(F) СИНГУЛЯРНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В разд. 4.6 было показано, что необходимо соблюдать осторожность при выборе узлов на изопараметрических элементах, чтобы нигде на элементе якобиан не обращался в нуль. Однако бывают такие ситуации, при которых обращение якобиана в нуль в отдельной точке может быть полезным. В этом разделе мы рассмотрим вкратце один случай применения таких изопараметрических элементов.

Если функция удовлетворяет уравнению

в области R, то в окрестности угловой точки границы она может быть представлена в виде

при некоторых постоянных где есть величина угла, внутри которого лежит R, а есть полярные координаты с началом в вершине угла. Отсюда следует, что вблизи вершины врезающегося в область угла производные главного члена в (7.35) неограниченно возрастают

Таблица 12

при стремлении к нулю. Следующие две ситуации имеют очень много общего: когда т. е. область имеет разрез или трещину, и когда т. е. область имеет прямоугольную «вмятину». Тогда главные члены разложения становятся пропорциональными соответственно. Одна из основных причин непригодности многих стандартных численных методов для решения таких задач состоит в том, что эти функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами (по ).

Теперь мы приведем два примера таких изопараметрических элементов, которые позволяют обойти эту трудность при условии, что угловая точка области является вершиной элемента, в котором другие узлы выбраны специальным образом.

(1) Для приближения могут быть использованы квадратичные элементы. Если (см. рис. 17), то изопараметрическое преобразование примет вид

и линейные по и q функции будут иметь нужное поведение вида где есть расстояние до вершины Например,

вдоль

и поэтому Якобиан этого преобразования можно представить в виде

и поэтому он обращается в нуль только в точке

(2) Для приближения в окрестности узла могут быть использованы кубические элементы. Если узлы расположены правильно, то изопараметрическое преобразование примет вид

По аналогии с предыдущим случаем можно убедиться, что линейные по и q функции ведут себя как так что квадратичные функции будут иметь нужное поведение вида Теперь якобиан преобразования запишется в виде

и обратится в нуль только при

Дополнительные подробности о сингулярных изолараметрических элементах, иллюстрацию их эффективности при проведении практических вычислений и обобщения такого подхода на различные особенности и на случаи более высоких размерностей можно найти в работе Уэйта (1976).