2.6. Двойственные вариационные принципы

До сих пор наши вариационные принципы были «односторонними», т. е. приближенное решение всегда давало оценку теоретического решения задачи либо сверху, либо снизу. Однако часто можно для задачи построить два вариационных

принципа так, что некоторая величина d дает минимум для одного и максимум для другого вариационного принципа. Если приближенные решения для принципов минимальности и максимальности соответственно, то

и поэтому мы имеем практический метод оценки величины d. Часто оказывается, что величина d имеет физический смысл.

Теперь мы дадим несколько примеров задач, в которых можно построить двойственные вариационные принципы.

(1) Классическая задача Дирихле. Здесь минимизируется функционал

на множестве непрерывных функций имеющих в области R кусочно-непрерывные первые производные и заданные значения на , где а — длина по границе R. Двойственная задача состоит в максимизации функционала

относительно непрерывных функций с кусочно-непрерывными в R первыми производными, которые удовлетворяют естественным граничным условиям на . В этом примере

Численная реализация этого двойственного принципа приводится в разд. 7.4 (С).

Упражнение 4. Поток несжимаемой невязкой жидкости параллелен оси Вычислите в этой задаче, считая R квадратом , и покажите, что их экстремальные значения совпадают. (Отметим, что и есть функция тока, потенциал течения.)

Упражнение 5. Покажите, что необходимыми условиями максимума являются уравнение Эйлера — Лагранжа

и естественные граничные условия

(2) Теория упругости при малых деформациях (Васидзу 1968). Пусть изотропное тело в трехмерном пространстве занимает область R, ограниченную замкнутой поверхностью Компоненты объемных сил (на единицу объема) обозначим через X, У, Z. Поверхность тела разбита на две части: , на которой в качестве граничных условий заданы внешние силы (на единицу площади) (X, У, Z), и на которой заданы перемещения ; при этом Тогда общая потенциальная энергия дается формулой

где

— модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона для данной среды. Если объемные и поверхностные силы не изменяются в процессе вариаций, достигает минимума при реальных перемещениях. В этом состоит принцип минимума потенциальной энергии.

Дополнительная энергия имеет вид

где

Если поверхностные перемещения остаются неизменными при вариациях, достигает минимум при реальных напряжениях. Это — принцип минимума дополнительной энергии. С помощью этих двух принципов удобно оценивать коэффициент прямого влияния или обобщенное перемещение (Пиан, 1970).

Упражнение 6. Покажите, что если выполнены следующие линейные соотношения между напряжением и

деформацией:

Упражнение 7. Покажите, что необходимыми условиями минимума потенциальной энергии

являются уравнения Эйлера — Лагранжа

и граничные условия

на границе области R (см. рис. 7).

(3) Течение сжимаемой жидкости (Севелл, 1969). Соответствующие объемные подынтегральные выражения, которые появляются в двойственных вариационных принципах, суть давление и величина где — плотность, а — скорость жидкости. Здесь

где — составляющие скорости, h и полная энергия и энтропия, приходящиеся на единицу массы соответственно. Из этих принципов следует, что

Здесь , а Т — температура. Вводится функция

для которой

Двойственные вариационные принципы, включающие и Р соответственно, могут усилить принципы экстремальности частных случаев течения сжимаемой жидкости.

Две попытки унификации двойственных принципов предприняты Севеллом (1969) и Артурсом (1970). Первый из них использует преобразования Лежандра (или инволютивные преобразования), второй — каноническую теорию уравнений Эйлера — Лагранжа. Превосходный обзор двойственных вариационных принципов вообще содержится в статье Нобла и Севелла (1972).