6.5. Дискретизация по времени

Для нелинейных задач уже нельзя получить решения в таком виде, как в предыдущем разделе, и такими решениями редко пользуются для задач, в которых граничные условия зависят от времени. В таких случаях необходимо получать численное решение пошаговым методом. Подробное изложение численных методов для системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти у многих авторов (см., например, Ламберт 1973), и мы рассмотрим только такие методы, которые являются подходящими для вычисления конечноэлементных решений. Система таких уравнений, как (6.23), может быть жесткой (Ламберт, 1973, стр. 231), а это означает, что они могут быть решены с удовлетворительной точностью только некоторыми специальными методами (Лаури, 1977, Гопкинс и Уэйт, 1976).

Параболические уравнения с частными производными и соответствующие им системы первого порядка (по времени), вероятно, заслуживают наибольшего внимания, и наиболее распространенным способом их решения является так называемый метод Кранка — Николсона — Галеркина. В этом методе система дифференциальных уравнений

заменяется системой разностных уравнений

где аппроксимируют . Такую форму аппроксимации решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений более точно можно назвать методом трапеций. Из (6.33) следует, что на каждом шаге вычислений необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений для нахождения значений . К сожалению, ситуация не так проста для нелинейных уравнений вида

которые получаются в результате применения полудискретного метода Галеркина к уравнениям вида

Аппроксимация Кранка — Николсона — Галеркина в случае (6.34) сведется к системе нелинейных уравнений для определения так что придется применять метод «предиктор — корректор». Дуглас и Дюпон (1970) предложили ряд различных схем и провели их сравнительный анализ, но здесь мы можем лишь вкратце остановиться на типичном примере предлагаемых ими методов для решения уравнения (6.35) при

В этом случае с и

Поэтому с (а) можно представить как

и вместо (6.34) получить

тогда (6.33) заменится двумя уравнениями

и

Предиктор (6.38) дает первое приближение а затем можно дополнительно использовать корректор (6.39) для улучшения этого приближения.

Упражнение 7. Покажите, что полудискретный метод, использующий аппроксимацию Кранка — Николсона — Галеркина, в применении к простейшему уравнению диффузии

в случае линейных базисных функций сводится к системе разностных уравнений

где операторы , постоянная и разбиение области такие же, как и в упр. 3 из разд. 6.2.

Одношаговый метод Галеркина (конечные элементы по времени)

Другой подход состоит в дискретизации уравнения (6.32) с помощью аппроксимации Галеркина, т. е. в получении приближенного решения в виде

на каждом подынтервале где коэффициенты определяются из системы

и условия непрерывности

i-я компонента вектора есть

где

Заметим, что в представление (6.41) входят базисных функций, тогда как система (6.42) содержит только S уравнений, и поэтому вид разностной аппроксимации зависит от способа упорядочения базисных функций.

- Разобьем подынтервал так, чтобы

и

Предположим, что образуют базис для лагранжевой интерполяции на , т. е.

и есть полиномы степени S на . Из (6.43) следует, что

и поэтому при можно исключить из (6.42) и получить одно уравнение, связывающее

Рассмотрим, например, тот случай, когда

(Комини, дель Гвидичи, Левис и Зенкевич, 1974). Тогда

2) S = 2. Тогда

где

Можно показать (Халм, 1972), что некоторые хорошо известные разностные методы могут быть сформулированы как одношаговые методы Галеркина.

При использовании эрмитовой интерполяции получатся другие формулы. Другим возможным способом получения разностных схем является замена аппроксимации Галеркина (6.42) аппроксимацией в смысле метода наименьших квадратов.

Упражнение 8. Покажите, что если базисные функции расположены в обратном порядке, т. е.

и если то разностное уравнение примет вид

Упражнение 9. Можно получить другие системы разностных уравнений, если определить локальную аппроксимацию (6.41) с помощью системы

вместо (6.42), где отличны друг от друга. Покажите, что при

и

получатся следующие разностные уравнения:

(1) S = 1. Тогда

(2) S = 2. Тогда

Упражнение 10. Покажите, что если заменить (6.42) аппроксимацией в смысле наименьших квадратов, то при получится разностное уравнение

Метод переменных направлений Галеркина для параболических уравнений (Денди и Файервезер, 1975).

В гл. 3 этот метод был применен к эллиптическим задачам. Аналогичным образом его можно применять и к параболическим задачам, определенным на прямоугольных областях. Если используемые базисные функции заданы в виде тензорного произведения, то для аппроксимации, определяемой линейным уравнением

получается (в случае двумерной задачи) алгебраическая система, которая может быть записана как (см. гл. 3, стр. 71)

где через обозначается тензорное произведение. Если к левой части добавить член то (6.45) можно

заменить уравнением

которое может быть решено в два этапа, как и в эллиптическом случае (разд. 3.4).

Был предложен и ряд других методов, но при этом во многих случаях рассматривались только линейные задачи, например, в приложениях общих многошаговых методов (Зламал, 1975) и методов Норсетта (Семенич и Глэдвелл, 1974). Дюпон, Файервезер и Джонсон (1974) построили семейства трехслойных разностных схем для решения как линейных, так и нелинейных задач. Файервезер и Джонсон (1975) показали, что можно использовать локальную экстраполяцию Ричардсона, основанную на таких трехслойных схемах, а также на некоторых двухслойных схемах, предложенных Дугласом и Дюпоном (1970). Они рассмотрели также влияние интерполяции нелинейных коэффициентов, т. е. интерполяции таких функций, как в (6.36).