Согласно формулам (3.1) и (3.4), представление $U^{1,2}$ обладает характером
\[
\chi^{p}(a)=e^{i p \cdot a}, \quad p=p_{1}+p_{2}
\]

на подгруппе трансляций $\breve{\mathbf{R}}^{4}=\left(\mathbf{I}_{2}, \mathbf{R}^{4}\right)$ в группе $\tilde{P}$. Поэтому в представлении $U^{1,2}$ могут содержаться только представления $U^{\stackrel{\circ}{p}, \rho}$, для которых существуют такие $p_{1} \in \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{1}\right)$ и $p_{2} \in \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$, что полный импульс $p=p_{1}+p_{2}$ принадлежит орбите $\Omega(p)$. В табл. 3.1 приведены орбиты („массовые оболочки“) $\Omega(\vec{p})$, на которых лежит полный импульс $p$, в то время как импульсы $p_{1}$ и $p_{2}$ пробегают орбиты $\left(\Omega \stackrel{\circ}{p_{1}}\right)$ и $\Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$. Па́рам $\left(\stackrel{\circ}{p}_{1}, \stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$ отвечают области $\Omega_{k} \subset \Omega$ [см. формулу (1.1.2)], в которых меняется стандартный вектор $\stackrel{\circ}{p}$. Случаи, не перечисленные в этой таблице, легко можно получить из соображений симметрии. Например, в случае $\mathrm{V} m_{2}>m_{1}$ получается перестановкой индексов 1,2 и заменой $p$ на $-p$, так как малые группы для векторов $p$ и – $p$ совпадают. В дальнейшем будут детально разобраны только случаи I-IX. Краткое описание разложения для случаев X и XI дано в разд. 3.3.

Для данного вектора $p \in \Omega(\stackrel{\circ}{p}), \quad \stackrel{\circ}{p} \in \Omega_{k}, k \in\{\mathrm{I}, \ldots, \mathrm{IX}\}$, существует двупараметрическое множество пар импульсов
\[
\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{1}\right) \times \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{2},\right) p_{1}+p_{2}=p .
\]

Это множество мы будем описывать вектором $q$ :
\[
q=\alpha p_{1}-(1-\alpha) p_{2}, \quad \alpha \in \mathbf{R},
\]

который линейно независим от $p$ и лежит в плоскости векторов $p_{1}, p_{2}$. Так как параметр $\alpha$ можно выбрать произвольной и вектор $q$ удовлетворяет условию
\[
(p \cdot q)^{2}-p^{2} q^{2}=\left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2},
\]

которое не зависит от $\alpha$, то веқтор $q$ обладает, по существу, лишь двумя степенями свободы. Для дальнейшего положим, цто
\[
p^{2}
eq 0
eq q^{2},
\]

и выберем вектор $q$ нормальным к $p$ :
\[
q \equiv \frac{1}{p^{2}}\left(\left(p_{2} \cdot p\right) p_{1}-\left(p_{1} \cdot p\right) p_{2}\right), \quad p \cdot q=0 .
\]

Ограничения (3.1.4) несущественны, так как па́ры векторов $\left(p_{1}, p_{2}\right) \in \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{1}\right) \times \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$, для которых $p^{2}=0$ или $q^{2}=0$, описывают многообразие более низкой размерности. Поскольку это многообразие меры нуль, то оно не играет роли в прямом интеграле для гильбертова пространства $\mathfrak{5}^{1,2}$.

Диск риминант $\left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2}$ квадратного уравнения $\left(x p_{1}+\right.$ $\left.+p_{2}\right)^{2}=0$ (с параметром $x$ ) положителен, равен нулю или отрицателен в зависимости от того, пересекает ли плоскость, в которой лежат векторы $p_{1}$ и $p_{2}$, световой конус по двум линиям, касается ли она конуса или же лежит целиком в пространственноподобной области. По той же причнне, которая была указана выше, мы пренебрежем вторым случаем. Тогда величина $\left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2}$ положительна в случаях I-VIII и не имеет определенного знака в случае IX, т. е. только в этом случае, согласно формуле (3.1.3), векторы $p$ и $q$ могут быть пространственно-подобными одновременно. Во всех остальных случаях вектор $q$ пространственно-подобен, когда вектор $p$-времениподобен, и наоборот.

