5.4. Ошибки возмущений

В оценках (5.16) и (5.17) содержатся два различных типа ошибок:

(1) Первый член

представляет собой ошибку аппроксимации и может быть оценен методами, изложенными в разд. 5.3.

(2) Все остальные члены возникают из-за приближенного характера уравнения Галеркина (5.12). В этом параграфе мы попытаемся оценить эти дополнительные члены для различных видов возмущений.

Конечноэлементное решение называется оптимальным, если для него порядок ошибок возмущений не превосходит порядка ошибки аппроксимации (Нитше, 1972).

В своем исследовании квадратурных ошибок Хеболд и Варга (1972) назвали квадратурную формулу совместимой, если в результате ее применения получается оптимальная аппроксимация.

(А) Численное интегрирование

Оценки ошибок интегрирования, осуществляемого численно с помощью стандартных квадратурных формул, были рассмотрены в упражнениях 6 и 7 разд. 5.1. В этом разделе мы рассмотрим этот вопрос более детально и получим оценки, справедливые при некоторых типах нелинейности в преобразовании, отображающем на Т.

Квадратурная схема на стандартном элементе задается последовательностью точек и последовательностью положительных весов . Если возмущенная билинейная форма эллиптична в , то условие необходимо. Любой интеграл по стандартному элементу можно записать в виде

где, как и раньше, есть оператор квадратурной ошибки для стандартного элемента. Чтобы получить квадратурную формулу для интегрирования на произвольном элементе, возьмем точки и веса где J есть якобиан преобразования F. Если обозначить через квадратурную

ошибку на элементе Т, то

В этом разделе, следуя Сьярле и Равьяру (1972с), мы изучим ошибки возмущений для решения дифференциального уравнения

с граничным условием

Предположим, что все ошибки возмущений возникают при вычислении скалярных произведений с помощью численного интегрирования. Поэтому все базисные функции удовлетворяют граничному условию и согласованы — для этой задачи Предположим далее, что область R разбита на 5 элементов и что для каждого элемента существует преобразование отображающее на него стандартный элемент; якобиан преобразования обозначим через

Поэтому нашей задаче будет соответствовать билинейная форма

и возмущенная форма будет иметь вид

где

Следовательно,

Таким образом, отдельные члены последней суммы имеют вид где есть соответственно и пусть являются настолько гладкими, что, Тогда для интегралов от произведений можно использовать оценку, полученную в упражнении 7, при условии, что h и являются полиномами по .

Аналогичным образом квадратурная формула применяется и к правой части уравнения Галеркина

где

Отсюда следует, что

и поэтому

Если снова при некотором то для произведения такого вида можно применить оценки квадратурных ошибок при условии, что есть полином по . Вместе с тем мы получили оценки возмущений (5.26) и (5.27), которые могут быть использованы в (5.16) и (5.17) при выяснении вопроса о сходимости аппроксимации.

Если каждый элемент получается из стандартного элемента линейным преобразованием, то все якобианы являются константами, и если есть полином, то полиномами будут и Можно показать, что на каждом элементе функции будут полиномами, если есть пробная конечноэлементная функция различных видов (Сьярле и Равьяр, 1972с).

Упражнение 19. Покажите, что для квадратичного изопараметрического элемента, приведенного в упражнении 9, функции линейны по и q. Покажите далее, что для любой кусочно-квадратичной пробной функции на каждом треугольнике функции

будут полиномами второй степени по покажите также, что есть полином четвертой степени.

Упражнение 20. Докажите, что если используются треугольные изопараметрические элементы степени k, то на каждом треугольнике функции будут полиномами степени для любой пробной функции Докажите, что в общем случае на каждом треугольнике.

Сделав предположение о полиномиальности на каждом элементе, можно оценки возмущений (5.26) и (5.27).

