2.2. Стационарные задачи

Дифференциальное уравнение, которое связано с вариационным принципом, известно как уравнение Эйлера — Лагранжа. Оно является необходимым, реже — достаточным условием, которому должна удовлетворять функция, максимизирующая или минимизирующая определенный интеграл. В простейшей задаче вариационного исчисления требуется найти минимум интеграла

где граничные значения заданы, а штрих означает дифференцирование по Необходимым (но не достаточным) условием существования минимума является дифференциальное уравнение

которому должна удовлетворять функция и, доставляющая минимум функционалу Приведем обобщение этого факта для следующих ситуаций.

(1) Случай двух неизвестных функций. Минимизируемый интеграл есть

где значения заданы. Необходимые условия таковы:

(2) Случай функции двух переменных. Минимизируется интеграл

где и принимает заданные значения на границе области интегрирования R. Необходимое условие минимума:

(3) Наличие высших производных. В задачах со вторыми производными минимизируется интеграл

где значения заданы, а соответствующее необходимое условие есть

(4) Условный экстремум. В таких вариационных задачах функция должна удовлетворять ряду дополнительных условий. Здесь ищется экстремум одного интеграла при условии, что другие интегралы сохраняют постоянные значения. Такие задачи называют изопериметрическими. В качестве примера рассмотрим задачу о нахождении экстремума интеграла

при условии, что удовлетворяет уравнению

где а — заданная константа. Необходимое условие экстремума заключается в том, чтобы

где численное значение параметра Я находится из условия (2.3). В качестве простого примера изопериметрической задачи приведем следующую. Необходимо найти форму провисающей однородной струны с закрепленными концами. Здесь

требуется найти кривую проходящую через точки и минимизирующую интеграл

при условии, что интеграл

имеет фиксированное значение.

Упражнение 1. Покажите, что длина кривой, соединяющей две точки есть

Используя соответствующее уравнение Эйлера — Лагранжа, найдите путь наименьшей длины между этими точками.

Упражнение 2. Найдите кривую проходящую через две точки и дающую минимальную площадь поверхности вращения, при вращении кривой вокруг оси

Упражнение 3. Покажите, что уравнение

является необходимым условием минимизации интеграла

когда на поверхности содержащей объем R, функция задана.

Прежде чем идти дальше, дадим несколько примеров вариационных принципов и эквивалентных им уравнений Эйлера — Лагранжа. В этих примерах функции определяются в области R с границей

(1) Задача Дирихле для уравнения Лапласа.

(и задана на ).

(2) Нагруженная пластина с заделанным краем. (Бигармонический оператор)

Здесь — нагрузка по нормали на пластину.

(3) Теория упругости при малых деформациях. (Плоское напряженное состояние.)

(4) Радиация и диффузия молекул

(5) Задача Плато. (Найти поверхность минимальной площади, ограниченную замкнутой кривой в трехмерном пространстве.)

(6) Неньютоновские жидкости.

(7) Течение сжимаемой жидкости.

Из этих задач первые три — линейные, четвертая — слабо нелинейная, последние три — нелинейные.