Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. Стационарные задачиДифференциальное уравнение, которое связано с вариационным принципом, известно как уравнение Эйлера — Лагранжа. Оно является необходимым, реже — достаточным условием, которому должна удовлетворять функция, максимизирующая или минимизирующая определенный интеграл. В простейшей задаче вариационного исчисления требуется найти минимум интеграла
где граничные значения
которому должна удовлетворять функция и, доставляющая минимум функционалу (1) Случай двух неизвестных функций. Минимизируемый интеграл есть
где значения
(2) Случай функции двух переменных. Минимизируется интеграл
где и принимает заданные значения на границе области интегрирования R. Необходимое условие минимума:
(3) Наличие высших производных. В задачах со вторыми производными минимизируется интеграл
где значения
(4) Условный экстремум. В таких вариационных задачах функция
при условии, что
где а — заданная константа. Необходимое условие экстремума заключается в том, чтобы
где численное значение параметра Я находится из условия (2.3). В качестве простого примера изопериметрической задачи приведем следующую. Необходимо найти форму провисающей однородной струны с закрепленными концами. Здесь требуется найти кривую
при условии, что интеграл
имеет фиксированное значение. Упражнение 1. Покажите, что длина кривой, соединяющей две точки
Используя соответствующее уравнение Эйлера — Лагранжа, найдите путь наименьшей длины между этими точками. Упражнение 2. Найдите кривую Упражнение 3. Покажите, что уравнение
является необходимым условием минимизации интеграла
когда на поверхности Прежде чем идти дальше, дадим несколько примеров вариационных принципов и эквивалентных им уравнений Эйлера — Лагранжа. В этих примерах функции определяются в области R с границей (1) Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
(2) Нагруженная пластина с заделанным краем. (Бигармонический оператор)
Здесь (3) Теория упругости при малых деформациях. (Плоское напряженное состояние.)
(4) Радиация
(5) Задача Плато. (Найти поверхность минимальной площади, ограниченную замкнутой кривой в трехмерном пространстве.)
(6) Неньютоновские жидкости.
(7) Течение сжимаемой жидкости.
Из этих задач первые три — линейные, четвертая — слабо нелинейная, последние три — нелинейные.
|
1 |
Оглавление
|