Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7.3. Смешанные интерполянтыОдин из методов получения конечноэлементных аппроксимаций, точно удовлетворяющих граничным условиям Дирихле, состоит в том, что в решение задачи включается некоторый смешанный функциональный интерполянт, построенный по заданным граничным значениям (Гордон, 1971). В простейшем случае — это билинейный смешанный интерполянт на квадрате. Если, например, где , то функция
где
точно интерполирует f на всех четырех сторонах квадрата. Более того, Гордон и Холл (1973) показали, что
тогда как для простого билинейного интерполянта
В качестве численного примера использования смешанных функциональных интерполянтов получим конечноэлементное решение задачи о потенциальном течении в области, представляющей собой единичный квадрат, с источником в точке Точным решением этой задачи является функция
где Поэтому нам нужно найти приближенное решение уравнения
удовлетворяющее условию на границе области. Разобьем область на квадратных элементов и применим метод Галеркина для нахождения приближенного решения, являющегося билинейным на не соприкасающихся с границей элементах и включающего билинейные смешанные интерполянты по граничным значениям на элементах, примыкающих к границе. Другими словами, мы ищем приближенное решение вида
где суть кусочные билинейные базисные функции, соответствующие точкам является кусочной билинейной смешанной функцией, которая отлична от нуля только на примыкающих к границе элементах и на каждом таком элементе представляет собой частный случай общей формы (7.12). Если элемент R со стороной h имеет два внутренних узла, а противоположная им сторона является частью границы, то на R
так как функция W линейна на трех других сторонах и равна нулю во внутренних узлах. Аналогично этому, если R есть угловой элемент с одним внутренним узлом и две его стороны являются частями границы, то на
Для сравнения эта задача решалась также с использованием аппроксимации, которая является билинейной на каждом элементе и в которой граничные условия интерполировались только по значениям в узлах. Численные результаты были получены для 16, 64, 144 и 256 элементов при . В табл. 4 максимальные по модулю значения приближенных решений, выбранные каждый раз по сетке 16-ти элементов, сравниваются со значениями точного решения в соответствующих точках. Таблица 4
Упражнение 5. Проведите такие же вычисления для задачи с периодическими граничными условиями, когда точным решением является функция
и сравните ваши численные результаты с теми, которые были получены для этой задачи Маршаллом и Митчеллом (1973). До сих пор мы строили смешанные функциональные интерполянты для прямоугольных элементов. Но они могут быть построены также и для треугольных элементов, и мы отсылаем интересующегося читателя к работам Барнхилла, Биркгофа и Гордона (1973), Барнхилла и Грегори (1976а) и (1976b) и Маршалла (1975).
|
1 |
Оглавление
|