ГЛАВА 5. СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ

5.1. Введение

В гл. 3 было дано определение аппроксимации Галеркина. Было показано, что такая аппроксимация U удовлетворяет уравнению

где есть -мерное подпространство пространства допустимых функций Если предположить, что интегралы вычисляются точно, то анализ ошибок для кусочно-гладких аппроксимаций вида

сводится к двум основным моментам:

(1) Доказательству того, что аппроксимация является иаилучшей или почти наилучшей. В разд. 3.5 было показано, что аппроксимация Ритца будет наилучшей в энергетической норме, т. е.

В общем же случае удается показать лишь то, что аппроксимация Галеркина является почти наилучшей в некоторой соболевской норме это означает, что

при некоторых

(2) Оценке верхней границы правой части (5.3) в том специальном случае, когда элемент интерполирует решение. Если есть пространство конечноэлементиых аппроксимаций, то обычно существуют целое и постоянная такие, что ошибка интерполяции

ограничена как

при условии, что Если предположить, что решение и удовлетворяет соотношению

и является элементом соболевского пространства неравенства (5.3) и (5.4) могут быть объединены для получения оценки порядка сходимости аппроксимации Галеркина U при стремлении h к нулю.

Если, как это обычно имеет место, интегралы получаются численно по некоторой квадратурной формуле, то приближенное решение не определяется более соотношением (5.1), а определяется его приближенным аналогом

При этом оказывается возможным получить оценку порядка сходимости с помощью (5.3) и (5.4), еслн справедливо неравенство

при некотором Аппроксимация границы также приводит к некоторому изменению уравнений системы (5.1), как и использование несогласованных элементов, т. е. недопустимых функций Поэтому ясно, что анализ вопросов, порождаемых приближенным характером системы (5.5), имеет большое значение при практическом использовании метода конечных элементов.

Обозначения и вводные замечания

Билинейная форма а называется эллиптичной) в если существует такая постоянная что для всех

По аналогии с гл. 1 назовем ее ограниченной, если существует такая постоянная что для всех и,

Большинство оценок погрешностей в этой главе выражается в терминах соболевских норм. Такая норма определяется как

где в правой части использованы введенные ранёе мульти индексные обозначения. Полезным оказывается также понятие полунормы, определяемой производными только одного порядка:

Пространство Соболева (R) состоит из всех тех функций, для которых соответствующая Соболевская норма конечна. Через будет обозначаться (если не оговорено ничего другого) скалярное произведение функций в смысле пространства

Двойственное к пространство обозначается через а соответствующая ему норма имеет вид

В разделе 5.4 (В), где элемент будет определен для некоторого как

можно положить, не внося двусмысленности в обозначения,

Упражнение 1. Докажите, что для любого

В следующих неравенствах обозначаемые через С постоянные могут зависеть от области R и от пространства М допустимых функций, но не будут зависеть от самих рассматриваемых функций. Предполагается, что R является открытой ограниченной областью с гладкой (или кусочно-гладкой) границей что и, если не оговорено противное, R с Для достаточно гладких функций, принадлежащих, скажем, пространству иногда будет использоваться максимум-норма

вместе с соответствующей полунормой

Для любого определим пространство

и аналогично для любого конечномерного подпространства определим

через обозначается дополнение к Например, для любого подпространства конечных элементов будет подпространством, образованным только теми базисными функциями, которые соответствуют граничным узлам, т. е. обращаются в нуль во всех внутренних узлах.

Для краткости изложения различные дополнительные ограничения на область R при формулировке следующих лемм будут опущены. Эти ограничения не являются особенно обременительными и обычно выполнены, если граница будет достаточно гладкой между угловыми точками. Интересующийся читатель может обратиться к литературе, на которую в каждом случае имеются детальные ссылки. Предполагается, в частности, что лемма Соболева (см., например, Агмон, 1965, стр. 32 или Иосида, 1965, стр. 242) применима к обла т. е. что при

Лемма 5.1. При всех

Если есть минимальное собственное значение для задачи, определяемой дифференциальным оператором Лапласа и однородными граничными условиями Дирихле, то (Курант и Гильберт, 1953, стр. 386—392). Из леммы 5.1 следует, что для величины будут эквивалентными нормами. Лемма 5.1 является частным случаем более общих результатов:

Лемма 5.2 (Обэн, 1972, стр. 173).

Лемма 5.3 (Нечас, 1967, стр. 18).

