1.3. Аппроксимирующие подпространства

Рассмотрим гильбертово пространство и пусть есть множество N элементов из Эти элементы называются линейно независимыми, если равенство

имеет место только при нулевых значениях коэффициентов Если для каждого элемента существуют такие коэффициенты , что

то говорят, что множество S образует базис в есть -мерное пространство.

Например, пространство векторов вида является двумерным пространством. Множество образует в нем базис, точно так же, как и множество оба этих базиса изображены на рис. 5.

Упражнение 16. Докажите, что в одном пространстве два различных базиса должны иметь одинаковое число элементов.

Важность конечномерных функциональных пространств становится понятной, если упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции рассматривать как элементы пространства Например, если интервал разбит точками , то можно построить множество эрмитовых функций, которые будут кусочно-линейными на этом интервале. Любое линейно независимое множество из таких функций образует базис в пространстве Нетрудно показать, что является полным подпространством в (мы предлагаем читателю сделать это в качестве упражнения), и поэтому Я является -мерным подпространством в Пирамидальные функции (1.3) представляются естественным базисом в для нахождения

Рис. 5.

Рис. 6.

параметров

Упражнение 17. Пусть разбиение П задано точками и функции определены как

где если а), то .

На рис. 6 приведена функция на интервале вместе с функцией

(I) Постройте приближенные графики

(II) Вычислите скалярные произведения и затем рассмотрите как базис в Я и найдите коэффициенты в разложении

Упражнение 18. Постройте базисы для пространства кубических сплайнов и пространства кусочно-линейных функций, заданных на треугольной сетке.

Все упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции являются частными случаями общей задачи приближения. Эта задача состоит в том, что каждому элементу f гильбертова пространства ставится в соответствие единственный элемент f аппроксимирующего -мерного подпространства К

(например, если Элемент f называется -приближением f. Отображение f в f обычно является линейным и при наличии линейности представляет собой проекцию. Например, если то J можно получить путем линейной интерполяции между точками разбиения. Это единственное отображение, являющееся также и проекцией.

Упражнение 19. Постройте отображение из в , которое не является проекцией.

Если аппроксимация любого элемента уже построена, имеет смысл задать вопрос о том, насколько она хороша. Аппроксимация является наилучшей, если элемент оказывается таким, что норма ошибки минимальна. В теореме 1.2 было показано, что если Р есть ортогональная проекция на К, то является минимальным расстоянием от до подпространства К, и поэтому представляет собой наилучшую аппроксимацию. Так как предполагается, что К имеет конечную размерность, то это предположение может быть использовано для построения наилучшей аппроксимации. Пусть образует базис в К. Так как

для всех , то

для всех возможных последовательностей коэффициентов и поэтому

Если

Это может быть переписано как

где

и

Матрица G называется матрицей Грама, а система (1.24) называется нормальной.

Упражнение 20. Покажите, что для наилучшая аппроксимация J, определенная условиями (1.23), является также наилучшей в смысле метода наименьших квадратов. Отметим, что нормальную систему (1.24) не рекомендуется использовать для вычисления решения задачи по методу наименьших квадратов, так как с ростом ее порядка ее обусловленность быстро ухудшается.

Упражнение 21. Покажите, что можно определить гильбертово пространство с помощью скалярного произведения

где есть подходящая весовая функция. Далее получите нормальную систему, которая определяет наилучшую в смысле метода наименьших квадратов с весом аппроксимацию для функции из

Упражнение 22. Покажите, что для измеримых функций, имеющих измеримую первую производную, можно определить гильбертово пространство 36 (R) с помощью скалярного произведения

и нормы

где штрих означает дифференцирование по х. Получите нормальную систему для наилучшей аппроксимации функций из этого пространства. Пространство представляет собой пример пространства Соболева.

Методы аппроксимации, включающие решение нормальной системы с целью получения ортогональной проекции функции на конечномерное подпространство, называются проекционными.