Наиболее типичная ситуация отвечает случаю I, когда и $p_{1}$, и $p_{2}$ лежат внутри верхнего светового конуса. При этом в системе центра масс вектор $q$ совпадает с импульсом частицы 1:
\[
\Lambda(p)^{-1} p=\stackrel{\circ}{p}=(m, 0), \Lambda(p)^{-1} q=\left(0, \mathbf{p}_{1}^{(p)}\right) .
\]

Формула (3.1.3) связывает $q^{2}$ с величинами $m^{2}, m_{1}^{2}, m_{2}^{2}$, так что, ло существу, вектор $q$ описывает лишь направление вектора $p_{1}^{(p)}$.

Пусть пара $\left(\stackrel{\circ}{p}_{1}, \stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$ принадлежит к одному из типов I-IX. Формулы (3.1.1) и (3.1.5) отображают множество $\Omega\left(\dot{p}_{1}\right) \times \Omega\left(\stackrel{\circ}{p}_{2}\right)$ на область в пространстве $(p, q)$, состоящую из объединения массовых оболочек $\Omega(\stackrel{\circ}{p})$, отвечающих $\stackrel{\circ}{p} \in \Omega_{k}$, причем каждому  $p \in \Omega(\stackrel{\circ}{p})$ принадлежит в $q$-пространстве двумерная поверхность
\[
\Sigma(p) \equiv\left\{q: p \cdot q=0,-p^{2} q^{2}=\left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2}\right\} .
\]

Пусть $d R(q)$-элемент площади на поверхности $\Sigma(\stackrel{\circ}{p})$, инвариантный относительно операции
\[
G(\stackrel{\circ}{p})
i A: q \rightarrow \Lambda(A) q, \quad q \in \Sigma(\stackrel{\circ}{p})
\]

из группы $G(\stackrel{\circ}{p})$ :
\[
d R(\Lambda(A) q)=d R(q), \quad q \in \Sigma(\stackrel{\circ}{p}), \quad A \in G(\stackrel{\circ}{p}) .
\]

Существование таких элементов доказывается явным построением в формулах (3.1.20). Определим теперь элемент площади на поверхности $\Sigma(p)$ :
\[
d R_{p}(q) \equiv d R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right), \quad q \in \Sigma(p) .
\]

В силу формулы (3.1.9) выполняется условие инвариантности
\[
d R_{\Lambda \rho}(\Lambda q)=d R_{p}(q) .
\]

Пусть $\rho$ – мера на множестве $\Omega$, заданная следующим образом: $\rho(\mathfrak{M})=$
\[
=\left\{\begin{array}{cl}
\int_{\mathfrak{M}}\left|\frac{\lambda\left(-m^{2}, p_{1}^{2}, p_{2}^{2}\right)}{16 m^{2}}\right|^{1 / 2} d m \text { при } \mathfrak{R} \subset\left\{ \pm m e_{(0)}: m>0\right\}=\Omega^{+} \cup \Omega^{-}, \\
\int_{\mathfrak{M}}\left|\frac{\lambda\left(n^{2}, p_{1}^{2}, p_{2}^{2}\right)}{16 n^{2}}\right|^{1 / 2} d n \quad \text { при } \mathfrak{M} \subset\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}=\Omega^{0}, \\
0 & \text { при } \mathfrak{R} \subset\left\{e_{(0)}+e_{(3)}\right\} \cup\left\{-e_{(0)}-e_{(3)}\right\} \cup\{0\}= \\
& =\Omega_{0}^{+} \cup \Omega_{0}^{-} \cup \Omega_{0}^{0},
\end{array}\right.
\]
\[
\lambda(x, y, z) \equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x y-2 y z-2 z x .
\]