Теорема 5.5. Предположим, что для любой пробной функции на каждом элементе функции есть полиномы степени не выше — полином степени не выше и что условие регулярности выполняется для всех Тогда если квадратурная формула точна на стандартном треугольнике для полиномов степени не выше то возмущение (5.26) билинейной формы ограничено как

где есть любые пробные функции. Аналогично этому, если квадратура точна для всех полиномов степени не выше то возмущение (5.27) правой части ограничено как

для любой при условии, что

Если к примеру, применяются лагранжевы или эрмитовы элементы степени k, преобразование Т в То линейно и на каждом элементе Поэтому и если используется квадратура, которая точна для всех полиномов степени не выше то в (5.28) и в Тогда из (5.17) следует, что

где а интерполирует и. Как было показано в разд. 5.3 (следствие из теоремы 5.4),

поэтому аппроксимация будет оптимальной и

так как добавочные члены (5.28) и (5.29) есть также

Эта теорема не только указывает степень точности квадратурной формулы, обеспечивающую оптимальность аппроксимации, но указывает также, что минимальная степень, обеспечивающая сходимость при стремлении h к нулю, есть . В предыдущем примере она равнялась

Доказательство теоремы 5.5. Ошибка в билинейной форме складывается из членов вида

где Если и квадратура точна для полиномов степени то из леммы Брамбла — Гильберта следует, что (см. упражнение 7)

Считая коэффициент достаточно гладким, получим с помощью и результата упражнения 5, что

Просуммировав по всем элементам и поделив на получим (5.28).

Справедливость (5.29) установим, следуя Сьярле и Равьяру Введем проекцию По на одномерное подпространство А) функций — констант на элементе То; так что для любой функции

Типичный член в ошибке для правой части уравнений Галеркина может быть записан как

Так как то из леммы Брамбла — Гильберта следует, что (см. упражнение 7)

Но есть проекционный оператор, так что можно применить лемму 5.5, чтобы получить неравенство

Поэтому из (5.7а) следует, что

Аналогично этому, если есть константа, то

Объединяя (5.30) с (5.31), суммируя по всем элементам и деля на , получим желаемый результат.

Упражнение 21. Рассматривая ошибки вида

покажите, что если квадратура точна для полиномов степени и произвольный элемент переводится в стандартный элемент линейным преобразованием, то возмущение для задач четвертого порядка допускает оценку

при условии, что пробные функции согласованы и являются полиномами степени не выше чем на каждом элементе.

Результаты, аналогичные теореме 5.5, были получены Фиксом (1972) при изучении влияния квадратурных формул на лагранжеву и эрмитову конечноэлементные аппроксимации на многоугольной области. Квадратурные формулы исследовались также Хеболдом и Варгой (1972), но только для прямоугольных областей и в предположении, что билинейная форма проинтегрирована точно.

Сьярле и Равьяр (1972с) применили результаты теоремы 5.5 к изопараметрическим аппроксимациям, определенным как на треугольниках, так и на четырехугольниках. Они показали также, как выбрать такую квадратурную формулу, чтобы билинейная форма была эллиптична в и тем самым можно было обосновать применение оценки (5.17).

Однако эти результаты приводят к содержательным оценкам только тогда, когда используемые изопараметрические элементы имеют не более одной криволинейной стороны. Даже в этих случаях результаты определяются условиями, отмеченными в разд. 5.3. Большинство оценок квадратурных ошибок обобщается на случай для дифференциального уравнения

где

Упражнение 22. Используя результаты упражнения 20, покажите, что изопараметрическая аппроксимация степени k оптимальна, если используется квадратурная формула, степень точности которой равна .

(В) Интерполируемые граничные условия

Предположим теперь, что аппроксимирующее подпространство содержит функции, не обращающиеся в нуль на границе, но что интегралы вычисляются точно. Поэтому можно использовать оценку ошибки (5.15), в которой добавочным членом будет

Рассмотрим сначала приближенное решение уравнения

где

что соответствует дифференциальному уравнению

с граничным условием

Результаты этого раздела могут быть применены и в случае неоднородных граничных условий, если, как и в разд. 5.1, граничные значения допускают подходящее продолжение. Возможен и другой подход, использующий для оценки ошибок теорему 5.3.

