ГЛАВА 3. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ

Вариационная формулировка вместе с присущими ей более слабыми требованиями непрерывности естественно переносится на приближенные методы решения, называемые обычно прямыми методами (Курант и Гильберт, 1951, стр. 154; Нечас, 1967). Применение этих методов сводит задачу к нахождению стационарных точек функции конечного числа вещественных переменных.

В этой главе, однако, мы рассматриваем лишь одно семейство прямых методов, а именно методы конечных элементов. Дается описание различных классов методов конечных элементов совместно с немногочисленными примерами из обширной области их применения; в гл. 7 приводится дополнительно еще несколько примеров. Вопросы точности и сходимости методов обсуждаются в гл. 5.

3.1. Метод Ритца

Создателем классического прямого метода обычно считают швейцарского математика В. Ритца (1878—1909). Если требуется решить вариационную задачу

где — пространство допустимых функций, приближенное решение и может быть получено, если ограничиться функциями из некоторого -мерного подпространства Сразу ясно, что если стационарная точка в (3.1) дает экстремум, то мы получаем оценку этого экстремального значения. Другими словами, если

тогда и только тогда, когда

то

для всех

Если функции образуют базис подпространства то будем искать приближенное решение в виде

причем значения искомых параметров должны быть такими, что стационарно относительно этих параметров Таким образом, получается система уравнений

Применим, например, метод Ритца к решению следующей задачи. В области — решить уравнение

при условии, что

Построим кусочно-билинейное приближенное решение по методу конечных элементов, используя метод Ритца, примененный к соответствующему этой задаче вариационному принципу

причем

где

В предыдущей главе было указано, что если на границе значения решения заданы (граничные условия Дирихле), то эти условия налагаются на пространство тогда как в случае задания естественных граничных условий это не является обязательным. В данной задаче необходимо ограничиться пространством функций, удовлетворяющих граничному условию

Аппроксимирующие функции определены на области разбитой на квадратных элементов посредством равно расположенных внутренних линий сетки, параллельных

осям (см. рис. 3). Тогда базисных функций подпространства определенных в гл. 1 (упражнение 6), принадлежат, очевидно, пространству так как они все обращаются в нуль на границе.

Приближенное решение имеет тогда вид

где — значение приближенного решения в точке Условием стационарности является система уравнений

Отсюда и из (3.3) получаем

Непосредственное вычисление интегралов приводит к уравнениям

где если . Эти уравнения можно записать через разностные операторы так:

где центрированные разностные операторы второго порядка, а — операторы «правила Симпсона», определенные равенством

и аналогично для Приближенное решение в узловых точках, изображенных на рис. 8, приводится в табл. 1; вследствие симметрии необходимо изображать только одну восьмую области. Точное решение в этой задаче есть

Рис. 8.

Если уравнение (3.2) снова решается в области — но заданы естественные граничные условия ди

пространство допустимых функций содержит также функции, не равные нулю на границе. Аппроксимирующее подпространство также должно содержать такие функции, поэтому мы берем дополнительные базисные функции соответствующие

Таблица 1

Рис. 9.

граничным точкам Такие функции не равны нулю самое большее на двух элементах, как показано на рис. 9(a), остальные же базисные функции отличны от нуля на четырех элементах (см. рис. 9(b)).

Упражнение 1. Используя метод Ритца и кусочно-билинейные базисные функции, вычислите коэффициенты уравнения

предполагая, что точка есть (а) угловая точка и точка на стороне. Здесь берутся естественные граничные условия, задан в (3.3).

Системы уравнений

Метод Ритца можно применять и к решению систем дифференциальных уравнений с частными производными в теории упругости при малых деформациях. Вообще, если мы берем приближения вида

и ищем стационарную точку функционала относительно U и V, то получаем уравнений