Алгебра на векторном пространстве $\mathscr{E}$-это элемент $\operatorname{Hom}(\mathscr{E} \otimes \mathscr{E}, \mathscr{E})$. Алгебра является симметрической (соответственно, антисимметрической), если она представляет элемент $\operatorname{Hom}(\mathscr{E} \vee \mathscr{E}, \mathscr{E})$ [соответственно, $\operatorname{Hom}(\mathscr{E} \wedge \mathscr{E}, \mathscr{E})$ ]. Аналогично можно определить коалгебру, симметрическую и антисимметрическую, как элементы $\operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E} \otimes \mathscr{E}), \quad \operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E} \vee \mathscr{E})$ и $\operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E} \wedge \mathscr{E})$.

Если $\mathscr{E}$ — пространство линейного представления группы $G$, то элементы $\operatorname{Hom}(\mathscr{E} \otimes \mathscr{E}, \mathscr{E})^{a}\left(\operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E} \otimes \mathscr{E})^{a}\right)$ — это алгебры (коалгебры), группы автоморфизмов которых содержат группу $G$.

Если $G$ — компактная полупростая группа Ли, то для выполнения условия $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E} \otimes \mathscr{E})^{G}>0$ необходимо, чтобы представление на $\mathscr{E}$ имело невырожденный вес. Например, для пространства $\mathscr{G}$ присоединенного представления $\operatorname{dim}$ Hom $X$ $X(\mathscr{G} \wedge \mathscr{G}, \mathscr{G})^{a}=1$ для всех простых компактных групп Ли и соответствующая антисимметрическая алгебра совпадает с самой алгеброй Ли.

В гл. 5 будут рассмотрены два примера симметрических алгебр, однозначно определенных на вещественном пространстве НП группы $G=S U(3) \otimes S U(3)$ с $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(\mathscr{E} \vee \mathscr{E}, \mathscr{E})^{G}=1$. Для присоединенного представления простой компактной алгебры Ли $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(\mathscr{G} \vee \mathscr{G}, \mathscr{G})^{o}=0$ или 1. Последнее значение осуществляется, например, для группы $S U(n)$ при $n>2$. Симметрической алгеброй для группы $S U(n)$ начали пользоваться в литературе по физике элементарных частиц после того, как она была введена Гелл-Манном; мы рассмотрим лишь некоторые свойства этой алгебры,

Пусть $\mathscr{G}_{n}-\left(n^{2}-1\right)$-мерное вещественное векторное пространство эрмитовых $n \times n$-матриц со следом, равным нулю. Действие элемента $u \in S U(n)$ на пространстве $\mathscr{I}_{n}$ (векторном пространстве алгебры Ли) дается формулой $x \rightarrow{ }^{u} u x u^{-1}=u x u^{*}$. Эвклидово скалярное произведение
\[
(x, y)=\frac{1}{2} \mathrm{Sp}(x y)
\]

является инвариантом. Закон умножения в алгебре Ли группы $S U(n)$ имеет вид
\[
x \wedge y=-\frac{i}{2}(x y-y x) \equiv-\frac{i}{2}[x, y]
\]

и соответственно для симметрической алгебры ${ }^{1}$ )
\[
x \vee y=\frac{1}{2}\{x, y\}-\frac{2}{n}(x, y) \mathbf{I},\{x, y\}=x y+y x .
\]

