4.6. Криволинейные границы

До сих пор базисные функции строились в основном для сеток с прямыми сторонами ячеек. В реальных двумерных и трехмерных задачах, однако, границы и поверхности раздела часто криволинейны. Цель этого параграфа заключается в получении базисных функций для сеток, составленных из элементов с криволинейными сторонами (двумерный случай), или с криволинейными поверхностями (трехмерный случай). Криволинейный элемент появился при расчете сооружений у Эргатодиса, Айронса и Зенкевича (1968), и библиографические разъяснения по этому вопросу можно найти у Зенкевича (1975). В двумерном случае, если граница области является ломаной линией, элементов с прямыми сторонами обычно треугольников или четырехугольников, вполне достаточно. Однако если некоторая часть границы (или линии раздела материалов) изогнута, желательны элементы по крайней мере с одной криволинейной стороной.

Вначале мы рассмотрим треугольный элемент с двумя прямыми и одной криволинейной сторонами. С помощью

этого элемента и треугольников с прямыми сторонами можно адекватно решить большинство плоских задач с криволинейными границами и линиями раздела.

(А) Треугольники с одной криволинейной стороной

Рассмотрим треугольник -плоскости с прямыми сторонами которые описываются уравнениями соответственно. Криволинейная сторона, проходящая через точки описывается уравнением Функции нормированы так, что

Преобразование плоскости в плоскость выглядит так:

В плоскости получается треугольник где а криволинейная сторона выражается уравнением

Мы Используем здесь вместо (ср. с (4.2)), потому что треугольник с одной криволинейной стороной не является стандартным треугольником.

Теперь мы опишем один тип лагранжевой аппроксимации на криволинейном треугольнике которая удовлетворяет следующим условиям:

(I) Линейные полиномы интерполируются точно, т. е.

где — базисная функция, связанная с -узлом. Так как преобразование в линейно, соотношения (4.38) означают, что линейные полиномы в плоскости на треугольнике также интерполируются точно.

(II) Базисная функция , соответствующая равна тождественно нулю на криволинейной стороне

(III) Получающаяся кусочно-гладкая функция, определенная на сетке треугольников, каждый из которых имеет самое большее одну криволинейную сторону, - непрерывна.

Нетрудно увидеть, что для выполнения (I) и (II) на угольнике необходимо иметь по крайней мере четыре узла. В простейшем случае берутся три вершины и дополнительная точка на криволинейной стороне.

Вначале мы построим базисную функцию которая удовлетворяет (II), а затем используем (4.38) для построе . Применим геометрические рассмотрения, по добныё тем, которые были привлечены к получению базисных функций для четырехугольника, и поэтому рассмотрим семейство поверхностей которое пересекает плоскость по кривой и задается уравнением

Если мы наложим на условия

то можно определить с помощью одной произвольной константы а, так что (4.39) перейдет в

Теперь мы полагаем после чего остальные базис функции определяются из (4.38) как

Упражнение 20. Проверьте, что если в базисная функция имеет вид

а если криволинейная сторона является коническим сечением

то

и мы приходим к рациональным базисным функциям Уачсп ресса (1971, 1973, 1974 и 1975).

Упражнение 21. Если криволинейная сторона — отрезок гиперболы

покажите, что базисные функции суть полиномы, если

Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно использовать для аппроксимации криволинейных границ или поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные базисные функции.

(В) ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Квадратичная аппроксимация на стандартном треугольнике

Часто треугольные элементы с криволинейными границами преобразуют в стандартный треугольник, а потом используют изопараметрические аппроксимации. Проиллюстрируем этот подход вначале на примере общего криволинейного треугольника, изображенного на рис. 17. Преобразование -плоскости в -плоскость задается формулой

где квадратичные базисные функции определяются как в разд. 4.1, только заменены на и q соответственно. Тогда изопараметрическая аппроксимация получается аналогично, т. е.

Если мы рассмотрим частный случай треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной, так что

преобразование (4.44) сводится к

    (4.46 а)

где Обратное преобразование выглядит так:

    (4.47 а)

Рис. 17.

