6.6. Сходимость полудискретных аппроксимаций Галеркина

Этот раздел содержит краткое изложение одной из оценок сходимости, полученных Томе и Уолбином (1975) и Уилером (1973) для модельной задачи, определяемой уравнением

начальным условием

и граничным условием

При этом ограничение двумя измерениями не является существенным.

Отправная точка для анализа та же, что и в гл. 5; а именно, формулировка предположения об аппроксимирующих свойствах подпространства . Поэтому предположим, что теорема 5.4 справедлива и существует такое , что для любого ошибка, порождаемая интерполяцией и элементом ограничена как

Если предположить, что нарушения вариационных принципов, отмеченные в гл. 5, отсутствуют, то полудискретная

аппроксимация Галеркина будет удовлетворять уравнению

Если то из (6.46) следует, что проекция которая при удовлетворяет условию

будет также удовлетворять неравенству

Из (6.47) и (6.48) получим, что

для любого при это дает

Применяя неравенство Шварца к правой части, получим

Из (6.49) следует, что

так что

и поэтому

Так как билинейная форма а эллиптична в (разд. 5.2), то объединение (6.49) и (6.50) дает

Это оценка в непрерывной форме для аппроксимации Галеркина. Если уравнение (6.47) решается пошаговым методом, то должен быть рассмотрен дополнительный источник ошибок. Рядом авторов были получены оценки таких ошибок; дальнейшие ссылки по этому вопросу можно найти, например, у Денди (1975) или у де Бура (1974).