Тогда, используя инвариантную меру $\omega_{\circ}$ на множестве $\Omega(\stackrel{\circ}{p})$, можно ввести инвариантную относительно группы $S L(2, \mathbf{C})$ меру на отображении произведения массовых оболочек $\Omega\left(p_{1}^{\circ}\right) \times$ $\times \Omega\left(\stackrel{\circ}{p_{2}}\right)$ в пространстве $(p, q):$
\[
d \rho(\stackrel{\circ}{p}) d \omega_{\rho}(p) d R_{p}(q)=d \rho(\stackrel{\circ}{p}) d \omega_{p}(\Lambda p) d R_{\Lambda p}(\Lambda q) .
\]
Чтобы зафиксировать нормировку $d R_{p}(q)$, положим
\[
d \rho(\stackrel{\circ}{\rho}) d \underset{p}{\omega_{\circ}}(p) d R_{p}(q)=d \omega_{p_{1}}\left(p_{1}\right) d \omega_{p_{2}}\left(p_{2}\right) .
\]

Легко видеть, что операция (3.1.8) из группы $G(\stackrel{\circ}{p})$ на поверхности $\Sigma(p)$ транзитивна, так что поверхность $\Sigma(p)$ можно характеризовать стандартным элементом $\stackrel{\circ}{q}$, для которого $\Sigma(\stackrel{\circ}{p})=G(p) \stackrel{\circ}{q}$. Будем выбирать эти стандартные элементы по схеме, приведенной в табл. 3.2.
ТАБЛИЦА 3.2

I-VIII:
\[
\begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{ \pm} \rightarrow \stackrel{\circ}{q} \in \Omega^{0}=\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}, \\
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{0} \rightarrow \stackrel{\circ}{q} \in \Omega^{ \pm}=\left\{ \pm m e_{(0)}: m>0\right\},
\end{array}
\]

IX: $\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{ \pm} \rightarrow \stackrel{\circ}{q} \in \Omega^{0}$,
\[
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{0} \rightarrow \stackrel{\circ}{q} \in\left\{\begin{array}{lll}
\Omega^{ \pm} & \text {при } & \left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2}>0 . \\
\Omega^{0^{\prime}} \equiv\left\{n e_{(2)}: n>0\right\} & \text { при } & \left(p_{1} \cdot p_{2}\right)^{2}-p_{1}^{2} p_{2}^{2}<0 .
\end{array}\right.
\]

Подгруппа стабильности, $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q}) \subset G(\stackrel{\circ}{p})$, не меняющая $\stackrel{\circ}{q}$, имеет вид
\[
G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=G(\stackrel{\circ}{p}) \cap G(\stackrel{\circ}{q}) .
\]

Согласно табл. 3.2, существуют только две такие подгруппы:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=G\left(e_{(0)}, e_{(3)}\right)=\left\{C(\varphi) \equiv\left(\begin{array}{cc}
e^{i \varphi / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \varphi / 2}
\end{array}\right): 0 \leqslant \varphi<4 \pi\right\} ; \\
H_{2}=G\left(e_{(3)}, e_{(2)}\right)=\left\{D(\varepsilon, \xi) \equiv \varepsilon\left(\begin{array}{ll}
\operatorname{ch} \xi / 2 & \operatorname{sh} \xi / 2 \\
\operatorname{sh} \xi / 2 & \operatorname{ch} \xi / 2
\end{array}\right): \begin{array}{l}
\varepsilon= \pm \\
-\infty<\xi<\infty
\end{array}\right\}, \\
\end{array}
\]