Теорема 5.1 (лемма Брамбла — Гильберта; Брамбл и Гильберт, 1970; Сьярле и Равьяр, 1972а). Пусть элемент таков, что для всех Тогда существует такая постоянная что

Доказательство. Можно показать (упражнение 2), что для любого и существует такой полином что

Применяя теперь лемму 5.3, получим

Тогда в силу линейности функционала F

и после объединения всех этих результатов будем иметь

Упражнение 2. Докажите индукцией по k, что для любого и существует такой полином что

Чаще всего лемма Брамбла — Гильберта используется для получения оценок для билинейных форм. Например, пусть есть гильбертово пространство и F — ограниченная билинейная форма с аргументами из Тогда если

для всех при и функционал определен для некоторого в виде

то лемма Брамбла—Гильберта приводит к оценке

В разд. 1.2 (упражнение 13) показано, что для такого функционала

и объединение двух этих результатов приводит к неравенству

Упражнение 3. Используя лемму 5.3, доказать, что если

то

Регулярные преобразования

Обычно базисные функции определяются на стандартном элементе который может быть единичным квадратем или прямоугольным треугольником с единичными катетами, а затем вводится точечное преобразование для построения базисных функций на произвольном элементе Т (ср. с гл. 4). Поэтому естественно получать оценки погрешностей на стандартном элементе, если только они допускают обобщение на произвольные элементы.

В случае криволинейных элементов такое точечное преобразование обычно разбивается на два этапа путем введения промежуточного элемента Т. Этот промежуточный элемент имеет те же вершины, что и криволинейный элемент Т, но стороны его уже прямолинейны. Поэтому отображается на V линейным преобразованием таким, что

где Тогда отображение на криволинейный элемент Т можно рассматривать как нелинейное возмущение линейного преобразования. Если то полное преобразование запишется в виде

где есть линейное преобразование, a F, — нелинейный поправочный член. Все рассмотренные в гл. 4 криволинейные

элементы могут быть представлены таким образом. Заметим, что построение некоторых элементов в разд. 4.6 проводилось с помощью другой последовательности преобразований, в которой промежуточный элемент V имел криволинейные стороны и те же вершины, что и стандартный треугольник

Чтобы неравенства вида (5.6) можно было использовать для получения оценок порядка сходимости конкретных конечноэлементных аппроксимаций, часто бывает необходимо отобразить на и обратить это отображение. Поэтому мы будем считать отображение F настолько гладким, чтобы следовало бы, что где сложный составной) оператор определен как

Для упрощения обозначений мы часто будем писать v вместо v о F и в случае необходимости или, например, чтобы исключить возможную двусмысленность. Предположим также, что обратное преобразование настолько гладко, что при выполняется включение .

Условие 5.1 (условие регулярности). и диаметр элемента Т есть h, то существуют такие постоянные что

и

где J обозначает якобиан преобразования

Заметим, что это условие предполагает положительность якобиана для всех . В гл. 4 было показано, что якобиан всегда положителен, если отсутствуют так называемые запрещенные элементы.

Если все сводится к линейному преобразованию то якобиан будет константой и

и поэтому оценка становится тривиальной.

Условие регулярности выполняется для определенных нелинейных преобразований вида

где есть «малое» возмущение (см. упражнения 9 и 10). Если возмущающий член удовлетворяет некоторым условиям, то можно показать, что якобиан имеет вид

где величина также «мала», и поэтому выполняется условие 5.1 (Сьярле и Равьяр, 1972; Зламал, 1974).

Упражнение 4. Докажите, что из следует, что есла то

Упражнение 5. Докажите, что для любого

Сочетание леммы Брамбла — Гильберта с условием регулярности применяется главным образом (но, не исключительно) для оценки погрешности интерполяции. Столь же успешно это сочетание можно использовать для оценки ошибок, возникающих в результате применения численных квадратур, основанных на конечноэлементных разбиениях области интегрирования.

Упражнение 6. (I) Пусть есть ошибка численного интегрирования на стандартном элементе для функции (То), и пусть квадратурная формула точна для полиномов степени не выше k. Покажите с помощью леммы Брамбла — Гильберта, что

(II) Пусть теперь такая формула преобразована для интегрирования на произвольном элементе, полученном линейным преобразованием из стандартного элемента. Используя

условие регулярности, покажите, что ошибка интегрирования для может быть представлена в виде и что

Упражнение 7. (I) Пусть обозначает ошибку численного интегрирования на стандартном элементе произведения . Введем еще билинейную форму как

и предположим, что квадратурная формула точна для полиномов степени не выше . Докажите, что тогда найдется такая постоянная С, что

