируется кривой, уравнение которой представляется полиномом степени k, то граница отстоит от своего приближения на и поэтому аппроксимация будет оптимальной. В противоположность этому, если границу аппроксимировать многоугольником, то соответствующий добавочный член будет величиной порядка и сохраняется только сходимость.

(D) Несогласованные элементы

Можно показать, что сходимость имеет место, если элементы выдерживают кусочное тестирование (см. гл. 7),