7.3. Смешанные интерполянты

Один из методов получения конечноэлементных аппроксимаций, точно удовлетворяющих граничным условиям Дирихле, состоит в том, что в решение задачи включается некоторый смешанный функциональный интерполянт, построенный по заданным граничным значениям (Гордон, 1971). В простейшем случае — это билинейный смешанный интерполянт на квадрате.

Если, например, где , то функция

где

точно интерполирует f на всех четырех сторонах квадрата. Более того, Гордон и Холл (1973) показали, что

тогда как для простого билинейного интерполянта

В качестве численного примера использования смешанных функциональных интерполянтов получим конечноэлементное решение задачи о потенциальном течении в области, представляющей собой единичный квадрат, с источником в точке Точным решением этой задачи является функция

где Поэтому нам нужно найти приближенное решение уравнения

удовлетворяющее условию на границе области.

Разобьем область на квадратных элементов и применим метод Галеркина для нахождения приближенного решения, являющегося билинейным на не соприкасающихся с границей элементах и включающего билинейные смешанные интерполянты по граничным значениям на элементах, примыкающих к границе. Другими словами, мы ищем приближенное решение вида

где суть кусочные билинейные базисные функции, соответствующие точкам является кусочной билинейной смешанной функцией, которая отлична от нуля только на примыкающих к границе элементах и на каждом таком элементе представляет собой частный случай общей формы (7.12). Если элемент R со стороной h имеет два внутренних узла, а противоположная им

сторона является частью границы, то на R

так как функция W линейна на трех других сторонах и равна нулю во внутренних узлах. Аналогично этому, если R есть угловой элемент с одним внутренним узлом и две его стороны являются частями границы, то на

Для сравнения эта задача решалась также с использованием аппроксимации, которая является билинейной на каждом элементе и в которой граничные условия интерполировались только по значениям в узлах. Численные результаты были получены для 16, 64, 144 и 256 элементов при . В табл. 4 максимальные по модулю значения приближенных решений, выбранные каждый раз по сетке 16-ти элементов, сравниваются со значениями точного решения в соответствующих точках.

Таблица 4

Упражнение 5. Проведите такие же вычисления для задачи с периодическими граничными условиями, когда точным решением является функция

и сравните ваши численные результаты с теми, которые были получены для этой задачи Маршаллом и Митчеллом (1973).

До сих пор мы строили смешанные функциональные интерполянты для прямоугольных элементов. Но они могут быть

построены также и для треугольных элементов, и мы отсылаем интересующегося читателя к работам Барнхилла, Биркгофа и Гордона (1973), Барнхилла и Грегори (1976а) и (1976b) и Маршалла (1975).