(Указание. Доказательство аналогично выводу неравенства (5.6),)

(II) Пусть теперь такая квадратурная формула преобразована для интегрирования на произвольном элементе с помощью линейного преобразования. Покажите, что тогда ошибка численного интегрирования произведения двух функций может быть представлена в виде и что

В упражнениях 6 и 7 предполагалась линейность преобразований, и поэтому когда При использовании нелинейных преобразований, как это будет в разделе необходимо рассматривать такие функции для которых является полиномом. Дальнейшие детали по поводу видоизменения квадратурных формул для интегрирования на произвольных элементах изложены в разделе

Упражнение 8. Докажите, что если то найдут такие постоянные что

и

Рис. 24.

Докажите далее по индукции, что неравенства (5.7 а) и останутся верными при если в них заменить на т.

Упражнение 9. (а) Покажите, что если точки являются серединами сторон соответственно, то квадратичные изопараметрические элементы с одной криволинейной стороной (см. рис. ) задаются преобразованием

(ср. с разд. 4.6).

(Ь) Покажите, что для такого преобразования

где

Найдите достаточные условия, при которых

т. е. . Сравните ваши результаты с (5.19).

Зламал (1973) предложил для треугольных элементов с одной криволинейной, стороной другой, подход, который приводит к аналогичны оценкам.

Упражнение 10. Покажите, что если точней делят на три равные части стороны соответственно (см. рис. 24(b)), то преобразование, задающее кубические изопараметрические элементы; содержит нелинейные

члены

Полные аппроксимации

Условие регулярности содержит предположения о свойствах преобразования, переводящего произвольный элемент в стандартный элемент. При объединении этих предположений с леммой Брамбла — Гильберта можно получить оценки типа (5.4), т. е. определить порядок сходимости конечноэлементной аппроксимации. Поэтому основное значение леммы Брамбла — Гильберта состоит в получении оценок для ошибок интерполяции. Лемма одинаково хорошо может использоваться при оценке ошибок для любой формы аппроксимации, представимой как проекция на пространство кусочных полиномов. Чтобы применить лемму, сначала необходимо сделать некоторые предположения относительно типов функций, лежащих в основе конечноэлементной аппроксимации.

Для любого элемента Т обозначим через пространство, определяемое теми пробными функциями, которые отличны от нуля на Т. Другими словами, есть сужение пространства пробных функций относительно элемента Т. Обозначим через пространство таких функций для которых Это пространство имеет особ о важное значение при анализе методов конечных элементов. Порядок метода определяется максимальной степенью полинома (по ), для которого ошибка аппроксимации функцией из равна нулю. В общем случае эта степень совпадает с таким максимальным k, для которого

Например, если рассматривается аппроксимация кусочными кубическими полиномами (Лагранжа или Эрмита) на треугольной сетке (разд. 4.1), то преобразование F будет линейным и Для аппроксимации (4.14) (определяемые 18 параметрами полиномы пятой степени со сшивкой в ) преобразование также будет линейным, но Р с (строгое вложение), а для биквадратичной изопараметрической аппроксимации (снова строгое вложение), но преобразование уже не будет линейным, т. е. не будет полиномиальным подпространством.

Для каждого элемента Т введем проекцию на так что для любой достаточно гладкой функции и функция

будет интерполировать на Т. Интерполяция в этом контексте означает согласование всех узловых параметров, которыми определяется конечноэлементная аппроксимация. Для функций, заданных на стандартном элементе, можно определить отображение П на как

Условие 5.2 (условие полноты). Для любого элемента Т диаметра h существует такое , что и для проекции П нормы равномерно ограничены при всех

Пример того, что нормы не будут равномерно ограничены, доставляют треугольные элементы, когда нормальная производная в точке стороны является параметром, а значение функции и тангенциальная производная — нет, и некоторые треугольники стремятся к вырожденным при измельчении сетки, т. е. есть такие элементы, у которых наименьший угол стремится к нулю (Брамбл и Зламал, 1970). Мы снова вернемся к этому примеру в конце разд. 5.3.

В параграфе 5.3 предполагается, что можно определить пространство для нецелых k так же, как и для. целых. Детальное обсуждение свойств такого пространства и смысла теоремы о следе выходит за рамки этой книги, и мы отсылаем интересующегося читателя к работам Обэна (1972), Лионса и Мадженеса (1972) или Нечаса (1967). Краткие сведения о наиболее важных свойствах этих пространств и об их приложениях можно найти в первой главе книги Варги (1971).