Упражнение 22. Покажите, что если то из (4.47 а) и следует, что удовлетворяет уравнению

и, следовательно, криволинейная сторона 0 заменяется кривой описываемой уравнением

которая оказывается параболой. Покажите далее, что если определена по (4.48), то (4.40) переходит в с заменой на . Объясните эту связь между йзопараметрической аппроксимацией и прямыми методами работы с криволинейными границами.

Упражнение 23. Покажите, что вообще криволинейная сторона задается уравнением

где заданы выше.

Запрещенные элементы

Одним из неприятных моментов использования изопараметрических координат для работы с криволинейными элементами является случай обращения в нуль якобиана РР преобразования, заданного в (4.46 а) и

Этот якобиан положителен для всех , q, таких, что если только точка лежит в области как показано на рис. 18. При других положениях точки в положительном квадранте плоскости, включая и линии якобиан либо равен нулю, либо отрицателен для некоторых значений (Джордан, 1970), и поэтому в этих «запрещенных» случаях изопараметрические координаты, вообще говоря, нельзя использовать для работы с криволинейными элементами (исключения из этого правила приводятся в разделе ). Причина этого заключается в том, что результаты, вычисленные с помощью изопараметрических координат нельзя перенести обратно на -плоскость, поскольку вследствие обращения в нуль якобиана где-то на элементе обратного преобразования нет.

Вместо использования изопараметрических координат мы можем работать прямо с I и , применяя (4.40) и Если, как в упражнении 22, искривленная сторона определяется из (4.48) и уравнение (4.40) будет иметь вещественные корни, если только

Нетрудно заметить, что при фиксированном R функция не имеет максимума или минимума внутри мента или где-либо на -плоскости. Следовательно, наименьшее значение достигается на границе элемента при всех значениях R. В самом деле, из (4.48)

Рис. 18.

Рис. 19.

следует, что

для всех R на криволинейной стороне, и, конечно, F всегда положительно на сторонах и в силу (4.49). Таким образом, условие (4.49) выполняется для всех R и для всех точек элемента.

При использовании в этом примере изопараметрических координат значения R в области использовать запрещается. Может показаться, что при использовании (4.40) таких ограничений нет. Однако с помощью простых геометрических рассмотрений можно показать, что при криволинейная граница пересекает оси l и в точках между началом координат и единичными точками осей (см. рис. 19).

Упражнение 24. Для найдите точки пересечения криволинейной стороны с осями между началом координат и единичными точками и покажите, что при эти точки стремятся к единичным точкам на соответствующих осях.

Упражнение 25. Покажите, что квадратное уравнение (4.40) имеет вещественные корни при любых значениях а, когда точка лежит на границе треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной стороной.

Кубическая аппроксимация на стандартном треугольнике

Однозначно определенный кубический интерполяционный полином на плоскости может быть записан как

где базисные функции описаны в разд. 4.1. Мы получим изопараметрическую аппроксимацию, если используем (4.50) для определения точечного преобразования (или (I, ) в заменой U на х и у (или ) (см. рис. 20). В частном случае треугольника с двумя прямыми сторонами, у которого — точки трисекции

Рис. 20.

сторон соответственно, мы получаем формулы

где — точки на криволинейной, стороне, а — внутри треугольника. Из (4.51) следует, что преобразованная кривая, проходящая через оказывается кубической.

Упражнение 26. Покажите, что если то кубическая кривая вырождается в единственную параболу, проходящую через точки . Если к тому же то докажите, что формулы преобразования (4.51) сводятся к

и что уравнение кривой из упражнения 23 при задает параболу данного упражнения.

В статье Маклеода и Митчелла (1975) построены примеры разнообразных криволинейных сторон и получены соответствующие дуги парабол. Во всех примерах было обнаружено, что параболы близки к первоначальным кривым. Важно подчеркнуть то, что изопараметрические элементы вообще чрезвычайно чувствительны к деформации основной треугольной формы.

