2.3. Граничные условия

Стационарные задачи, описанные в предыдущем разделе таковы, что искомая функция задана на границе и не может там варьироваться. Однако во многих задачах функция не задана на границе, и применяют другие граничные условия. Рассмотрим, например, (Курант и Гильберт, 1951, стр. 163— - 164) вариационную задачу, состоящую в минимизации интеграла

где и не задана в точках Необходимое условие минимизации состоит в том, что удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа

и граничным условиям

Последние известны как естественные граничные условия, поскольку они следуют яепосредственно из минимизации основного интеграла. Если граничные условия задачи не заданы непосредственно и не определены естественные граничные условия, минимизируемый функционал необходимо должным образом изменить.

Рассмотрим следующий модифицированный вид (2.4):

где произвольные функции. Необходимым условием минимизации этого функционала является (см. Шехтер 1971, с. 35) уравнение

с граничными условиями

Таким образом, с помощью функций можно получить подходящие граничные условия задачи. Например, вариационная задача, эквивалентная дифференциальному уравнению

с граничными условиями

имеет функционал

Если теперь мы рассмотрим двумерную вариационную задачу, состоящую в минимизации интеграла

где и не задана на границе области R, необходимое условие минимума состоит в том, что и удовлетворяет дифференциальному уравнению

с естественными граничными условиями

Рис. 7.

на кривой являющейся границей R. Если угол между нормалью к и осью равен а (см рис. 7), то где а означает длину дуги вдоль границы. В более общем случае двух искомых функций и и v (Хильдебранд, 1965, стр. 135) получается дополнительное уравнение Эйлера — Лагранжа для

и дополнительное естественное граничное условие

Если граничные условия не определяют явно граничные значения u (или v) или не являются естественными, то снова необходимо изменять функционал. Рассмотрим это на примере двумерной задачи со вторыми производными в подынтегральном выражении. Пусть требуется найти функцию доставляющую стационарное значение функционалу

где — операторы дифференцирования по направлениям касательной и нормали к кривой Интегрирование по осуществляется так, что область R при движении вдоль оказывается слева (движение по против часовой стрелки). Необходимое условие минимума — уравнение Эйлера — Лагранжа

с граничными условиями

Функция G выбирается так, чтобы граничные условия (2.5) и (2.6) соответствовали естественным граничным условиям задачи.