Анализ методов, в которых граничные условия не удовлетворяются точно, почти всегда приводит к рассмотрению интегралов от граничных значений. Это относится также и к методам штрафов, описанным в разд. Можно определить соболевское пространство аналогично тому, как было определено пространство (R) в разд. 5.1. Из такого определения следует, например, что

а в силу теоремы о следе

Тогда из теоремы Грина следует, что

и, объединив эти два выражения, мы получим оценку вида

Чтобы быть применимым к задачам второго порядка, выражение (5.32) должно содержать но не должно содержать По этой причине Скотт (1975) ввел оценки вида

для пробных функций которые близки к нулю на границе dR. Бергер, Скотт и Стренг (1972) установили справедливость (5.33) для частного случая но они не смогли указать наилучший способ выбора пробных функций и обобщить этот результат. Из определения двойственного пространства еле дует, что оценка (5.33) эквивалентна неравенству

или тому, что при всех

Лагранжевы элементы

Сейчас мы установим справедливость (5.34) для одного частного вида интерполируемых граничных условий, рассмотренного Скоттом; при этом мы будем в основном придерживаться его метода. Пусть область R разбита на треугольные элементы и стороны элементов прямолинейны внутри R, а примыкающие к границе элементы могут иметь одну криволинейную сторону. В этом разделе предполагается, что (криволинейная) граница для любого граничного элемента может быть параметризована как

С целью упрощения алгебраических выкладок предположим, что для типичного граничного элемента Т координаты х и у выбраны так, что (рис. 25). Тогда для длины дуги будем иметь

и

Узлы интерполяции на искривленной стороне элемента определяются узлами -точечной квадратурной формулы Лобатто на интервале [0, 1], которые мы обозначим через . Такая квадратурная формула рассматривается, например, в работе Дэвиса и Рабиновича (1967). Таким образом, для типичного элемента точками интерполяции будут

Таблица 3. Таблица узлов квадратурной формулы Лобатто на интервале [0,1]

Рис. 25.

Интеграл от граничных значений из (5.34) можно переписать в виде

Типичное слагаемое этой суммы может быть представлено как

где

и

Теперь введем полином интерполирующий на интервале [0,0]. Из теоремы 5.4 следует (если заменить k на и ) что

если и тем самым достаточно гладкие функции. Поэтому (5.36) можно представить как ее в

Так как интервал может быть переведен в стандартный интервал [0,1] линейным преобразованием, то из леммы Брамбла — Гильберта (см. упражнение 23) следует, что

Но обращается в нуль в граничных точках интерполяции, и поэтому обращается в нуль в

точках интервала так что по теореме Ролля

Поскольку 0 не может превосходить диаметра элемента Т, из этого следует, что

Можно показать (см. упражнение 24), что

Объединяя два последних неравенства и интегрируя, будем иметь

и поэтому

где обозначает криволинейную часть границы элемента Т.

Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части (5.38). Так как функция обращается в нуль в квадратурных точках Лобатто, интеграл, содержащий как множитель в подынтегральном выражении, аппроксимируется нулем при использовании квадратуры Лобатто. Поэтому оценка квадратурной ошибки одновременно является и оценкой значения самого интеграла. Так как -точечная квадратура Лобатто точна для полиномов степени не выше из леммы Брамбла — Гильберта следует (см. упражнение 6), что в

где на T, и этому

Вместе с (5.37) это дает

Так как переход от Г к стандартному элементу является линейным, то из условия регулярности будет следовать, что

Объединяя эти четыре последние неравенства, получим

Суммируя теперь неравенства вида (5.41) и (5.42) по всем прилегающим к границе элементам, получим для ошибки возмущения оценку

и, следовательно,

Теорема 5.4 показывает, что для интерполяционных полиномов Лагранжа степени k ошибка интерполяции оценивается как

