4.4. Тетраэдр

Лагранжева интерполяция

Полный полином степени

можно использовать для интерполяции функции по

симметрично расположенным в тетраэдре узлам. Первые три случая этого общего представления для тетраэдра таковы:

(1) Линейный случай Полином задается формулой

где — значения в вершинах , и

где

и т.д., — любая перестановка (1, 2, 3, 4). Заметим, что — объем тетраэдра

(2) Квадратичный случай . Теперь полином таков:

где — значения в вершинах — значения в серединах ребер. Выражение (через имеет тот же вид, что и для треугольника (см. параграф 4.1).

(3) Кубический случай Здесь полином имеет

где - как и выше, — значения в точках трисекции ребер, а — значения в центрах тяжести граней. Формулы для (через ) имеют тот же вид, что и для треугольника (см. разд. 4.1).

Эрмитова интерполяция

Кубическую аппроксимацию на тетраэдре можно выписать подобно как

где — значения в центрах тяжести граней, противолежащих вершинам и где

и

z) получается из заменой g на — заменой на I, где Как и для треугольника, мы писали вместо для упрощения формул.

Упражнение 17. Проверьте, что можно исключить значения в центрах тяжести граней и все еще точно интерполировать квадратичные функции, если сделать замену

где означает суммирование (при фиксированном j) по для всех возможных четных перестановок (1,2,3,4). Покажите, что интерполирующий полином становится таким:

где