которые были введены в разд. 2.1. Если $\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{0}, \stackrel{\circ}{q} \in \Omega^{0}$, то $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{2}$, в остальных случаях $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Так как поверхность $\Sigma(\stackrel{\circ}{p}$ ) гомеоморфна прострднству классов смежности $G(\stackrel{\circ}{p}) / G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})$, то каждому вектору $q \in \Sigma(\stackrel{\circ}{p})$ можно поставить в однозначное соответствие представитель одного из этих классов, $R(q) \in G(\stackrel{\circ}{p})$, такой, что
\[
q=\Lambda(R(q)) \stackrel{\circ}{q} .
\]
Параметризуя поверхность $\Sigma(\stackrel{\circ}{p})$ формулами

можно выбрать представители следующим образом:

Здесь $A(\zeta, \varphi)$ и $A^{\prime}(x, \varphi)$ – матрицы, определенные формулами (2.7.1). Элемент $d R(q)$ поверхности $\Sigma(p)$ в точке $q$, согласно формулам (2.7.2) и (3.1.14), имеет вид

С помощью матриц $A(p)$, определенных формулой (1.1.9), мы можем теперь ввести операцию, которая одновременно переводит $\stackrel{\circ}{p}$ в $p$ и $\stackrel{\circ}{q}$ в $q$ :

где
\[
A(p, q) \equiv A(p) R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right), \quad \Lambda(p, q) \equiv \Lambda(A(p, q)),
\]
\[
\Lambda(p, q) \stackrel{\circ}{p}=p, \quad \Lambda(p, q) \stackrel{\circ}{q}=q .
\]

Очевидно, что элементы $A(p, q)$ являются представителями классов смежности, образующих фактор-пространство $S L(2, \mathbf{C}) / G(\stackrel{\circ}{p}, q)$ Импульсы $p_{1}$ и $p_{2}$ переводятся операцией $\Lambda(p, q)^{-1}$ в систему отсчета, задаваемую векторами $\stackrel{\circ}{p}$ и $\stackrel{\circ}{q}$. Обозначив
\[
\hat{p}_{1} \equiv \Lambda(p, q)^{-1} p_{1}, \quad \hat{p}_{2} \cong \Lambda(p, q)^{-1} p_{2}
\]
можно записать
\[
\hat{p}_{1}+\hat{p}_{2}=\stackrel{\circ}{p}, \quad\left(p_{2} \cdot p\right) \hat{p}_{1}-\left(p_{1} \cdot p\right) \hat{p}_{2}=p^{2} \stackrel{\circ}{q} .
\]

В упомянутом выше важном случае ${\stackrel{\circ}{p_{1}}}^{\prime}, \stackrel{\circ}{p}_{2} \in \Omega^{+}$преобразование вида (3.1.23) переводит импульсы в систему центра масс и поворачивает их в направлении вектора $e_{(3)}$.

Для редукции представления $U^{1,2}$ в формуле (3.1) необходимо найти редукцию прямого произведения представлений малых групп: $U_{G_{1}}^{\rho_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A\right)\right) \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A\right)\right)$. При этом возникают две трудности. Во-первых, группы $G_{1}=G\left(\stackrel{\circ}{1}_{1}\right)$ и $G_{2}=G\left(p_{2}\right)$, вообще говоря, различны; во-вторых, даже если $G_{1}=G_{2}$, то в общем случае различаются аргументы $R\left(p_{1} ; A\right)$ и $R\left(p_{2} ; A\right)$. Поэтому мы найдем прежде всего унитарное преобразование представления $U^{1,2}$, приводящее к совпадающим аргументам представлений $U_{G_{1}}^{\rho_{1}}$ и $U_{G_{2}}^{\rho_{2}}$, принадлежащим, естественно, пересечению $G_{1} \cap G_{2}$. Из формул (3.1.16) и (1.1.5) видно, что во всех случаях
\[
G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q}) \subset G_{1} \cap G_{2} .
\]

В частном случае $G_{1} \rightleftharpoons G_{2}$ может существовать метод редукции, отличный от применяемого здесь общего подхода. Хорошо известным примером такого метода может служить схема спин-орбитальной связи, использованная Иоосом [1] в случае $\stackrel{\circ}{p_{1}}, \stackrel{\circ}{p_{2}} \in \Omega^{+}$.

