Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.3. Аппроксимирующие подпространстваРассмотрим гильбертово пространство и пусть есть множество N элементов из Эти элементы называются линейно независимыми, если равенство
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов Если для каждого элемента существуют такие коэффициенты , что
то говорят, что множество S образует базис в есть -мерное пространство. Например, пространство векторов вида является двумерным пространством. Множество образует в нем базис, точно так же, как и множество оба этих базиса изображены на рис. 5. Упражнение 16. Докажите, что в одном пространстве два различных базиса должны иметь одинаковое число элементов. Важность конечномерных функциональных пространств становится понятной, если упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции рассматривать как элементы пространства Например, если интервал разбит точками , то можно построить множество эрмитовых функций, которые будут кусочно-линейными на этом интервале. Любое линейно независимое множество из таких функций образует базис в пространстве Нетрудно показать, что является полным подпространством в (мы предлагаем читателю сделать это в качестве упражнения), и поэтому Я является -мерным подпространством в Пирамидальные функции (1.3) представляются естественным базисом в для нахождения
Рис. 5.
Рис. 6. параметров
Упражнение 17. Пусть разбиение П задано точками и функции определены как
где если а), то . На рис. 6 приведена функция на интервале вместе с функцией (I) Постройте приближенные графики (II) Вычислите скалярные произведения и затем рассмотрите как базис в Я и найдите коэффициенты в разложении
Упражнение 18. Постройте базисы для пространства кубических сплайнов и пространства кусочно-линейных функций, заданных на треугольной сетке. Все упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции являются частными случаями общей задачи приближения. Эта задача состоит в том, что каждому элементу f гильбертова пространства ставится в соответствие единственный элемент f аппроксимирующего -мерного подпространства К (например, если Элемент f называется -приближением f. Отображение f в f обычно является линейным и при наличии линейности представляет собой проекцию. Например, если то J можно получить путем линейной интерполяции между точками разбиения. Это единственное отображение, являющееся также и проекцией. Упражнение 19. Постройте отображение из в , которое не является проекцией. Если аппроксимация любого элемента уже построена, имеет смысл задать вопрос о том, насколько она хороша. Аппроксимация является наилучшей, если элемент оказывается таким, что норма ошибки минимальна. В теореме 1.2 было показано, что если Р есть ортогональная проекция на К, то является минимальным расстоянием от до подпространства К, и поэтому представляет собой наилучшую аппроксимацию. Так как предполагается, что К имеет конечную размерность, то это предположение может быть использовано для построения наилучшей аппроксимации. Пусть образует базис в К. Так как
для всех , то
для всех возможных последовательностей коэффициентов и поэтому
Если
Это может быть переписано как
где
и
Матрица G называется матрицей Грама, а система (1.24) называется нормальной. Упражнение 20. Покажите, что для наилучшая аппроксимация J, определенная условиями (1.23), является также наилучшей в смысле метода наименьших квадратов. Отметим, что нормальную систему (1.24) не рекомендуется использовать для вычисления решения задачи по методу наименьших квадратов, так как с ростом ее порядка ее обусловленность быстро ухудшается. Упражнение 21. Покажите, что можно определить гильбертово пространство с помощью скалярного произведения
где есть подходящая весовая функция. Далее получите нормальную систему, которая определяет наилучшую в смысле метода наименьших квадратов с весом аппроксимацию для функции из Упражнение 22. Покажите, что для измеримых функций, имеющих измеримую первую производную, можно определить гильбертово пространство 36 (R) с помощью скалярного произведения
и нормы
где штрих означает дифференцирование по х. Получите нормальную систему для наилучшей аппроксимации функций из этого пространства. Пространство представляет собой пример пространства Соболева. Методы аппроксимации, включающие решение нормальной системы с целью получения ортогональной проекции функции на конечномерное подпространство, называются проекционными.
|
1 |
Оглавление
|