Мы имеем уже общее описание квантовой механики, теперь нам нужно понять, как изучить данную физическую систему. По-видимому, не существует аксиоматической формулировки этой проблемы, так что в данном случае физика еще находится на грани искусства! Однако если рассматриваемая система имеет конечное число степеней свободы и может быть описана с помощью классической гамильтоновой механики, то „принцип соответствия“ покажет нам, как можно описать эту систему в квантовом случае.

Пусть $h\left(p_{k}, q_{l}\right)$ есть классический гамильтониан системы. Тогда уравнения Гамильтона имеют вид
\[
\frac{d p_{k}}{d t}=\dot{p}_{k}=-\frac{\partial h}{\partial q_{k}}, \quad \dot{q}_{l}=\frac{\partial h}{\partial p_{l}}
\]
В квантовой механике соответствующие наблюдаемые $P_{k}, Q_{l}$ образуют абстрактную алгебру с единицей
\[
\begin{array}{c}
P_{k} Q_{t}-Q_{l} P_{k}=\left[P_{k}, Q_{l}\right]=-i \hbar \delta_{k l} \mathbf{I}, \\
{\left[P_{k}, P_{l}\right]=0=\left[Q_{k}, Q_{l}\right],}
\end{array}
\]

где $2 \pi \hbar$ – постоянная Планка.
В рассматриваемых нами случаях $h=h^{\prime}+h^{\prime \prime}$, где $h^{\prime}$ является функцией $p_{k}$, а $h^{\prime \prime}$ – функцией $q_{t}$. Поэтому $H=H^{\prime}+H^{\prime \prime}$, где $H^{\prime}$ и $H^{\prime \prime}$ – некоторые функции $P_{k}$ и $Q_{l}$ соответственно. Заметим, что до сих пор не существует синтетической формулировки квантовой механики, подобной формулировке классической механики в терминах симплектических многообразий (исключение составляют работы Костанта [45] и Сурьо [46]) ${ }^{1}$ ). Мы знаем также, что соотношение между классической и квантовой трактовкой одной и той же проблемы не является простым (см., например, работу ван Хова [48] о сравнении групп автоморфизмов в этих двух случаях).

Oператор Гамильтона является генератором сдвигов во времени, так что
\[
\left[H, Q_{k}\right]=i \hbar \dot{Q}_{k}, \quad\left[H, P_{l}\right]=i \hbar \dot{P}_{l} .
\]

Представление алгебры, определенной уравнениями (2.1) и (2.2), получено независимо от Гейзенберга Шредингером, использовавшим понятие волны де Бройля. В самом деле, алгебра (2.1) может быть реализована самосопряженными операторами пространства $\mathscr{L}(\mathscr{H})$, где $\mathscr{H}$ – гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций $\psi\left(q_{i}\right)$. При этом
\[
Q_{k} \psi=q_{k} \psi, \quad P_{l} \psi=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q_{l}} \psi .
\]

Величина $\psi$ также является функцией времени $t$, и уравнение Шредингера принимает вид
\[
H \psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi \text {. }
\]

При анализе рассмотренного выше представления возникают некоторые затруднения. С другой стороны, из теоремы фон Неймана [49] следует, что все неприводимые представления
1) См. также книгу Кириллова [47]. – Прим. перев.
алгебры, определенной уравнением (2.1), эквивалентны, если $e^{i P_{k}}$, $e^{t Q_{l}}$ реализованы унитарными операторами $\left.{ }^{1}\right)$.

Открытие квантовой механики принадлежит также и Дираку, давшему очень четкую формулировку „принципа соответствия“ ${ }^{2}$ ). В классической гамильтоновой механике существует алгебра Ли скобок Пуассона (СП). Пусть $f$ и $g$-две функции переменных $p_{k}$ и $q_{l}$, тогда
\[
\mathrm{C \Pi}(f, g)=\sum_{l}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{l}} \frac{\partial g}{\partial q_{l}}-\frac{\partial f}{\partial q_{l}} \frac{\partial g}{\partial p_{l}}\right) .
\]

Алгебра Ли соответствующих квантовых наблюдаемых имеет вид
\[
[F, G]=i \hbar \cdot \text { квантовая наблюдаемая СП }(f, g) \text {. }
\]

Как известно, величина $|\psi|^{2} \Pi d q_{k}$, где $\psi$ – решение уравнения Шредингера (2.4), представляет собой плотность вероятности найти систему с координатами $\left\{q_{k}\right\}$. Это, конечно, очень привлекательно для физиков. Вам, как математикам, разумеется, приятнее работать с абстрактной алгеброй. Чтобы коротко, но наглядно продемонстрировать использование этой алгебры, докажем соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Пусть $A$ и $B$-самосопряженные операторы, соответствующие наблюдаемым $a, b$. Мы уже видели, что если $|x\rangle$ есть данное состояние изучаемой нами физической системы, то $\langle x|A| x\rangle$ есть среднее значение величины $a$ в состоянии $|x\rangle$, а дисперсия этой величины в состоянии $|x\rangle$ дается формулой
\[
(\Delta a)_{x}=\left|\left\langle x\left|(A-\langle x|A| x\rangle)^{2}\right| x\right\rangle\right|^{1 / 2}=\left|\left\langle x\left|\hat{A}^{2}\right| x\right\rangle\right|^{1 / 2}=\|\hat{A} x\|,
\]

где
\[
\widehat{A}=A-\mathbf{I}\langle x|A| x\rangle \text {. }
\]

Но в силу неравенства Шварца
\[
(\Delta a)_{x}(\Delta b)_{x}=\|\hat{A} x\| \cdot\|\hat{B} x\| \geqslant|\langle\hat{A} x, \hat{B} x\rangle| \geqslant \frac{1}{2}|\langle x|[A, B]| x\rangle| .
\]
1) Для систем с бесконечным числом степеней свободы, с которыми мы встречаемся в статистической механике и теории поля, это далеко не так. Впервые бесконечное число НП соотношений (2.1) было найдено Фридрихсом, а затем ван Ховом, Гордингом и Уайтманом, Сигалом и некоторыми другими физиками и математиками, Этому вопросу посвящена прекрасная, хоть и небольшая книга Гишарде [50] (см. также работу Дж. Макки [51]).
2) Вначале выражение „принцип соответствия\” имело более ограниченный смысл.
Если $A$ и $B$ удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и величины $P$ и $Q$, то мы получаем
\[
(\Delta a)_{x}(\Delta b)_{x} \geqslant \frac{1}{2} \hbar .
\]