4.5. Шестигранник

Вообще говоря, в случае трехмерного пространства элемент с шестью четырехугольными гранями лучше тетраэдра. Локальные изопараметрические координаты можно ввести как и для четырехугольных элементов в двумерном случае. Преобразование координат имеет вид

где и т. д., причем вершины пронумерованы как на рис. 16. При таком преобразовании произвольный шестигранник переходит в единичный куб в -пространстве. Затем по формуле

определяется изопараметрическая аппроксимация. Можно получить и триквадратичную и трикубическую аппроксимации, если ввести дополнительные точки на ребрах и гранях, а также ряд внутренних точек. Точки на гранях и внутренние точки можно исключить подобно тому, как это было сделано в Двумерном случае при исключении внутренних точек четырехугольника.

Упражнение 18. Вычислите базисные функции для триквадратичной изопараметрической аппроксимации на шестиграннике. Затем проверьте, что центры тяжести граней и самого шестигранника можно исключить и получить аппроксимацию вида

которая точно интерполирует квадратичные функции, но не имеет членов с и для которой и аналогично и аналогично

Упражнение 19. Проверьте, что трикубическая аппроксимация на шестиграннике требует 64 узлов: восемь вершин, по две точки на каждом ребре, по четыре — на каждой грани и восемь точек внутри шестигранника. Затем проверьте, что узлы на гранях и внутренние узлы, могут быть исключены для получения аппроксимации, которая включает члены

Рис. 16.

а также члены пятой степени , так что

где и аналогично и аналогично