Главная > Метод конечных элементов для уравнений с частными производными
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4.6. Криволинейные границы

До сих пор базисные функции строились в основном для сеток с прямыми сторонами ячеек. В реальных двумерных и трехмерных задачах, однако, границы и поверхности раздела часто криволинейны. Цель этого параграфа заключается в получении базисных функций для сеток, составленных из элементов с криволинейными сторонами (двумерный случай), или с криволинейными поверхностями (трехмерный случай). Криволинейный элемент появился при расчете сооружений у Эргатодиса, Айронса и Зенкевича (1968), и библиографические разъяснения по этому вопросу можно найти у Зенкевича (1975). В двумерном случае, если граница области является ломаной линией, элементов с прямыми сторонами обычно треугольников или четырехугольников, вполне достаточно. Однако если некоторая часть границы (или линии раздела материалов) изогнута, желательны элементы по крайней мере с одной криволинейной стороной.

Вначале мы рассмотрим треугольный элемент с двумя прямыми и одной криволинейной сторонами. С помощью

этого элемента и треугольников с прямыми сторонами можно адекватно решить большинство плоских задач с криволинейными границами и линиями раздела.

(А) Треугольники с одной криволинейной стороной

Рассмотрим треугольник -плоскости с прямыми сторонами которые описываются уравнениями соответственно. Криволинейная сторона, проходящая через точки описывается уравнением Функции нормированы так, что

Преобразование плоскости в плоскость выглядит так:

В плоскости получается треугольник где а криволинейная сторона выражается уравнением

Мы Используем здесь вместо (ср. с (4.2)), потому что треугольник с одной криволинейной стороной не является стандартным треугольником.

Теперь мы опишем один тип лагранжевой аппроксимации на криволинейном треугольнике которая удовлетворяет следующим условиям:

(I) Линейные полиномы интерполируются точно, т. е.

где — базисная функция, связанная с -узлом. Так как преобразование в линейно, соотношения (4.38) означают, что линейные полиномы в плоскости на треугольнике также интерполируются точно.

(II) Базисная функция , соответствующая равна тождественно нулю на криволинейной стороне

(III) Получающаяся кусочно-гладкая функция, определенная на сетке треугольников, каждый из которых имеет самое большее одну криволинейную сторону, - непрерывна.

Нетрудно увидеть, что для выполнения (I) и (II) на угольнике необходимо иметь по крайней мере четыре узла. В простейшем случае берутся три вершины и дополнительная точка на криволинейной стороне.

Вначале мы построим базисную функцию которая удовлетворяет (II), а затем используем (4.38) для построе . Применим геометрические рассмотрения, по добныё тем, которые были привлечены к получению базисных функций для четырехугольника, и поэтому рассмотрим семейство поверхностей которое пересекает плоскость по кривой и задается уравнением

Если мы наложим на условия

то можно определить с помощью одной произвольной константы а, так что (4.39) перейдет в

Теперь мы полагаем после чего остальные базис функции определяются из (4.38) как

Упражнение 20. Проверьте, что если в базисная функция имеет вид

а если криволинейная сторона является коническим сечением

то

и мы приходим к рациональным базисным функциям Уачсп ресса (1971, 1973, 1974 и 1975).

Упражнение 21. Если криволинейная сторона — отрезок гиперболы

покажите, что базисные функции суть полиномы, если

Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно использовать для аппроксимации криволинейных границ или поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные базисные функции.

(В) ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Квадратичная аппроксимация на стандартном треугольнике

Часто треугольные элементы с криволинейными границами преобразуют в стандартный треугольник, а потом используют изопараметрические аппроксимации. Проиллюстрируем этот подход вначале на примере общего криволинейного треугольника, изображенного на рис. 17. Преобразование -плоскости в -плоскость задается формулой

где квадратичные базисные функции определяются как в разд. 4.1, только заменены на и q соответственно. Тогда изопараметрическая аппроксимация получается аналогично, т. е.