и поэтому оценка ошибки для аппроксимации Галеркина имеет вид

Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой интерполяцией граничных условий остается оптимальной до тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого порядка (по ), чем ошибка аппроксимации. Скотт (1975) и Чернука, Купер, Линдберг и Олсон (1972) предложили для треугольных элементов с криволинейными границами квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались также Бергером (1973) с целью получения оценки ошибки в терминах нормы пространства он также проводил численную проверку порядков (1972). В противоположность интерполяции граничных данных по конечному числу значений можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль всей границы, если использовать смешанные функциональные интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения О смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3,

Упражнение 23. Используя рассуждения, аналогичные приведенным в упражнении 6 (или в лемме 5.5), докажите, что из леммы Брамбла — Гильберта следует неравенство

где интерполирует z на интервале (Указание. Для доказательства рассмотрите функционал где

Упражнение 24. Покажите, что для лагранжевых интерполяционных полиномов степени k на треугольниках с прямолинейными сторонами при и любая пробная функция W удовлетворяет неравенству

Упражнение 25. Покажите, что оценка ошибки возмущения (5.44) справедлива также для частного вида эрмитовых кубических элементов, предложенных Скоттом (1975).

(С) Аппроксимация границы

По-видимому, первые оценки ошибок для методов конечных элементов на приближенно заданных областях были получены советскими математиками (см., например, работу Оганесяна, 1966). Они получили оценки для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных сетках и рассматривали только приближенное решение для задач второго порядка с граничным условием

заданным на криволинейной границе. Они показали, что

но их доказательства слишком сложны и выходят за рамки этой книги. Для таких задач были получены оценки ошибки в терминах нормы пространства (Оганесян и Руховец, 1969). Несколько позже было показано (Стренг и Бергер, 1971, Томе, 1973), что если есть многоугольник, вписанный в согласно Стренгу и Фиксу, 1977, параграф

4.4), то для модельной задачи, определяемой уравнением

и граничным условием на справедлива оценка

где есть решение возмущенной задачи, определяемой уравнением

н граничным условием на

Таким образом, если уравнение (5.46) решается приближенно путем разбиения многоугольной области и последующего вычисления конечноэлементного решения уравнения (5.47), то, согласно результатам разд. 5.3,

для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных разбиениях. Если аппроксимирующие функции содержат все полиномы степени 2 или выше, то, согласно тем же результатам,

Этот порядок аппроксимации может оказаться существенно ниже того, который получился бы только на основании результатов разд. 5.3, и происходит это из-за плохой аппроксимации вблизи границы; иногда это понижение интерпретируют, как эффект приграничного слоя. Можно воспользоваться принципом максимума, чтобы показать, что при наличии негладкой границы возмущения будут меньше внутри R. Некоторые результаты такого рода могут быть распространены на тот случай, когда Свойства сходимости конечноэлементных аппроксимаций вовне области изучались Нитше и Шатцем (1974), а также Брамблом и Томе (1974).

Бергер, Скотт и Стренг (1972) показали, что если область R в общем случае аппроксимируется областью которая не обязательно является многоугольником, так, что максимальное расстояние между двумя границами есть то соответствующий такому возмущению член в оценке (5.16) будет величиной порядка Этому условию может удовлетворять аппроксимация границы кусочными полиномами степени k, например, путем интерполяции; можно показать, что если для аппроксимации функций и интерполяции границы используются полиномы одинаковой степени, то

ошибка метода конечных элементов будет еще порядка в терминах нормы пространства Аналогичный результат имеет место для изопараметрических аппроксимаций, так как Сьярле и Равьяр показали, что заключения теоремы 5.5, будучи слегка измененными, остаются справедливыми и тогда, когда область задана приближенно. Похожий результат был получен Зламалом (1973, 1974). Задача Неймана рассматривалась несколькими авторами, например Стренгом и Фиксом (1973) и Бабушкой (1971).