Выделим теперь из выражения (1.1.15) для преобразования $R\left(p_{i} ; A\right)(i=1,2)$ общий элемент, содержащийся в группе $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})$. Для этого запишем преобразование $R\left(p_{i} ; A\right)$ в виде
\[
\begin{array}{l}
R\left(p_{i} ; A\right) \equiv A\left(p_{i}\right)^{-1} A(p, q) Q(p, q ; A) \times \\
\times A\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right)^{-1} A\left(\Lambda(A)^{-1} p_{i}\right), \\
Q(p, q ; A) \equiv \\
\equiv A(p, q)^{-1} A A\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right) \Subset G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q}) .
\end{array}
\]

Преобразование $A(p, q)^{-1} A\left(p_{i}\right)$ переводит стандартный импульс $\stackrel{\circ}{p_{i}}$ в стандартную систему отсчета (характеризуемую $\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q}$ ), т. е., согласно формуле (3.1.23), мы имеем
\[
\Lambda(p, q)^{-1} \Lambda\left(p_{i}\right) \stackrel{\circ}{p_{i}}=\hat{p}_{i}=\Lambda\left(\hat{p}_{i}\right) \stackrel{\circ}{p_{i}} .
\]

Поэтому преобразование
\[
R\left(p_{i} ; A(p, q)\right) \equiv A\left(p_{i}\right)^{-1} A(p, q) A\left(\hat{p}_{l}\right)
\]

является элементом группы $G\left(p_{1}^{0}\right)$, и можно записать
\[
\begin{aligned}
R\left(p_{i} ; A\right) & =R\left(p_{i} ; A(p, q)\right) A\left(\hat{p}_{i}\right)^{-1} Q(p, q ; A) \times \\
& \times A\left(\hat{p}_{i}\right) R\left(\Lambda(A)^{-1} p_{i} ; A\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right)\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Здесь мы использовали вытекающее из формулы (3.1.24) очевидное соотношение
\[
\hat{\Lambda p_{i}}=\hat{p}_{i} \quad \text { при } \quad \Lambda \in L_{+}^{\uparrow} .
\]

Согласно формуле (3.1.16), преобразование $Q(p, q ; A)$ является либо вращением вокруг оси $e_{(3)}$ в плоскости $(1,2)$, либо преобразованием Лоренца в плоскости $(0,1)$. В первом случае $\stackrel{\circ}{p}$ и $\stackrel{\circ}{q}$ лежат в плоскости $(0,3)$, так что преобразование $A\left(\hat{p}_{i}\right)$, согласно формулам (1.1.8) и (1.1.9), является преобразованием Лоренца со скоростью, направленной по оси $e_{(3)}$. Во втором случае $\stackrel{\circ}{p}$ и $\stackrel{\circ}{q}$ лежат в плоскости $(2,3)$, и преобразование $A\left(\hat{p}_{i}\right)$ является вращением в этой плоскости. Следовательно, в обоих случаях операция $A\left(\hat{p}_{i}\right)$ коммутирует с элементами группы $G(\stackrel{\circ}{q}, \stackrel{\circ}{q})$. Именно поэтому представители $A(p)$ были выбраны согласно (1.1.9). Итак, формулу (3.1.29) можно привести к виду
\[
\begin{aligned}
R\left(p_{i} ; A\right)=R\left(p_{i}\right. & ; A(p, q)) Q(p, q ; A) \times \\
& \times R\left(\Lambda(A)^{-1} p_{i} ; A\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right)\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

