ГЛАВА 6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ

В гл. 3 мы построили семейство приближенных методов решения задач с граничными условиями; они сводятся к нахождению стационарной точки некоторого функционала, которая является также и точкой экстремума. В этой главе мы по возможности обобщим такие методы на задачи с начальными данными. Однако при рассмотрении вариационной формулировки эволюционных задач возникают дополнительные трудности. Например, в случае диссипативных систем после дополнения основной задачи сопряженной соответствующий им функционал уже не будет обладать такими экстремальными свойствами. Даже в таких эволюционных задачах, для которых существует точная вариационная постановка, как, например, динамические системы Гамильтона, стационарная точка не является экстремальной.

Эти трудности привели различных авторов к предположению о том, что вариационные формулировки вряд ли окажутся полезными для решения нестационарных задач. Мы присоединяемся к этому мнению в особенности потому, что, как было показано в гл. 3, методом Галеркина можно пользоваться без какого-либо упоминания о вариационных принципах. Единственным оправданием изучения сопряженной задачи является желание рассмотреть диссипативные системы в рамках развитого здесь математического аппарата. Для подобных целей другие авторы предлагают так называемые ограниченные вариационные принципы или квазивариационные принципы; такие принципы не имеют большого внутреннего смысла, а просто служат математическим обоснованием для применения метода Галеркина к диссипативным системам. Все формулировки одинаково хороши в этом отношении и одинаково несовершенны в смысле строгости, когда дело касается задач с начальными данными.

6.1. Принцип Гамильтона

В разд. 2.5 уравнения движения непрерывно распределенной динамической системы были получены как необходимые условия стационарности функционала. Покажем теперь, что если используется этот подход, то приближенное решение может

быть получено, как и в гл. 3, путем определения стационарного значения относительно аппроксимирующего подпространства функций. Поскольку уравнения движения таких динамических систем будут гиперболического или параболического типа, соответствующий функционал не будет положительно определенным. Следовательно, даже для консервативных систем стационарное значение не является экстремумом и невозможно получить наилучшую аппроксимацию. Примером такого функционала, соответствующего уравнению движения

для колеблющейся струны, является выражение

Граничные условия

Может показаться, что приближенное решение вида

для уравнения (6.1) получается путем непосредственного применения изложенного в разд. 3.1 метода Ритца к функционалу заданному формулой (6.2); к сожалению, это приводит к несовместности в граничных условиях.

Задача, определяемая линейным гиперболическим дифференциальным уравнением вида

при границей где есть линейный эллиптический дифференциальный оператор, аналогичный введенному в гл. 3, корректно поставлена в области . если заданы граничные и начальные условия

и

Однако задача не будет корректной, если заменить условием при таким, например, как

Задача, определяемая уравнением (6.3) и условиями возникает при определении стационарного значения такого функционала и

где скалярное произведение обозначает то же самое, что и в главе 3.

Таким образом, перед вычислением решения Ритца для задачи, определяемой уравнением (6.3) и условиями (6.3 а), необходимо несколько видоизменить метод так, чтобы избежать введения граничного условия Мы не встретимся с этой трудностью, если воспользуемся полудискретным методом Канторовича, чтобы получить приближенное решение вида

поскольку при этом уравнение (6.3) будет заменено системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций (см. разд. 3.3). Условия заменятся эквивалентными условиями

и

Мы отложим обсуждение полудискретного метода до последнего параграфа и вернемся вкратце к задаче о вычислении решения Ритца вида

Если функция является решением уравнения (6.3) и удовлетворяет заданным условиям, то при любых То и таких, что функция доставляет стационарное значение интегралу где все допустимые функции удовлетворяют условиям

и

и граничному условию

В частности, если взять разбиение интервала точками

то решение уравнения (6.3) доставит стационарное значение каждому из функционалов

Отметим, что области задания функционалов по времени перекрываются. Используя функционалы (6.7) вместо функционала (6.4), можно построить метод решения в виде последовательных шагов, сводящихся к методу Ритца. А именно, считая решение известным на момент попытаемся найти численно стационарную точку функционала и тем самым решение на момент чтобы затем использовать его как известное условие. Чтобы осуществить это практически, представим задачу, так, как если бы граничное условие (6.3 а) было задано вместе со значениями решения на моменты и затем решим ее относительно неизвестного решения на момент Такой подход возможен при условии, что у нас имеется дополнительная информация о решении на промежуточном шаге . Следовательно, для вычисления решения на момент мы должны знать его на двух предыдущих шагах, т. е. при

В качестве примера мы опишем один из способов вычисления конечноэлементного решения уравнения (6.1). Возьмем в области разбиение вида

где и будем также считать, что

Теперь представим себе, что мы решаем краевую задачу, определяемую уравнением

и условиями

и

Рисю 26.

Чтобы получить приближенное решение этой задачи, определим в области ) билинейные базисные функции , соответствующие точкам (ср. с разд. 3.1), изображенным на рис. 26. Тогда приближенное решение запишется в виде

где есть значение этого решения в точке . При решении краевой задачи величины определяются из (6.9 а) и соответственно, определяются из системы

Мы же пытаемся решить не краевую задачу, а задачу с начальными значениями. Следовательно, если величины известны, система (6.11) должна быть использована для определения

Упражнение 1. Покажите, что пошаговый метод решения уравнения

с использованием билинейных базисных функций, который был описан выше, приводит к системе разностных уравнений

где есть операторы взятия центральных разностей второго порядка, и h — операторы интегрирования по Симпсону, введенные в разд. 3.1, а и область разбита так, что

Начальные условия

В приведенном выше примере и вообще в пошаговых методах, получающихся аналогичным образом для задачи необходимо как-то получить приближенное решение при и чтобы затем уже можно было использовать функционал для нахождения решения при Если между начальными и граничными условиями нет разрывов, то приближенное решение можно определить в виде

Использование этого представления эквивалентно переходу к такой задаче (ср. с разд. 3.2), для которой начальное условие заменено условием

При наличии разрывов, т. е. когда

нельзя использовать приближение вида (6.13) и необходимо аппроксимировать функцией вида

так, что либо интерполирует либо ошибка минимизируется в некоторой норме. Точно так же необходимо аппроксимировать и второе начальное условие, так что

является хорошим приближением для

Поэтому в рассмотренном выше примере можно ввести начальные условия

и

Такое использование принципа Гамильтона позволяет построить вполне работоспособный метод последовательных шагов для решения консервативных систем, хотя метаматическая формулировка такого метода в ряде случаев не кажется слишком убедительной. Аналогичным образом пошаговый метод для приближенного решения гиперболических уравнений описывается у Нобла (1973),