(D) Методы штрафов

К этой категории относятся все те методы, в которых неоднородное граничное условие Дирихле рассматривается в форме интеграла от граничных значений, добавляемого к соответствующему функционалу, а не в форме наложения некоторого условия на аппроксимирующие функции. Такие методы могут основываться на методе наименьших квадратов или на методе Ритца, или же на сочетании их обоих. Наиболее часто употребляемый подход основывается на методе наименьших квадратов, для которого ошибки уже нельзя естественным образом получить в терминах соболевских норм, и приходится постоянно привлекать теорему о следе для оценки интегралов от граничных значений (см., например, гл. 6 в книге Варги, 1971).

Если мы предположим, что оценка ошибки интерполяции, приведенная в теореме 5.4, справедлива при некотором

то можно получить и непосредственную оценку ошибки, но не в терминах соболевских норм.

Теорема 5.6. Если конечноэлементная аппроксимация удовлетворяет условию

где

и если теорема 5.4 справедлива при некотором то имеет место неравенство

Доказательство. Так как

для любой функции и

(Агмон, 1965), то

Поэтому метод наименьших квадратов, заданный с помощью (5.48), является проекционным методом в том смысле, что

где норма определена как

Результат немедленно следует из неравенства (5.49) и теоремы 5.4 при и 2.

Можно доказать также, что

но доказательство выходит за рамки этой книги (Бейкер, 1973; или Брамбл и Шатц, 1970). Численный пример применения оценки такого частного вида будет приведен в разд. другие примеры можно найти у Сербина (1975).

Другие авторы предлагают отличные от изложенного проекционные методы для решения уравнения (5.46); они основывают свои методы на использовании таких норм, как

(Брамбл, Дюпон и Томе, 1972) и

((Брамбл и Нитше, 1973).

Такие методы допускают обобщение на задачи более высокого порядка и на задачи размерности большей двух.

Предлагаются также и методы, основанные на использовании стационарных точек функционалов, не являющихся положительно определенными (см., например, работу Томе, 1973). Методы штрафов изучались также Обэном (1972), с. 23.

(Е) Несогласованные элементы

Определим билинейную форму

которая не совпадает с билинейной формой

если функция v терпит разрыв вдоль границ между элементами; различие между двумя формами а и а является основным моментом при изучении несогласованных элементов (см. разд. 7.2); в дополнение к этому определим полунорму, соответствующую форме , как

а также норму

В качестве примера результатов, которые могут быть получены для несогласованных элементов, рассмотрим пространство кусочно-линейных элементов, которые согласованы в серединах сторон треугольной сетки (дальнейшие детали сиова можно найти в параграфе 7.2). Для таких элементов ошибка при интерполяции линейных функций равна нулю, так что по аналогии с разд. 5.3

для любой функции . Поэтому, если несогласованная аппроксимация оптимальна, добавочный член

должен быть не больше, чем

Применяя теорему Грина к каждому элементу, получим, что

где через обозначена сторона между двумя соседними элементами сетки, а два слагаемых в последнем интеграле, отмеченные как [1] и [2] соответственно, есть предельные значения, соответствующие элементам по обе стороны линии разрыва Применяя лемму Брамбла — Гильберта к функционалам вида

(см. упражнение 27), можно показать (Крузей и Равьяр, 1973), что если

для всех

Упражнение 26. Покажите, что (5.51) выполняется для кусочно-линейных несогласованных элементов, описанных выше.

Отметим, что в разд. 7.2 будет показано, что (5.51) представляет собой кусочное тестирование несогласованных элементов для задач второго порядка. Сьярле (1973) получил аналогичные результаты для элементов, связанных с задачами об изгибе пластины. Сравнительный анализ несогласованных элементов для задач об изгибе пластины имеется у Ласко и Лесена (1975).

Упражнение 27. Предполагая выполненным условие (5.51), примените лемму Брамбла — Гильберта к функционалу (5.50) и докажите тем самым справедливость оценки (5.52).