В качестве первого шага к решению проблемы редукции унитарно отобразим пространство $\$ 1,2$, в котором действует представление,
\[
\psi^{\prime}(p, q)=
\]
\[
\mathfrak{S}^{1,2} \rightarrow \mathfrak{J}^{\prime 1,2}, \quad \psi \mapsto \psi^{\prime}:
\]
\[
=U_{G_{1}}^{\rho_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1} \psi\left(p_{1}, p_{2}\right)\right.
\]

на другое гильбертово пространство $\mathscr{H}^{\prime 1,2}$
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{F}^{\rho_{1}, \rho_{2}}(p, q) \equiv \mathscr{J}_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \cdot \mathscr{F}_{G_{2}}^{\rho_{2}} \\
\end{array}
\]
со скалярным произведением
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\psi^{\prime} \mid \varphi^{\prime}\right\rangle^{\prime, 2} \equiv \\
\equiv \int_{\Omega_{k}} d \rho(\stackrel{\circ}{p}) \int_{\Omega(p)} d \omega_{\rho}(p) \int_{\Sigma(p)} d R_{p}(q)\left\langle\psi^{\prime}(p, q) \mid \varphi^{\prime}(p, q)\right\rangle^{\rho_{1}, \rho_{2}}=\langle\psi \mid \varphi\rangle^{1,2} .
\end{array}
\]

При этом представление $U^{1,2}$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left(U^{\prime 1,2}(A, a) \psi^{\prime}\right)(p, q) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)^{\prime}(p, q)= \\
=e^{i p \cdot a} U_{G_{1}}^{\rho_{1}}(Q(p, q ; A)) \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}}(Q(p, q ; A)) \psi^{\prime}\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right) .
\end{array}
\]

Очевидно, что представление $U^{\prime 1,2}$ является индуцированным представлением группы $\tilde{P}$, причем сужение

играет роль индуцирующего представления. Оно, однако, вовсе не является неприводимым, так как, во-первых, сужение $U_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}} \mid \underset{\circ}{G}(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})$, вообще говоря, приводимо, а, во-вторых, группа $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})$ слишком „мала“ (см. работу Макки [9]). Оба эти соображения используются в дальнейшем в качестве ключа к решению проблемы редукции.

Прежде всего разложим сужение представления $U_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes$ $\otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}} \mid G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})$ на неприводимые компоненты. В разд. $2.2-2.5$ была решена проблема редукции для сужения
\[
U_{G}^{\rho} \mid H, H=G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q}) \in\left\{H_{1}, H_{2}\right\}, \quad G \in\{S U(2), S U(1,1), E(2)\}
\]
(см. последний абзац в разд. 2.5). При этом пространство $\mathfrak{g}_{a}^{9}$ с помощью преобразования унитарной эквивалентности $\ddot{A}$ отображалось на гильбертово пространство
\[
\ddot{A} \mathfrak{F}_{G}^{\rho}=\tilde{\mathfrak{F}}_{G, H}^{\rho} \equiv \oplus \int_{\hat{H}_{\rho}} \sqrt{d \hat{v}(\sigma)} \mathrm{C}^{n(\rho)},
\]

в котором сужение $\tilde{U}_{G}^{0} \mid H$ разлагается в прямой интеграл унитарных неприводимых представлений $\chi^{\sigma}$ группы $H$, каждое из которых входит $n(\rho)$ раз:
\[
\tilde{U}_{a}^{\rho}(Q) \tilde{f}_{\tau}^{\rho}(\sigma)=\chi^{\sigma}(Q) \tilde{f}_{\tau}^{\rho}(\sigma), \quad \tilde{f}^{\rho} \in \tilde{\mathfrak{F}}_{G, H}^{\rho} .
\]
Пусть $\tilde{\mathfrak{F}}_{G_{i}, H}^{\rho_{i}}=\ddot{A}_{i} \mathfrak{F}_{G_{i}}^{\rho_{i}}, \quad i=1,2$, есть образ пространства $\mathfrak{5}_{G_{i}}^{\rho_{i}}$.
Тогда прямое произведение $\ddot{A_{1}} \otimes \ddot{A_{2}}$ унитарно отображает пространство $\mathfrak{5}_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{F}_{\mathcal{G}_{t}}^{\rho_{2}}$ на гильбертово пространство
\[
\begin{array}{l}
=\oplus \int_{\widehat{H}_{\rho_{1}}} \sqrt{d \hat{v}\left(\sigma_{1}\right)} \oplus \int_{\hat{H}_{\rho_{2}}} \sqrt{d \hat{v}\left(\sigma_{2}\right)}\left(\mathbf{C}^{n\left(\rho_{1}\right)} \otimes \mathbf{C}^{n\left(\rho_{2}\right)}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

