5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина

Продолжением результатов разд. 3.5 является доказательство того, что аппроксимация Галеркина для линейных задач в общем случае является почти наилучшей в смысле того определения, которое было дано в предыдущем параграфе. Основой такого доказательства служит обобщение леммы Лакса — Мильграма (Иосида, 1965, стр. 134):

Теорема 5.2 (Обэн, 1972, стр. 40). Если есть гильбертово пространство, и — эллиптичная в ограниченная билинейная форма, то существует единственный вектор и такой, что

Для данного -мерного подпространства существует единственный вектор такой, что

Более того,

Аналогичный результат может быть получен для некоторых нелинейных задач, допускающих применение теории монотонных операторов (Варга, 1971, гл. 4).

В качестве примера результатов, которые могут быть подучены с помощью теоремы 5.2, рассмотрим аппроксимацию Ритца решения уравнения

с граничным условием

где предполагается существование таких постоянных 6 и А, что

Для этого примера

Так как

билинейная форма будет ограниченной, а поскольку

то из леммы 5.1 следует, что она будет эллиптичной Следствие теоремы 5.2. Если и есть решение задачи (5.8) —

5.9), то аппроксимация Ритца такова, что

Упражнение 11. Докажите, что если (I) и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием на — любая такая функция, что на то аппроксимация Ритца при такова, что

Упражнение 12. Докажите, что если и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием —g на dR, то существует такая аппроксимация Ритца что

Отметим, что для существования решения необходимо предположение о совместимости Например, если в то мы предположим, что

и так как решение определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого, то это последнее можно выбрать так, чтобы

(Нечас, 1967, стр. 256). Следовательно, для получения результата можно применить лемму 5.3 при

Если необходимо аппроксимировать граничные условия базисными функциями, принимающими на границе ненулевые значения, то указать границу ошибки еще возможно. Если

где , то U содержит только такие базисные функции, которые могут принимать ненулевые значения на границе, и полностью определяется граничньши данными. Из определений параграфа 5.1 следует, что

Лемма! 5.4. Если и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием и — g на выбрано так, что есть фиксированная аппроксимация функции g, то конечноэлементная аппроксимация при такова, что

Доказательство. Так как

, то результат непосредственно следует из леммы 5.3 и определений

Если мы предположим, что существует гладкое продолжение g в R, то лемму 5.4 можно использовать также для получения оценок в терминах пространства . Существует по крайней мере одно такое продолжение — именно само решение и.

Теорема 5.3 (Файервезер, 1972, стр. 45). Пусть и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием на — любое гладкое продолжение g в R. Тогда конечноэлементная аппроксимация вида где есть аппроксимация будет такой, что

для любого

Отметим, что если, например, граничное условие получается с помощью интерполяции, то правая часть (5.10) состоит из ошибки аппроксимации функции и ошибки интерполяции функции w, которая отлична от нуля на границе.

Аппроксимация границы и численное интегрирование

Построение конечноэлементной аппроксимации для задач с интерполированными граничными условиями — как это только что было — это одно из основных нарушений вариационных принципов (Стренг, 1972), на которые приходится, постоянно идти при решении практических задач. Другие нарушения таковы: (I) искажение положения границы; (II) использование численного интегрирования для вычисления скалярных произведений и (III) применение несогласованных элементов. Несогласованные элементы будут детально рассмотрены в разд. 7.2. Если применяется любой из этих приемов, то приближенное решение не лежит более в а не удовлетворяет условию

Вместо этого решение и удовлетворяет условию

где обе части (5.12) и вид нового М-мерного пространства которое может содержать функции, не являющиеся допустимыми для изложенных в гл. 3 классических вариационных методов, зависят от характера нарушений вариационных принципов. Обычно бывает, что Если

как в том случае, когда единственным отличием от классической формы вариационного метода является применение численного интегрирования, то решения обеих систем (5.11) и (5.12) будут линейными комбинациями функций Коэффициенты такой комбинации для задачи (5.11) определяются из системы

где матрица жесткости Для приближенной задачи (5.12)

где Можно сравнить конкретные элементы с соответствующими элементами G и b и получить оценку нормы известным из линейной алгебры стандартным методом малых возмущений. К сожалению, этот метод в большинстве случаев позволяет получить лишь грубую оценку сверху для нормы (Фикс, 1972). Если предположить, что приближенная билинейная форма эллиптична в и ограничена, то тогда теорема 5.2 не только обеспечивает существование единственного решения, но и позволяет оценить степень приближения.

Упражнение 13. Покажите, что если есть эллиптичная в билинейная форма, то

для любого Тем самым докажите, что

и получите аналогичную оценку для

Упражнение 14. Покажите, что если есть ограниченная билинейная форма, то

для любых Докажите далее, что если к тому же эллиптична в то

для любого и существует такое что

Отметим, что оценкой (5.15) можно пользоваться только тогда, когда в некотором смысле близко к классической аппроксимации Галеркина. Это будет так, если или , где дополнительные обладают такими специальными свойствами, которые исключают их из числа допустимых для классической аппроксимации функций: например, они могут быть несогласованными. Оценка (5.16), наоборот, применима тогда, когда наше приближение существенно отличается от любой классической аппроксимации, как, например, в случае несогласованности всех элементов (разд. .

Аналогичным образом метод малых возмущений может быть применен и тогда, когда (5.5) является системой вариационных разностных уравнений (см., например, работу Демьяновича, 1964).

Упражнение 15. Докажите, что если к а такие билинейные формы, что эллиптична в а а ограничена, то