6.2. Диссипативные системы

Как уже упоминалось в начале этой главы, различные авторы пытались получить вариационную формулировку для диссипативных задач. Некоторые из них пытались получить такой же общий вариационный принцип, который был бы справедлив для большого класса таких задач (Финлейсон и Скривен, 1967, и цитируемые ими работы), как принцип Гамильтона — для консервативных систем. Основные недостатки подобных формулировок таковы:

(1) Вариационные принципы проще всего получаются из основных уравнений, так что вариационная формулировка требует дополнительных усилий, но не дает дополнительной информации.

(2) Участвующий в формулировке вариационного принципа функционал не имеет физического смысла и его стационарные значения никогда не являются настоящими экстремумами, которые могли бы быть использованы для получения оценок ошибки.

(3) Как уже отмечалось в предыдущем разделе, имеется заметная несогласованность между вариационными задачами и задачами с начальными данными, которая постоянно игнорируется в большинстве так называемых вариационных формулировок эволюционных задач.

Мы подчеркнули достоинства и недостатки вариационных формулировок именно в этом месте книги ввиду большого разнообразия в литературе таких формулировок для диссипативных или необратимых задач и подчас противоречивой их трактовки. Мы не будем рассматривать конечноэлементное решение эволюционных диссипативных систем, получающееся исходя из сопряженной формы задачи, а вместо этого приведем два упражнения, которые могут быть выполнены интересующимся читателем.

Упражнение 2. Покажите, что при подходящем выборе аппроксимирующих функций функционал, соответствующий задаче, определяемой простейшим уравнением диффузии

граничными условиями

и начальным условием

имеет вид

Покажите далее, что уравнение

является необходимым условием, для стационарности точки, определяемой из системы если либо (I) функция и считается известной при либо (II) считается известной при при

Замечание. Отсюда видно, что при вычислении стационарной точки функционала нужно предположить, что функция может принимать любые значения, тогда как и Поэтому функция - это не приближенное решение отдельной сопряженной системы, а скорее последовательность приближений для ряда отличных друг от друга сопряженных систем, соответствующих каждому из интервалов причем для каждой такой системы должно выполняться условие

Упражнение 3. Покажите, что решая методом последовательных шагов уравнение

как это было описано выше, и используя при этом билинейные, базисные функции, мы придем к системе разностных уравнений

где А есть оператор взятия разности вперед по определенные ранее разностные операторы по Область разбита так, что . Здесь читатель, знакомый

с конечноразностными методами, может сравнить полученное выше разностное уравнение со стандартной конечноразностной аппроксимацией простейшего уравнения диффузии, такой, например, как схема Кранка — Николсона. Аналогичное сравнение можно провести между уравнением (6.12) и стандартными конечноразностными аппроксимациями волнового уравнения.

Другие «вариационные» приемы численного решения простейшего уравнения диффузии можно найти у Нобла (1973), а также в работе Чекки и Челла (1973).