состоящие из комплекснозначных функций $\tilde{f}=\left(\ddot{A}_{1} \times \ddot{A}_{2}\right) f$, $f \in \mathfrak{S}_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{W}_{G_{2}}^{\omega_{2}}$ со скалярным произведением
\[
\langle\tilde{f} \mid \tilde{g}\rangle^{\sim \rho_{1}, \rho_{2}} \equiv
\]
\[
\equiv \int_{\hat{H}_{\rho_{1}}} d \hat{v}\left(\sigma_{1}\right) \int_{\hat{H}_{\rho_{2}}} d \hat{v}\left(\rho_{2}\right) \sum_{\tau_{i}=1}^{n\left(\rho_{1}\right)} \sum_{\tau_{2}=1}^{n\left(\rho_{2}\right)} \tilde{f}_{\tau_{1} \tau_{2}}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)^{*} \tilde{g}_{\tau_{1} \tau_{2}}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)=\langle f \mid g\rangle^{\rho_{i}, \rho_{2}} .
\]

Для преобразованного представления
\[
\tilde{U}_{G_{1}, \hat{C}_{2}}^{\rho_{1}, \rho_{2}} \equiv\left(\ddot{A}_{1} \otimes \ddot{A}_{2}\right)\left(U_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}}\right)\left(\ddot{A}_{1} \otimes \ddot{A}_{2}\right)^{-1}
\]
\[
\tilde{U}_{a_{1}, G_{2}}^{\rho_{1}, \rho_{2}}(Q) \tilde{f}_{\tau_{1} \tau_{2}}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)=\chi^{\sigma_{1}}(Q) \chi^{\sigma_{2}}(Q) \tilde{f}_{\tau_{1} \tau_{2}}\left(\sigma_{l}, \sigma_{2}\right), \quad Q \in H,
\]
т. е. сужение $\tilde{U}_{G_{1}, G_{2}}^{\rho_{1}, \rho_{2}} \mid H$ разлагается в прямой интеграл ңеприводимых унитарных представлений группы $H$ :
\[
\chi^{\sigma_{1}}(Q) \chi^{\sigma_{2}}(Q)=\chi^{\sigma_{1}+\sigma_{2}}(Q),
\]
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{1}+\sigma_{2} \equiv \\
\equiv\left\{\begin{array}{llll}
\left(x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \mu_{1}+\mu_{2}+x_{1} x_{2}\right) & \text { при } & H=H_{1}, & \sigma_{i}=\left(x_{i}, \mu_{i}\right) ; \\
\left(x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \lambda_{1}+\lambda_{2}\right) & \text { при } & H=H_{2}, & \sigma_{i}=\left(x_{i}, \lambda_{i}\right) .
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

С помощью подстановки
\[
\sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}, \quad \bar{\sigma}=\sigma_{1},
\]