Если мы рассмотрим частный случай треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной, так что

преобразование (4.44) сводится к

    (4.46 а)

где Обратное преобразование выглядит так:

    (4.47 а)

Рис. 17.

Упражнение 22. Покажите, что если то из (4.47 а) и следует, что удовлетворяет уравнению

и, следовательно, криволинейная сторона 0 заменяется кривой описываемой уравнением

которая оказывается параболой. Покажите далее, что если определена по (4.48), то (4.40) переходит в с заменой на . Объясните эту связь между йзопараметрической аппроксимацией и прямыми методами работы с криволинейными границами.

Упражнение 23. Покажите, что вообще криволинейная сторона задается уравнением

где заданы выше.

Запрещенные элементы

Одним из неприятных моментов использования изопараметрических координат для работы с криволинейными элементами является случай обращения в нуль якобиана РР преобразования, заданного в (4.46 а) и

Этот якобиан положителен для всех , q, таких, что если только точка лежит в области как показано на рис. 18. При других положениях точки в положительном квадранте плоскости, включая и линии якобиан либо равен нулю, либо отрицателен для некоторых значений (Джордан, 1970), и поэтому в этих «запрещенных» случаях изопараметрические координаты, вообще говоря, нельзя использовать для работы с криволинейными элементами (исключения из этого правила приводятся в разделе ). Причина этого заключается в том, что результаты, вычисленные с помощью изопараметрических координат нельзя перенести обратно на -плоскость, поскольку вследствие обращения в нуль якобиана где-то на элементе обратного преобразования нет.

Вместо использования изопараметрических координат мы можем работать прямо с I и , применяя (4.40) и Если, как в упражнении 22, искривленная сторона определяется из (4.48) и уравнение (4.40) будет иметь вещественные корни, если только

Нетрудно заметить, что при фиксированном R функция не имеет максимума или минимума внутри мента или где-либо на -плоскости. Следовательно, наименьшее значение достигается на границе элемента при всех значениях R. В самом деле, из (4.48)

Рис. 18.

Рис. 19.

следует, что

для всех R на криволинейной стороне, и, конечно, F всегда положительно на сторонах и в силу (4.49). Таким образом, условие (4.49) выполняется для всех R и для всех точек элемента.

При использовании в этом примере изопараметрических координат значения R в области использовать запрещается. Может показаться, что при использовании (4.40) таких ограничений нет. Однако с помощью простых геометрических рассмотрений можно показать, что при криволинейная граница пересекает оси l и в точках между началом координат и единичными точками осей (см. рис. 19).

Упражнение 24. Для найдите точки пересечения криволинейной стороны с осями между началом координат и единичными точками и покажите, что при эти точки стремятся к единичным точкам на соответствующих осях.

Упражнение 25. Покажите, что квадратное уравнение (4.40) имеет вещественные корни при любых значениях а, когда точка лежит на границе треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной стороной.

Кубическая аппроксимация на стандартном треугольнике

Однозначно определенный кубический интерполяционный полином на плоскости может быть записан как

где базисные функции описаны в разд. 4.1. Мы получим изопараметрическую аппроксимацию, если используем (4.50) для определения точечного преобразования (или (I, ) в заменой U на х и у (или ) (см. рис. 20). В частном случае треугольника с двумя прямыми сторонами, у которого — точки трисекции

Рис. 20.

сторон соответственно, мы получаем формулы

где — точки на криволинейной, стороне, а — внутри треугольника. Из (4.51) следует, что преобразованная кривая, проходящая через оказывается кубической.

Упражнение 26. Покажите, что если то кубическая кривая вырождается в единственную параболу, проходящую через точки . Если к тому же то докажите, что формулы преобразования (4.51) сводятся к

и что уравнение кривой из упражнения 23 при задает параболу данного упражнения.

В статье Маклеода и Митчелла (1975) построены примеры разнообразных криволинейных сторон и получены соответствующие дуги парабол. Во всех примерах было обнаружено, что параболы близки к первоначальным кривым. Важно подчеркнуть то, что изопараметрические элементы вообще чрезвычайно чувствительны к деформации основной треугольной формы.

