3.2. Граничные условия

Мы показали, как методом конечных элементов могут быть решены задачи двух различных типов. Вначале мы рассмотрели однородные граничные условия Дирихле . В этом случае все допустимые функции должны удовлетворять этим условиям. Затем мы рассмотрели однородные граничные условия Неймана . Здесь на допустимые функции никаких ограничений не накладывается, поскольку граничные условия являются естественными для функционала (3.3).

Граничные условия Дирихле

В общем случае граничные условия Дирихле необходимо вводить как дополнительные условия на аппроксимирующие функции. Это легко сделать если нам нужно решить в некоторой области линейное дифференциальное уравнение

при условии, что

на границе причем g является гладкой функцией, допускающей явное аналитическое продолжение внутрь R, т. е. задана такая гладкая функция w, что

на определена всюду в R. В этом случае можно рассматривать приближенное решение вида

где все равны нулю на (Синж, 1957). Поскольку функции вида (3.9) образуют линейное многообразие, а не линейное пространство, часто для математического анализа удобнее

слегка изменить задачу. После такого изменения задача аппроксимации приобретает структуру классических приближений, описанных в разд. 1.3 и 1.5. Следует подчеркнуть, что численных расчетов это преобразование не затрагивает; меняется лишь математическая формулировка задачи. Следующее упражнение иллюстрирует это.

Упражнение 2. Пусть и уравнение (3.8) рассматривается в области . Пусть

Решите уравнение

т. е.

с условием на границе. Используя решение этого уравнения, заданное табл. 1 или любым другим способом, вычислите решение в узловых точках, изображенных на рис. 8, и сравните это приближение с точным решением

Другой подход к аппроксимации граничных значений

К сожалению, во многих практических задачах граничные условия Дирихле недостаточно гладки, чтобы гарантировать возможность явного аналитического продолжения. В таких задачах может оказаться удобным как-то аппроксимировать граничные данные, используя базисные функции не обращающиеся в нуль на границе. Таким образом, мы получаем приближенное решение вида

где некоторые из фиксируются начальными данными. Их можно подобрать, например, так, что приближенное решение

интерполирует граничные условия. Остальные параметры, соответствующие внутренним узлам, вычисляются по методу Ритца. Приближения такого типа не укладываются в рамках классической формулировки метода конечных элементов посредством вычисления вариаций, однако ниже, в гл. 5 показано, что, если все сделано правильно, точность аппроксимации не уменьшается. Широкое признание получил другой подход (Брамбл и Шатц, 1970; Бабушка, 1973; Нитше, 1971), в котором неоднородные граничные условия Дирихле вводятся с помощью так называемого функционала штрафа. Включая граничные условия в функционал, можно удалить все ограничения на аппроксимирующее подпространство Например, если даны дифференциальное уравнение (3.2) и граничное условие можно использовать функционал

Ясно, что, если ограничений на аппроксимирующие функции нет, стационарная точка функционала (3.12) соответствует решению уравнения (3.2), удовлетворяющему етественному граничному условию

на Неоднородные граничные условия Дирихле еще встретятся позднее в этой главе, когда будет описываться метод наименьших квадратов.

Неоднородные граничные условия Неймана или смешанные граничные условия могут быть включены в функционал аналогично (3.12) без внесения ограничений на аппроксимирующее подпространство.