Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.6. Криволинейные границыДо сих пор базисные функции строились в основном для сеток с прямыми сторонами ячеек. В реальных двумерных и трехмерных задачах, однако, границы и поверхности раздела часто криволинейны. Цель этого параграфа заключается в получении базисных функций для сеток, составленных из элементов с криволинейными сторонами (двумерный случай), или с криволинейными поверхностями (трехмерный случай). Криволинейный элемент появился при расчете сооружений у Эргатодиса, Айронса и Зенкевича (1968), и библиографические разъяснения по этому вопросу можно найти у Зенкевича (1975). В двумерном случае, если граница области является ломаной линией, элементов с прямыми сторонами обычно треугольников или четырехугольников, вполне достаточно. Однако если некоторая часть границы (или линии раздела материалов) изогнута, желательны элементы по крайней мере с одной криволинейной стороной. Вначале мы рассмотрим треугольный элемент с двумя прямыми и одной криволинейной сторонами. С помощью этого элемента и треугольников с прямыми сторонами можно адекватно решить большинство плоских задач с криволинейными границами и линиями раздела. (А) Треугольники с одной криволинейной сторонойРассмотрим треугольник
Преобразование плоскости
В плоскости
Мы Используем здесь Теперь мы опишем один тип лагранжевой аппроксимации на криволинейном треугольнике (I) Линейные полиномы интерполируются точно, т. е.
где (II) Базисная функция (III) Получающаяся кусочно-гладкая функция, определенная на сетке треугольников, каждый из которых имеет самое большее одну криволинейную сторону, - непрерывна. Нетрудно увидеть, что для выполнения (I) и (II) на Вначале мы построим базисную функцию
Если мы наложим на
то можно определить
Теперь мы полагаем
Упражнение 20. Проверьте, что если в
а если криволинейная сторона является коническим сечением
то
и мы приходим к рациональным базисным функциям Уачсп ресса (1971, 1973, 1974 и 1975). Упражнение 21. Если криволинейная сторона — отрезок гиперболы
покажите, что базисные функции Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно использовать для аппроксимации криволинейных границ или поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные базисные функции. (В) ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫКвадратичная аппроксимация на стандартном треугольнике Часто треугольные элементы с криволинейными границами преобразуют в стандартный треугольник, а потом используют изопараметрические аппроксимации. Проиллюстрируем этот подход вначале на примере общего криволинейного треугольника, изображенного на рис. 17. Преобразование
где квадратичные базисные функции
Если мы рассмотрим частный случай треугольника с двумя прямыми сторонами и одной криволинейной, так что преобразование (4.44) сводится к
где
Рис. 17. Упражнение 22. Покажите, что если
и, следовательно, криволинейная сторона 0 заменяется кривой
которая оказывается параболой. Покажите далее, что если Упражнение 23. Покажите, что вообще криволинейная сторона
где Запрещенные элементыОдним из неприятных моментов использования изопараметрических координат для работы с криволинейными элементами является случай обращения в нуль якобиана
Вместо использования изопараметрических координат мы можем работать прямо с I и
Нетрудно заметить, что при фиксированном R функция
Рис. 18.
Рис. 19. следует, что
для всех R на криволинейной стороне, и, конечно, F всегда положительно на сторонах При использовании в этом примере изопараметрических координат значения R в области Упражнение 24. Для Упражнение 25. Покажите, что квадратное уравнение (4.40) имеет вещественные корни при любых значениях а, когда точка Кубическая аппроксимация на стандартном треугольнике Однозначно определенный кубический интерполяционный полином на плоскости
где базисные функции
Рис. 20. сторон
где Упражнение 26. Покажите, что если
и что уравнение кривой из упражнения 23 при В статье Маклеода и Митчелла (1975) построены примеры разнообразных криволинейных сторон и получены соответствующие дуги парабол. Во всех примерах было обнаружено, что параболы близки к первоначальным кривым. Важно подчеркнуть то, что изопараметрические элементы вообще чрезвычайно чувствительны к деформации основной треугольной формы. (С) ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ОДНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТОРОНОЙВ разд. 4.3 для биквадратичной аппроксимации на четырехугольнике была дана формула (4.30). В частном случае четырехугольника с тремя прямыми и одной криволинейной сторонами (рис. 21), в котором
для изопараметрической аппроксимации, где
Координату q можно исключить из (4.52) и получить
Кривая
Здесь Упражнение 27. Для случая четырехугольника с одной криволинейной стороной и с дополнительными узлами в точках трисекции всех прямых сторон (рис. 22) покажите, что
Рис. 21.
Рис. 22. формулы точечного преобразования сводятся к
Затем покажите, что изопараметрическая координата q может быть исключена, чтобы получить уравнение четвертой степени по (D) ТЕТРАЭДР С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНЯМИРассмотрим тетраэдр с четырьмя криволинейными гранями, у которого на каждом из шести искривленных ребер взят один промежуточный узел (см. рис. 23(a)). Стандартный тетраэдр в
где
Рис. 23. (4.54) с заменой t на U. Так как большинство ограниченных областей в трехмерном пространстве можно приближенно разбить
С помощью громоздких выкладок можно показать, что поверхность (Е) Шестигранник с криволинейными гранямиОграниченная область в трехмерном пространстве, имею аппроксимациях типа (4.35) и (4.36), можно использовать для перехода от произвольного шестигранника к единичному кубу в Замечание. Имеется большая потребность в базисных функциях, которые точно воспроизводят конкретные криволинейные стороны и поверхности в двумерном и трехмерном пространствах соответственно. Это особенно важно в задачах динамики невязкой жидкости, где «подделка» границы полностью изменяет поведение скорости вблизи границы. Хотя изопараметрический подход является улучшением по сравнению с заменой кривых линий, и поверхностей прямыми линиями и плоскостями соответственно, он все же основан на точечных преобразованиях и поэтому дает только аппроксимацию исходных кривых и поверхностей. Предварительные результаты, основанные на геометрических рассмотрениях для нахождения точных базисных функций криволинейных элементов, можно найти у Уачспресса (1975), Маклеода (1977), Маклеода и Митчелла (1972) и Барнхилла и Грегори (1976 а) и (1976 b).
|
1 |
Оглавление
|