1.2. Функциональные пространства

Этот параграф содержит введение в математические структуры, необходимые для понимания теоретических аспектов метода конечных элементов. Будет изложен только самый необходимый материал, а интересующемуся читателю мы рекомендуем обратиться к книгам Симмонса (1963) или Иосиды (1967).

Линейным или векторным пространством называется непустое множество X, в котором любые два элемента х и у могут быть объединены операцией, называемой сложением, так что в результате получается некоторый элемент из X, обозначаемый как причем операция сложения удовлетворяет следующим условиям:

Еще одна необходимая для линейного пространства операция состоит в том, что любой элемент может быть объединен с любым действительным числом или скаляром а. Операция эта называется умножением на скаляр и ее результат обозначается через Умножение на скаляр должно удовлетворять следующим условиям:

Одним из примеров линейного пространства является множество всех -мерных действительных векторов, для которых а определяется как и как

Нормированное линейное пространство (н. л. п.) есть линейное пространство, для которого определена норма каждого элемента обозначаемая через и удовлетворяющая следующим условиям:

Таким образом, появляется понятие длины элемента в линейном пространстве. Полунорма удовлетворяет условиям (I), (III) и (IV), но не удовлетворяет условию (II).

Пространство с внутренним или скалярным произведением есть линейное пространство, на котором для каждой пары вектором определена действительная функция удовлетворяющая условиям:

Упражнение 8. Покажите, что линейное пространство со скалярным произведением является линейным нормированным пространством относительно нормы

Затем убедитесь в справедливости правила параллелограмма

Покажите также, что

Пусть есть последовательность точек в линейном пространстве со скалярным произведением. Тогда

(a) называется последовательностью Коши, если для любого найдется такое , что при всех

(b) называется сходящейся последовательностью, если в этом пространстве существует такая точка что для

каждого найдется такое что при всех

Упражнение 9. Покажите, что сходящаяся последовательность будет последовательностью Коши.

Чтобы показать, что обратное утверждение неверно, поступим следующим образом.

Рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на интервале [0, 1], определяемое естественными операциями сложения функций и умножения функции на число, и определим в нем скалярное произведение как интеграл от произведения функций на интервале [0, 1]. Как известно из анализа, пределом последовательности таких функций может быть и разрывная функция, что и показывает неверность обратного утверждения.

Пространство, для которого все последовательности Коши являются сходящимися, называется полным. Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством.

До сих пор неявно рассматривались пространства, элементы которых являются точками на действительной оси, векторами или матрицами. Чтобы получить гильбертово пространство, удобное для метода конечных элементов, необходимо ввести такое пространство, в котором точки представляют собой функции. Наиболее употребительные функциональные пространства могут быть определены по аналогии с простейшим гильбертовым пространством, обозначаемым через . Пусть для простоты R обозначает интервал на действительной оси. Функция является точкой этого пространства только тогда, когда интеграл

конечен. Такая функция называется измеримой. Для любых двух точек скалярное произведение определяется как

а норма как

Сложение определяется как

Упражнение 10. Покажите, что если конечны, то скалярное произведение также будет конечным.

Подмножество линейного пространства, которое само является линейным пространством, называется подпространством.

Упражнение 11. Пусть пространство, определенное выше. Будут ли подпространствами следующие его подмножества:

Упражнение 12. Пусть К есть подпространство линейного пространства не совпадающее с ним самим, и пусть X — множество точек вида где — некоторая фиксированная точка, принадлежащая но не принадлежащая любая точка из К. Покажите, что множество X, обозначаемое через не является линейным пространством.

Множество X называется линейным многообразием.

Отображение Т гильбертова пространства на само себя называется линейным оператором, если

Линейный оператор Т называется ограниченным, если существует такая постоянная что

и наименьшее из всех возможных М значение называется нормой оператора и обозначается через ясно, что

Ограниченный линейный оператор непрерывен: это означает, что если точка является пределом последовательности то точка будет пределом последовательности

Пусть F — линейное отображение прямого произведения пространств пространство т. е. для любых де

значение и F линейно по каждому из аргументов; тогда F будет ограниченным, если существует такое что

есть наименьшее из таких М. Будем обозначать через пространство ограниченных линейных отображений из Пространство ограниченных линейных функционалов называется двойственным к и обозначается через 36. Элементы пространства есть билинейные формы (заданные на 36).

Упражнение 13. Пусть определим так, что при некотором фиксированном

Докажите, что

Отметим, что в дальнейшем для краткости нижние индексы у норм операторов часто будут опускаться.

Теорема 1.1. (Теорема Рисса о представлении функционала) (см. Иосида, 1967, с. 132). тогда и только тогда, когда существует единственный вектор такой, что для всех и 36

и

Теорема Рисса устанавливает взаимно однозначное соответствие между 36 и такое соответствие называется изоморфизмом, а два пространства, связанные таким соответствием, т. е. имеющие одинаковую структуру, называются изоморфными. Из определения нормы оператора следует, что

а из теоремы 1.1 следует, что существует такой элемент , для которого

Поскольку оказалось возможным сопоставить каждому элементу из 36 единственный элемент из не должна вызы

недоумение и запись вида

Линейный оператор Т, который отображает все гильбертово пространство на подпространство К, являющееся лишь частью называется проекцией, если он отображает точки из К на самих себя, т. е. если

Упражнение 14. Какие из следующих линейных операторов будут проекциями?

(I) Оператор Т, отображающий двумерный вектор вектор

(II) Оператор Q, отображающий пространство

на пространство линейных функций путем линей» ной интерполяции по значениям в концах интервала.

(III) Оператор S, переводящий пространство матриц порядка в диагональные матрицы по формуле

(IV) Оператор где S определен в (III).

Проекция Р называется ортогональной, если для всех из пространства и всех у из его подпространства К

т. е. если разность ортогональна всем у из подпространства К. Говорят, что эта разность принадлежит ортогональному дополнению К, которое обозначается через

Лемма 1.1. Если есть гильбертово пространство, любое его подпространство, то также будет гильбертовым пространством.

Лемма 1.2. Если Р есть ортогональная проекция гильбертова пространства на некоторое подпространство К, то будет ортогональной проекцией на и для любого существуют не такие, что , т. е.

Упражнение 16. Докажите лемму 1.1 и лемму 1.2.

Теорема 1.2. Ортогональная проекция гильбертова пространства на подпространство единственна, а величина

является минимальным расстоянием от до подпространства. 7

Доказательство. Допустим, что ортогональная проекция Р не единственна. Тогда существует другая ортогональная проекция Q, для которой

Так как

поскольку и получается противоречие. Следовательно, исходное предположение неверно и ортогональная проекция единственна.

Пусть теперь v есть любая точка в К, отличная от Тогда, как и выше,

Следовательно,

а это и является нужным для нас результатом.

Следствие (I).

Следствие (II). Для любого существуют единственные , такие, что и

В (1.21) можно поменять ролями К и , и тогда получится другое минимизирующее соотношение

Поскольку

последняя задача минимизации может быть сведена к нахождению

или

а эта задача имеет то же самое решение, что и задача (1.21).

Линейный оператор Т называется положительно определенным, если

и называется положительно полуопределенным, если (при всех ).

Например, отображение в будет положительно определенным, тогда как отображение будет положительно полуопределенным, так как

и обращается в нуль при и произвольном .

Сопряженным к Т называется такой оператор Г, для которого

Если то Т называется самосопряженным оператором.