Мы имеем уже общее описание квантовой механики, теперь нам нужно понять, как изучить данную физическую систему. По-видимому, не существует аксиоматической формулировки этой проблемы, так что в данном случае физика еще находится на грани искусства! Однако если рассматриваемая система имеет конечное число степеней свободы и может быть описана с помощью классической гамильтоновой механики, то „принцип соответствия“ покажет нам, как можно описать эту систему в квантовом случае.

Пусть $h(p_k,q_l)$ есть классический гамильтониан системы. Тогда уравнения Гамильтона имеют вид
$$\frac{d{p}_k}{dt}={\dot{p}}_k=-\frac{\partial h}{\partial q_k},{\dot{q}}_l=\frac{\partial h}{\partial p_l}$$
В квантовой механике соответствующие наблюдаемые $P_k,Q_l$ образуют абстрактную алгебру с единицей
$$\begin{array}{c}{P}_k{Q}_t-Q_l{P}_k=[P_k,Q_l]=-i\hslash {\delta }_{kl}\mathbf{I},\\ [P_k,P_l]=0=[Q_k,Q_l],\end{array}$$

где $2\pi \hslash$ — постоянная Планка.
В рассматриваемых нами случаях $h=h^{\prime }+h^{\prime \prime }$, где $h^{\prime }$ является функцией $p_k$, а $h^{\prime \prime }$ — функцией $q_t$. Поэтому $H=H^{\prime }+H^{\prime \prime }$, где $H^{\prime }$ и $H^{\prime \prime }$ — некоторые функции $P_k$ и $Q_l$ соответственно. Заметим, что до сих пор не существует синтетической формулировки квантовой механики, подобной формулировке классической механики в терминах симплектических многообразий (исключение составляют работы Костанта [45] и Сурьо [46]) ${}^1$ ). Мы знаем также, что соотношение между классической и квантовой трактовкой одной и той же проблемы не является простым (см., например, работу ван Хова [48] о сравнении групп автоморфизмов в этих двух случаях).

Oператор Гамильтона является генератором сдвигов во времени, так что
$$[H,Q_k]=i\hslash {\dot{Q}}_k,[H,P_l]=i\hslash {\dot{P}}_l.$$

Представление алгебры, определенной уравнениями (2.1) и (2.2), получено независимо от Гейзенберга Шредингером, использовавшим понятие волны де Бройля. В самом деле, алгебра (2.1) может быть реализована самосопряженными операторами пространства $\mathcal{L}(\mathcal{H})$, где $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций $\psi \left(q_i\right)$. При этом
$$Q_k\psi =q_k\psi ,P_l\psi =\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial q_l}\psi .$$

Величина $\psi$ также является функцией времени $t$, и уравнение Шредингера принимает вид
$$H\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \text{. }$$

При анализе рассмотренного выше представления возникают некоторые затруднения. С другой стороны, из теоремы фон Неймана [49] следует, что все неприводимые представления
1) См. также книгу Кириллова [47]. — Прим. перев.
алгебры, определенной уравнением (2.1), эквивалентны, если $e^{i{P}_k}$, $e^{t{Q}_l}$ реализованы унитарными операторами ${}^1)$.

Открытие квантовой механики принадлежит также и Дираку, давшему очень четкую формулировку „принципа соответствия“ ${}^2$ ). В классической гамильтоновой механике существует алгебра Ли скобок Пуассона (СП). Пусть $f$ и $g$-две функции переменных $p_k$ и $q_l$, тогда
$$\mathrm{C}\mathrm{\Pi }(f,g)=\sum _l(\frac{\partial f}{\partial p_l}\frac{\partial g}{\partial q_l}-\frac{\partial f}{\partial q_l}\frac{\partial g}{\partial p_l}).$$

Алгебра Ли соответствующих квантовых наблюдаемых имеет вид
$$[F,G]=i\hslash \cdot \text{ квантовая наблюдаемая СП }(f,g)\text{. }$$

Как известно, величина $|\psi {|}^2\mathrm{\Pi }d{q}_k$, где $\psi$ — решение уравнения Шредингера (2.4), представляет собой плотность вероятности найти систему с координатами $\left\{q_k\right\}$. Это, конечно, очень привлекательно для физиков. Вам, как математикам, разумеется, приятнее работать с абстрактной алгеброй. Чтобы коротко, но наглядно продемонстрировать использование этой алгебры, докажем соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Пусть $A$ и $B$-самосопряженные операторы, соответствующие наблюдаемым $a,b$. Мы уже видели, что если $|x⟩$ есть данное состояние изучаемой нами физической системы, то $⟨x|A|x⟩$ есть среднее значение величины $a$ в состоянии $|x⟩$, а дисперсия этой величины в состоянии $|x⟩$ дается формулой
$$(\mathrm{\Delta }a{)}_x={\left|⟨x|(A-⟨x|A|x⟩{)}^2|x⟩\right|}^{1/2}={\left|⟨x\left|{\hat{A}}^2\right|x⟩\right|}^{1/2}=\Vert \hat{A}x\Vert ,$$

где
$$\hat{A}=A-\mathbf{I}⟨x|A|x⟩\text{. }$$

Но в силу неравенства Шварца
$$(\mathrm{\Delta }a{)}_x(\mathrm{\Delta }b{)}_x=\Vert \hat{A}x\Vert \cdot \Vert \hat{B}x\Vert ⩾|⟨\hat{A}x,\hat{B}x⟩|⩾\frac{1}{2}|⟨x|[A,B]|x⟩|.$$
1) Для систем с бесконечным числом степеней свободы, с которыми мы встречаемся в статистической механике и теории поля, это далеко не так. Впервые бесконечное число НП соотношений (2.1) было найдено Фридрихсом, а затем ван Ховом, Гордингом и Уайтманом, Сигалом и некоторыми другими физиками и математиками, Этому вопросу посвящена прекрасная, хоть и небольшая книга Гишарде [50] (см. также работу Дж. Макки [51]).
2) Вначале выражение „принцип соответствия\» имело более ограниченный смысл.
Если $A$ и $B$ удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и величины $P$ и $Q$, то мы получаем
$$(\mathrm{\Delta }a{)}_x(\mathrm{\Delta }b{)}_x⩾\frac{1}{2}\hslash .$$