(С) ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ОДНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТОРОНОЙ

В разд. 4.3 для биквадратичной аппроксимации на четырехугольнике была дана формула (4.30). В частном случае четырехугольника с тремя прямыми и одной криволинейной сторонами (рис. 21), в котором середины прямых сторон соответственно, формулы точечного преобразования, соответствующие (4.30), сводятся к

для изопараметрической аппроксимации, где

Координату q можно исключить из (4.52) и получить

Кривая задается уравнением

Здесь Эта кривая, конечно, — парабола. Следовательно, если, используются изопараметрические координаты, как определено формулами точечного преобразования, соответствующими (4.30), криволинейная сторона заменяется дугой параболы, уравнением которой является (4.53).

Упражнение 27. Для случая четырехугольника с одной криволинейной стороной и с дополнительными узлами в точках трисекции всех прямых сторон (рис. 22) покажите, что

Рис. 21.

Рис. 22.

формулы точечного преобразования сводятся к

Затем покажите, что изопараметрическая координата q может быть исключена, чтобы получить уравнение четвертой степени по , что кривая -четвертого порядка по I и , а кривые постоянных —прямые линии.

(D) ТЕТРАЭДР С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНЯМИ

Рассмотрим тетраэдр с четырьмя криволинейными гранями, у которого на каждом из шести искривленных ребер взят один промежуточный узел (см. рис. 23(a)). Стандартный тетраэдр в -пространстве можно отобразить в -пространство так, что его вершины и промежуточные узлы перейдут в соответствующие вершины и узлы произвольного наперед заданного искривленного тетраэдра. Это осуществляется с помощью точечного преобразования

где . Для изопараметрического элемента интерполирующая функция также задается в виде

Рис. 23.

(4.54) с заменой t на U. Так как большинство ограниченных областей в трехмерном пространстве можно приближенно разбить на тетраэдральные элементы либо с четырьмя плоскими гранями, либо с одной искривленной и тремя плоскими гранями, мы остановимся на последнем тетраэдре. Если плоские грани лежат в плоско стях соответственно, а вершины на осях соответствуют то мы приходим к рис. где — середины соответствующих прямых ребер, Теперь из (4.54) получаем формулы точечного преобразования

С помощью громоздких выкладок можно показать, что поверхность оказывается многочленом четвертой степени по .

(Е) Шестигранник с криволинейными гранями

Ограниченная область в трехмерном пространстве, имею криволинейную границу, может быть разбита на конеч ное число шестигранных элементов с криволинейными нями. Точечные преобразования, основанные на изопараметрических

аппроксимациях типа (4.35) и (4.36), можно использовать для перехода от произвольного шестигранника к единичному кубу в -пространстве. В преобразованном пространстве вычисления тогда выполняются обычным образом. К сожалению, формулы преобразования, соответствующие (4.35) и (4.36), столь сложны, что из них невозможно получить хоть какие-то представления о форме криволинейной поверхности, порождаемой точечными преобразованиями. Единственным утешением служит то, что это можно сделать, если провести поверхность через большое число точек, лежащих на первоначальной криволинейной поверхности.

Замечание. Имеется большая потребность в базисных функциях, которые точно воспроизводят конкретные криволинейные стороны и поверхности в двумерном и трехмерном пространствах соответственно. Это особенно важно в задачах динамики невязкой жидкости, где «подделка» границы полностью изменяет поведение скорости вблизи границы. Хотя изопараметрический подход является улучшением по сравнению с заменой кривых линий, и поверхностей прямыми линиями и плоскостями соответственно, он все же основан на точечных преобразованиях и поэтому дает только аппроксимацию исходных кривых и поверхностей. Предварительные результаты, основанные на геометрических рассмотрениях для нахождения точных базисных функций криволинейных элементов, можно найти у Уачспресса (1975), Маклеода (1977), Маклеода и Митчелла (1972) и Барнхилла и Грегори (1976 а) и (1976 b).