Заметим, что для $n=2$ этот закон тривиален: $x \vee y=0$.
В физической литературе (главным образом для $n=3$ ) вводится ортонормированный базис $\left(e_{i}, e_{j}\right)=\delta_{i j}\left(i, j=1, \ldots ; n^{2}-1\right)$, а для структурных постоянных $f_{i j k}, d_{i j k}$ пользуются традиционными обозначениями $e_{i} \wedge e_{j}=\sum_{k} f_{i j k} e_{k}, e_{i} \vee e_{j}=\sum_{k} d_{i j k} e_{k}$. Используем обозначения $F(a)$ и $D(a)$ для линейных отображений на $\mathscr{G}$ :
\[
F(a) x=a \wedge x, \quad D(a) x=a \vee x
\]
[в матричном виде $F\left(e_{j}\right)_{i k}=f_{i j k}, D\left(e_{j}\right)_{i k}=d_{i j k}$ ].
Относительно скалярного произведения (1.18) отображение $F(a)$ антисимметрично, $D(a)$ симметрично. Отображения $D$ и $F$ являются тензорными операторами $\in \operatorname{Hom}(\mathscr{G}, \mathscr{L}(\mathscr{G}))^{S U(n)}$, так что из теоремы, сформулированной в конце разд. 1.3, следует, что $\mathrm{Sp} D(a)=0$. Қак известно, централизатор элемента $x$ в алгебре Ли $S U(n)$, т. е. множество $\{y, y \wedge x=0\}$, является подалгеброй Ли размерности $n-1$ или выше. Если ее размерность равна $n-1$, то это абелева подалгебра. Она называется подалгеброй Қартана $\mathscr{C}_{x}$ элемента $x$. (Все подалгебры
1) Эта алгебра не является иордановой алгеброй. Однако можно начать с представления, имеющего размерность $n^{2}$ и реализуемого на эрмитовых $n \times n$-матрицах. Соответствующая симметрическая алгебра является иордановой алгеброй Картана могут быть преобразованы одна в другую при помощи преобразования группы G.) Подалгебра $\mathscr{C}_{x}$ является линейной оболочкой ( $n-1$ ) линейно независимого вектора: $x, x \vee x$, $(x \vee x) \vee x=x \vee(x \vee x)$ и т. д. и является также подалгеброй относительно закона „ $\vee$ “. Корни $S U(n)$-это решения уравнения $r^{n}-(r, r) r^{n-2}=0$. Мы нормируем их условием $(r, r)=1$. В подалгебре Картана $\mathscr{C}$ существует $n(n-1)$ нормированный корень $r_{k}$ [если $r$ является корнем, то $(-r)$ — тоже корень]. Для каждого $a \in \mathscr{C}$ спектр оператора $F(a)$ имеет $(n-1)$ нуль на подпространстве пространства $\mathscr{C}$, а на ортогональном к нему подпространстве $\mathscr{C}^{\perp}$ :
\[
\text { спектр }\left.F(a)\right|_{\mathscr{C} \perp}=\left\{i\left(a, r_{k}\right)\right\} .
\]

Для $n>2$ определим
\[
\sqrt{\frac{n-2}{n}} q_{k}=r_{k} \vee r_{k}=\left(-r_{k}\right) \vee\left(-r_{k}\right) .
\]

Тогда
\[
\left(q_{k}, q_{k}\right)=1,
\]

и эти величины являются идемпотентами в $\mathrm{V}$-алгебре:
\[
q_{k} \vee q_{k}=\frac{n-4}{\sqrt{n(n-2)}} q_{k} .
\]

Мы назовем их „псевдокорнями“ [они являются весами алгебры $S U(n)]$, так как для любого $a \in \mathscr{Z}$ они удовлетворяют условию
\[
\text { спектр }\left.D(a)\right|_{\mathscr{C}^{\perp}}=\left\{\frac{n-2}{n}\left(q_{k}, a\right)=\left(a, r_{k} \vee r_{k}\right)\right\},
\]

причем все собственные значения имеют кратность по крайней мере 2.

Обозначим через $\lambda \in \operatorname{Hom}(\mathscr{G} \wedge \mathscr{G}, \mathscr{G})^{S U n)}, v \in \operatorname{Hom}(\mathscr{G} \vee \mathscr{G}$, $\mathscr{G}) S U(n)$ гомоморфизмы векторных пространств
\[
\lambda(x \otimes y)=x \wedge y, \quad v(x \otimes y)=x \vee y
\]

и рассмотрим гомоморфизмы правые обратные к ним:
\[
\lambda \circ \lambda^{\prime}=\text { тождество на } \mathscr{G}, v \circ \boldsymbol{v}^{\prime}=\text { тождество на } \mathscr{G} .
\]

Заметим, что $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ могут быть определены для любой полупростой алгебры Ли. Как мы уже сказали, $\lambda^{\prime}$ и $v^{\prime}$ определяют коалгебры на $\mathscr{G}$. Если $T$ есть $\mathscr{G}$-тензорный оператор, то, используя отображение $\widehat{T}$ диаграммы 2 , можно определить $\mathscr{G}$-тензорные операторы
\[
T \wedge T=\hat{T} \circ \lambda^{\prime} \quad \text { и } \quad T \vee T=\hat{T} \circ \boldsymbol{v}^{\prime} .
\]
Действуя последовательно, получаем
\[
\left(\cdots\left(\left(T_{\tau_{1}} T\right)_{\tau_{2}} T\right) \cdots\right)_{\tau_{k}} T,
\]

где $\tau_{i}$ — это либо $\wedge$, либо $\vee$. Для физиков, которые привыкли пользоваться координатами, в пространстве октета группы $S U$ (3) получаем ${ }^{1}$ )
\[
\lambda^{\prime}\left(e_{i}\right)=-\frac{1}{3} \sum_{j, k} f_{i j k} e_{j} \otimes e_{k}, \quad v^{\prime}\left(e_{i}\right)=\frac{3}{5} \sum_{j, k} d_{i j k} e_{j} \otimes e_{k} .
\]

Если обозначить $T\left(e_{i}\right)=T_{i}$, то
\[
(T \wedge T)_{i}=-\frac{1}{3} \sum_{j, k} f_{i j k} T_{j} T_{k}, \quad(T \vee T)_{i}=\frac{3}{5} \sum_{j, k} \dot{d}_{i j k} T_{j} T_{k} .
\]

Заметим, что когда группа $G$ компактна, a $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(\mathscr{E} \tau \mathscr{E}, \mathscr{E})^{G}=1$ ( $\tau$-или $\wedge$, или $\vee$ ), мы можем, конечно, определить величины $T \wedge T, T \vee T$ для любого вещественного неприводимого $\mathscr{E}$-тензорного оператора’, так как существует НП группы $G$ на $\mathscr{E}$, которое ортогонально и оставляет цнвариантным эвклидово скалярное произведение. В самом деле, в этом случае операторы $\lambda(v)$ сюръективны и осуществляют изоморфизм между $(\operatorname{Ker} \lambda)^{\perp}$ и $\mathscr{E}$ [между $(\operatorname{Ker} v)^{\perp}$ и $\mathscr{E}$ ], так что мы можем определить операторы правые обратные к ним.

Рассмотрим более частный случай, когда $G$-морфизм $T$ совпадает с самим $F$ [см. уравнение (1.6)], т. е. с представлением (с точностью до множителя $i$ ) алгебры Ли на $\mathscr{C}$. При этом $F \wedge F=i F$. В теории элементарных частиц часто используется группа $S U(3), F \vee F$ называют тогда оператором $D$-связи (см. разд. 5.1б).

Следуя школьной традиции, обозначим закон композиции в алгебре Ли для группы $S U(2)$ значком $\times$ (символизирующим векторное произведение):
\[
[F(\mathbf{a}), F(\mathbf{b})]=i F(\mathbf{a} \times \mathbf{b}),
\]

а структурные постоянные обозначим через $\varepsilon_{l j k}$ :
\[
e_{i} \times e_{j}=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} e_{k} .
\]

Таким образом, если $\mathbf{A}$-векторный оператор $\left[A\left(e_{i}\right)=A_{i}\right]$, то
\[
(\mathbf{A} \times \mathbf{A})_{l}=\sum_{j, k} \varepsilon_{l j k} \dot{A}_{j} A_{k}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i_{j} k}\left[A_{j}, A_{k}\right] .
\]
1) Здесь величины $f_{i_{j}}$ и $d_{i j k}$ — структурные постоянные, введенные Гелл-Манном.
Замечание. Если даны два $\mathscr{G}$-тензорных оператора $A$ и $B$, то можно определить такие операторы, как
\[
A \vee B=A \otimes B \circ v^{\prime}, \quad A \wedge B=A \otimes B \circ \lambda^{\prime}
\]

и, в частности, $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$. Если $A=B$, то это сводится к уравнению (1.26).