(С) ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ОДНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТОРОНОЙ

В разд. 4.3 для биквадратичной аппроксимации на четырехугольнике была дана формула (4.30). В частном случае четырехугольника с тремя прямыми и одной криволинейной сторонами (рис. 21), в котором середины прямых сторон соответственно, формулы точечного преобразования, соответствующие (4.30), сводятся к

для изопараметрической аппроксимации, где

Координату q можно исключить из (4.52) и получить

Кривая задается уравнением

Здесь Эта кривая, конечно, — парабола. Следовательно, если, используются изопараметрические координаты, как определено формулами точечного преобразования, соответствующими (4.30), криволинейная сторона заменяется дугой параболы, уравнением которой является (4.53).

Упражнение 27. Для случая четырехугольника с одной криволинейной стороной и с дополнительными узлами в точках трисекции всех прямых сторон (рис. 22) покажите, что

Рис. 21.

Рис. 22.

формулы точечного преобразования сводятся к

Затем покажите, что изопараметрическая координата q может быть исключена, чтобы получить уравнение четвертой степени по , что кривая -четвертого порядка по I и , а кривые постоянных —прямые линии.

(D) ТЕТРАЭДР С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНЯМИ

Рассмотрим тетраэдр с четырьмя криволинейными гранями, у которого на каждом из шести искривленных ребер взят один промежуточный узел (см. рис. 23(a)). Стандартный тетраэдр в -пространстве можно отобразить в -пространство так, что его вершины и промежуточные узлы перейдут в соответствующие вершины и узлы произвольного наперед заданного искривленного тетраэдра. Это осуществляется с помощью точечного преобразования

где . Для изопараметрического элемента интерполирующая функция также задается в виде

Рис. 23.

(4.54) с заменой t на U. Так как большинство ограниченных областей в трехмерном пространстве можно приближенно разбить на тетраэдральные элементы либо с четырьмя плоскими гранями, либо с одной искривленной и тремя плоскими гранями, мы остановимся на последнем тетраэдре. Если плоские грани лежат в плоско стях соответственно, а вершины на осях соответствуют то мы приходим к рис. где — середины соответствующих прямых ребер, Теперь из (4.54) получаем формулы точечного преобразования

С помощью громоздких выкладок можно показать, что поверхность оказывается многочленом четвертой степени по .

(Е) Шестигранник с криволинейными гранями

Ограниченная область в трехмерном пространстве, имею криволинейную границу, может быть разбита на конеч ное число шестигранных элементов с криволинейными нями. Точечные преобразования, основанные на изопараметрических

аппроксимациях типа (4.35) и (4.36), можно использовать для перехода от произвольного шестигранника к единичному кубу в -пространстве. В преобразованном пространстве вычисления тогда выполняются обычным образом. К сожалению, формулы преобразования, соответствующие (4.35) и (4.36), столь сложны, что из них невозможно получить хоть какие-то представления о форме криволинейной поверхности, порождаемой точечными преобразованиями. Единственным утешением служит то, что это можно сделать, если провести поверхность через большое число точек, лежащих на первоначальной криволинейной поверхности.

Замечание. Имеется большая потребность в базисных функциях, которые точно воспроизводят конкретные криволинейные стороны и поверхности в двумерном и трехмерном пространствах соответственно. Это особенно важно в задачах динамики невязкой жидкости, где «подделка» границы полностью изменяет поведение скорости вблизи границы. Хотя изопараметрический подход является улучшением по сравнению с заменой кривых линий, и поверхностей прямыми линиями и плоскостями соответственно, он все же основан на точечных преобразованиях и поэтому дает только аппроксимацию исходных кривых и поверхностей. Предварительные результаты, основанные на геометрических рассмотрениях для нахождения точных базисных функций криволинейных элементов, можно найти у Уачспресса (1975), Маклеода (1977), Маклеода и Митчелла (1972) и Барнхилла и Грегори (1976 а) и (1976 b).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru