Главная > Метод конечных элементов для уравнений с частными производными
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

(F) СИНГУЛЯРНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В разд. 4.6 было показано, что необходимо соблюдать осторожность при выборе узлов на изопараметрических элементах, чтобы нигде на элементе якобиан не обращался в нуль. Однако бывают такие ситуации, при которых обращение якобиана в нуль в отдельной точке может быть полезным. В этом разделе мы рассмотрим вкратце один случай применения таких изопараметрических элементов.

Если функция удовлетворяет уравнению

в области R, то в окрестности угловой точки границы она может быть представлена в виде

при некоторых постоянных где есть величина угла, внутри которого лежит R, а есть полярные координаты с началом в вершине угла. Отсюда следует, что вблизи вершины врезающегося в область угла производные главного члена в (7.35) неограниченно возрастают

Таблица 12

при стремлении к нулю. Следующие две ситуации имеют очень много общего: когда т. е. область имеет разрез или трещину, и когда т. е. область имеет прямоугольную «вмятину». Тогда главные члены разложения становятся пропорциональными соответственно. Одна из основных причин непригодности многих стандартных численных методов для решения таких задач состоит в том, что эти функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами (по ).

Теперь мы приведем два примера таких изопараметрических элементов, которые позволяют обойти эту трудность при условии, что угловая точка области является вершиной элемента, в котором другие узлы выбраны специальным образом.

(1) Для приближения могут быть использованы квадратичные элементы. Если (см. рис. 17), то изопараметрическое преобразование примет вид

и линейные по и q функции будут иметь нужное поведение вида где есть расстояние до вершины Например,

вдоль

и поэтому Якобиан этого преобразования можно представить в виде

и поэтому он обращается в нуль только в точке

(2) Для приближения в окрестности узла могут быть использованы кубические элементы. Если узлы расположены правильно, то изопараметрическое преобразование примет вид

По аналогии с предыдущим случаем можно убедиться, что линейные по и q функции ведут себя как так что квадратичные функции будут иметь нужное поведение вида Теперь якобиан преобразования запишется в виде

и обратится в нуль только при

Дополнительные подробности о сингулярных изолараметрических элементах, иллюстрацию их эффективности при проведении практических вычислений и обобщения такого подхода на различные особенности и на случаи более высоких размерностей можно найти в работе Уэйта (1976).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru