Алгебра на векторном пространстве $\mathcal{E}$-это элемент $\mathrm{Hom}(\mathcal{E}\otimes \mathcal{E},\mathcal{E})$. Алгебра является симметрической (соответственно, антисимметрической), если она представляет элемент $\mathrm{Hom}(\mathcal{E}\vee \mathcal{E},\mathcal{E})$ [соответственно, $\mathrm{Hom}(\mathcal{E}\wedge \mathcal{E},\mathcal{E})$ ]. Аналогично можно определить коалгебру, симметрическую и антисимметрическую, как элементы $\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathcal{E}\otimes \mathcal{E}),\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathcal{E}\vee \mathcal{E})$ и $\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathcal{E}\wedge \mathcal{E})$.

Если $\mathcal{E}$ — пространство линейного представления группы $G$, то элементы $\mathrm{Hom}(\mathcal{E}\otimes \mathcal{E},\mathcal{E}{)}^a(\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathcal{E}\otimes \mathcal{E}{)}^a)$ — это алгебры (коалгебры), группы автоморфизмов которых содержат группу $G$.

Если $G$ — компактная полупростая группа Ли, то для выполнения условия необходимо, чтобы представление на $\mathcal{E}$ имело невырожденный вес. Например, для пространства $\mathcal{G}$ присоединенного представления $\dim$ Hom $X$ $X(\mathcal{G}\wedge \mathcal{G},\mathcal{G}{)}^a=1$ для всех простых компактных групп Ли и соответствующая антисимметрическая алгебра совпадает с самой алгеброй Ли.

В гл. 5 будут рассмотрены два примера симметрических алгебр, однозначно определенных на вещественном пространстве НП группы $G=SU(3)\otimes SU(3)$ с $\dim \mathrm{Hom}(\mathcal{E}\vee \mathcal{E},\mathcal{E}{)}^G=1$. Для присоединенного представления простой компактной алгебры Ли $\dim \mathrm{Hom}(\mathcal{G}\vee \mathcal{G},\mathcal{G}{)}^o=0$ или 1. Последнее значение осуществляется, например, для группы $SU(n)$ при . Симметрической алгеброй для группы $SU(n)$ начали пользоваться в литературе по физике элементарных частиц после того, как она была введена Гелл-Манном; мы рассмотрим лишь некоторые свойства этой алгебры,

Пусть ${\mathcal{G}}_n-(n^2-1)$-мерное вещественное векторное пространство эрмитовых $n\times n$-матриц со следом, равным нулю. Действие элемента $u\in SU(n)$ на пространстве ${\mathcal{I}}_n$ (векторном пространстве алгебры Ли) дается формулой $x\to {}^{u}ux{u}^{-1}=ux{u}^{\ast }$. Эвклидово скалярное произведение
$$(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{Sp}(xy)$$

является инвариантом. Закон умножения в алгебре Ли группы $SU(n)$ имеет вид
$$x\wedge y=-\frac{i}{2}(xy-yx)\equiv -\frac{i}{2}[x,y]$$

и соответственно для симметрической алгебры ${}^1$ )
$$x\vee y=\frac{1}{2}\{x,y\}-\frac{2}{n}(x,y)\mathbf{I},\{x,y\}=xy+yx.$$

Заметим, что для $n=2$ этот закон тривиален: $x\vee y=0$.
В физической литературе (главным образом для $n=3$ ) вводится ортонормированный базис $(e_i,e_j)={\delta }_{ij}(i,j=1,\dots ;n^2-1)$, а для структурных постоянных $f_{ijk},d_{ijk}$ пользуются традиционными обозначениями $e_i\wedge e_j=\sum _k{f}_{ijk}{e}_k,e_i\vee e_j=\sum _k{d}_{ijk}{e}_k$. Используем обозначения $F(a)$ и $D(a)$ для линейных отображений на $\mathcal{G}$ :
$$F(a)x=a\wedge x,D(a)x=a\vee x$$
[в матричном виде $F{\left(e_j\right)}_{ik}=f_{ijk},D{\left(e_j\right)}_{ik}=d_{ijk}$ ].
Относительно скалярного произведения (1.18) отображение $F(a)$ антисимметрично, $D(a)$ симметрично. Отображения $D$ и $F$ являются тензорными операторами $\in \mathrm{Hom}(\mathcal{G},\mathcal{L}(\mathcal{G}){)}^{SU(n)}$, так что из теоремы, сформулированной в конце разд. 1.3, следует, что $\mathrm{Sp}D(a)=0$. Қак известно, централизатор элемента $x$ в алгебре Ли $SU(n)$, т. е. множество $\{y,y\wedge x=0\}$, является подалгеброй Ли размерности $n-1$ или выше. Если ее размерность равна $n-1$, то это абелева подалгебра. Она называется подалгеброй Қартана ${\mathcal{C}}_x$ элемента $x$. (Все подалгебры
1) Эта алгебра не является иордановой алгеброй. Однако можно начать с представления, имеющего размерность $n^2$ и реализуемого на эрмитовых $n\times n$-матрицах. Соответствующая симметрическая алгебра является иордановой алгеброй Картана могут быть преобразованы одна в другую при помощи преобразования группы G.) Подалгебра ${\mathcal{C}}_x$ является линейной оболочкой ( $n-1$ ) линейно независимого вектора: $x,x\vee x$, $(x\vee x)\vee x=x\vee (x\vee x)$ и т. д. и является также подалгеброй относительно закона „ $\vee$ “. Корни $SU(n)$-это решения уравнения $r^n-(r,r)r^{n-2}=0$. Мы нормируем их условием $(r,r)=1$. В подалгебре Картана $\mathcal{C}$ существует $n(n-1)$ нормированный корень $r_k$ [если $r$ является корнем, то $(-r)$ — тоже корень]. Для каждого $a\in \mathcal{C}$ спектр оператора $F(a)$ имеет $(n-1)$ нуль на подпространстве пространства $\mathcal{C}$, а на ортогональном к нему подпространстве ${\mathcal{C}}^{\perp }$ :
$$\text{ спектр }{F(a)|}_{\mathcal{C}\perp }=\left\{i(a,r_k)\right\}.$$

Для определим
$$\sqrt{\frac{n-2}{n}}{q}_k=r_k\vee r_k=(-r_k)\vee (-r_k).$$

Тогда
$$(q_k,q_k)=1,$$

и эти величины являются идемпотентами в $\mathrm{V}$-алгебре:
$$q_k\vee q_k=\frac{n-4}{\sqrt{n(n-2)}}{q}_k.$$

Мы назовем их „псевдокорнями“ [они являются весами алгебры $SU(n)]$, так как для любого $a\in \mathcal{Z}$ они удовлетворяют условию
$$\text{ спектр }{D(a)|}_{{\mathcal{C}}^{\perp }}=\{\frac{n-2}{n}(q_k,a)=(a,r_k\vee r_k)\},$$

причем все собственные значения имеют кратность по крайней мере 2.

Обозначим через $\lambda \in \mathrm{Hom}(\mathcal{G}\wedge \mathcal{G},\mathcal{G}{)}^{SUn)},v\in \mathrm{Hom}(\mathcal{G}\vee \mathcal{G}$, $\mathcal{G})SU(n)$ гомоморфизмы векторных пространств
$$\lambda (x\otimes y)=x\wedge y,v(x\otimes y)=x\vee y$$

и рассмотрим гомоморфизмы правые обратные к ним:
$$\lambda \circ {\lambda }^{\prime }=\text{ тождество на }\mathcal{G},v\circ {\mathit{v}}^{\prime }=\text{ тождество на }\mathcal{G}.$$

Заметим, что $\lambda$ и ${\lambda }^{\prime }$ могут быть определены для любой полупростой алгебры Ли. Как мы уже сказали, ${\lambda }^{\prime }$ и $v^{\prime }$ определяют коалгебры на $\mathcal{G}$. Если $T$ есть $\mathcal{G}$-тензорный оператор, то, используя отображение $\hat{T}$ диаграммы 2 , можно определить $\mathcal{G}$-тензорные операторы
$$T\wedge T=\hat{T}\circ {\lambda }^{\prime }\text{ и }T\vee T=\hat{T}\circ {\mathit{v}}^{\prime }.$$
Действуя последовательно, получаем
$${(\cdots \left({\left(T_{{\tau }_1}T\right)}_{{\tau }_2}T\right)\cdots )}_{{\tau }_k}T,$$

где ${\tau }_i$ — это либо $\wedge$, либо $\vee$. Для физиков, которые привыкли пользоваться координатами, в пространстве октета группы $SU$ (3) получаем ${}^1$ )
$${\lambda }^{\prime }\left(e_i\right)=-\frac{1}{3}\sum _{j,k}{f}_{ijk}{e}_j\otimes e_k,v^{\prime }\left(e_i\right)=\frac{3}{5}\sum _{j,k}{d}_{ijk}{e}_j\otimes e_k.$$

Если обозначить $T\left(e_i\right)=T_i$, то
$$(T\wedge T{)}_i=-\frac{1}{3}\sum _{j,k}{f}_{ijk}{T}_j{T}_k,(T\vee T{)}_i=\frac{3}{5}\sum _{j,k}{\dot{d}}_{ijk}{T}_j{T}_k.$$

Заметим, что когда группа $G$ компактна, a $\dim \mathrm{Hom}(\mathcal{E}\tau \mathcal{E},\mathcal{E}{)}^G=1$ ( $\tau$-или $\wedge$, или $\vee$ ), мы можем, конечно, определить величины $T\wedge T,T\vee T$ для любого вещественного неприводимого $\mathcal{E}$-тензорного оператора’, так как существует НП группы $G$ на $\mathcal{E}$, которое ортогонально и оставляет цнвариантным эвклидово скалярное произведение. В самом деле, в этом случае операторы $\lambda (v)$ сюръективны и осуществляют изоморфизм между $(\mathrm{Ker}\lambda {)}^{\perp }$ и $\mathcal{E}$ [между $(\mathrm{Ker}v{)}^{\perp }$ и $\mathcal{E}$ ], так что мы можем определить операторы правые обратные к ним.

Рассмотрим более частный случай, когда $G$-морфизм $T$ совпадает с самим $F$ [см. уравнение (1.6)], т. е. с представлением (с точностью до множителя $i$ ) алгебры Ли на $\mathcal{C}$. При этом $F\wedge F=iF$. В теории элементарных частиц часто используется группа $SU(3),F\vee F$ называют тогда оператором $D$-связи (см. разд. 5.1б).

Следуя школьной традиции, обозначим закон композиции в алгебре Ли для группы $SU(2)$ значком $\times$ (символизирующим векторное произведение):
$$[F(\mathbf{a}),F(\mathbf{b})]=iF(\mathbf{a}\times \mathbf{b}),$$

а структурные постоянные обозначим через ${\epsilon }_{ljk}$ :
$$e_i\times e_j=\sum _k{\epsilon }_{ijk}{e}_k.$$

Таким образом, если $\mathbf{A}$-векторный оператор $[A\left(e_i\right)=A_i]$, то
$$(\mathbf{A}\times \mathbf{A}{)}_l=\sum _{j,k}{\epsilon }_{ljk}{\dot{A}}_j{A}_k=\frac{1}{2}{\epsilon }_{i_{j}k}[A_j,A_k].$$
1) Здесь величины $f_{i_j}$ и $d_{ijk}$ — структурные постоянные, введенные Гелл-Манном.
Замечание. Если даны два $\mathcal{G}$-тензорных оператора $A$ и $B$, то можно определить такие операторы, как
$$A\vee B=A\otimes B\circ v^{\prime },A\wedge B=A\otimes B\circ {\lambda }^{\prime }$$

и, в частности, $\mathbf{A}\times \mathbf{B}$. Если $A=B$, то это сводится к уравнению (1.26).