ГЛАВА 7. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ

7.1. Введение

Прежде чем применять метод конечных элементов в различных его формах к решению задач, полезно в сжатой форме сформулировать основные характеристики этого метода.

Метод может быть использован для решения как стационарных, так и нестационарных задач. Ограниченная пространственная или пространственно-временная область разбивается на некоторое число неперекрываюгцихся элементов. Аппроксимирующие функции, которые могут быть полиномами, рациональными дробями и т. д., относятся к конкретным элементам, и параметры при этих аппроксимирующих функциях согласованы так, чтобы обеспечивалась желаемая степень гладкости аппроксимации на стыках между соседними элементами. Тогда аппроксимирующая функция во всей области может быть выражена с помощью своих значений и значений своих производных в узловых точках области через базисные функции, которые отличны от нуля только на немногих элементах, расположенных вокруг соответствующих узлов. Более точно, аппроксимирующая функция для всей области имеет вид

где функции и т.д. имеют локальный носитель, а N есть число узловых точек в области. Функции и т. д. принимают единичное значение в узле . Во многих случаях (7.1) имеет упрощенный вид

хотя есть задачи, для которых необходимо использовать представление (7.1) общего вида, особенно те, в которых требуется большая гладкость между элементами или повышенная точность в определении градиента решения. Построение базисных функций и т.д. является одним из наиболее важных и часто одним из самых трудных моментов

в методе конечных элементов. Это в особенности верно для задач с криволинейными границами и линиями раздела, особенностями и т. д., и для задач с производными высоких порядков. Вопросы построения базисных функций изложены в гл. 4.

В конце этой главы мы увидим, как решаются некоторые, в основном физические и инженерные задачи методом конечных элементов в различных его формах (Ритца, Галеркина, наименьших квадратов, колокации). Разнообразные типы базисных функций и модификации основного метода будут использованы для того, чтобы подчеркнуть относительные преимущества тех различных приемов, которые объединяются под общим названием метода конечных элементов. Что касается базисных функций для задач, в которых требуется высокая степень гладкости между элементами (например, решение бигармонического уравнения в смысле наименьших квадратов должно принадлежать пространству 3), то здесь будут применены несогласованные элементы, и поэтому мы начнем эту главу с краткого описания некоторых используемых на практике несогласованных элементов.