можно определить унитарное отображение $B$
\[
\tilde{f} \rightarrow f^{\prime \prime}=B \tilde{f}: f_{\tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(\sigma, \tilde{\sigma})=\tilde{f}_{\tau_{1} \tau_{2}}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)
\]
со скалярным произведением
\[
\begin{array}{l}
\left\langle f^{\prime \prime} \mid g^{\prime \prime}\right\rangle^{\prime^{\rho_{1}, \rho_{2}}}=\int_{\hat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\sigma) \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\bar{\sigma}) \sum_{\tau_{1}=1}^{n\left(\rho_{1}\right)} \sum_{\tau_{2}=1}^{n\left(\rho_{2}\right)} f_{\tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(\sigma, \bar{\sigma})^{*} g_{\tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(\sigma, \bar{\sigma})= \\
=\langle\tilde{f} \mid \tilde{g}\rangle^{\sim \rho_{i}, \rho_{2}} \text {. (3.1.45) } \\
\end{array}
\]

Здесь множество $\hat{H}_{\rho_{1}} \times \hat{H}_{\rho_{2}}$ при подстановке (3.1.43) отображается в множества $\hat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ и $\widehat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$. Заметим, что якобиан. преобразования (3.1.43) всегда равен 1. Согласно формулам (3.1.41) и (3.1.44), для представления

имеем
\[
U_{G_{1}, G_{2}}^{\prime \rho_{1}, \rho_{2}} \equiv B \tilde{U}_{G_{1}, G_{2}}^{\rho_{1}, \rho_{2}} B^{-1}
\]
\[
\begin{array}{c}
U_{G_{1}, G_{2}}^{\prime \prime}(Q) f_{\tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(\sigma, \bar{\sigma})=\chi^{\sigma}(Q) f_{\tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(\sigma, \bar{\sigma}), \\
\left.U_{a_{1}, \rho_{2}}^{\prime \rho_{1}, \rho_{2}}\right|_{0}=\oplus \int_{\widehat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\sigma)\left[\oplus \int_{\widehat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\bar{\sigma})\left(\oplus \sum_{\tau_{1}=1}^{n\left(\rho_{1}\right)} \oplus \sum_{\tau_{2}=1}^{n\left(\rho_{2}\right)} \chi^{\sigma}\right)\right],
\end{array}
\]
т. е. сужение $U_{G_{1}, G_{2}}^{\prime_{1}}{ }^{\rho_{1}, \rho_{2}} \mid H$ разлагается в прямой интеграл неприводимых унитарных представлеңий группы $H$. Кратность представления $\chi^{\sigma}$ равна $n\left(\rho_{1}, \rho_{2}, \sigma\right) n\left(\rho_{1}\right) n\left(\rho_{2}\right)$, где $n\left(\rho_{1}, \rho_{2}, \sigma\right)$ – раз. мерность гильбертова пространства квадратично интегрируемых по мере $\hat{v}$ комплекснозначных функций в пространстве $\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$. Используем теперь составное отображение
\[
B \circ\left(\ddot{A}_{1} \otimes \ddot{A}_{2}\right): \mathfrak{F}_{Q_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \mathcal{F}_{G_{2}}^{\rho_{2}} \rightarrow \mathscr{F}_{G_{1}, G_{2}, H}^{\prime \prime},
\]

чтобы унитарно отобразить гильбертово пространство $\mathfrak{F}^{\prime 1,2}$, определяемое формулой (3.1.33), на пространство
\[
\mathscr{g}^{\prime \prime 1,2} \equiv \bigoplus \int_{\Omega_{k}} \sqrt{d \rho(p)}\left[\oplus \int_{\Omega(\rho)} \sqrt{d \omega_{\rho}^{\circ}(p)}\left(\bigoplus \int_{\Sigma(p)} \sqrt{d R_{p}(q)} \mathfrak{S}_{G_{1}^{\prime \prime}, \mathcal{O}_{2}, H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}\right)\right] .
\]
Оно состоит из функций $\psi_{\sigma \overline{\tau_{1}} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q)$ со скалярным произведением вида.
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\psi^{\prime \prime} \mid \varphi^{\prime \prime}\right\rangle^{\prime \prime 1,2}=\int_{\Omega_{k}} d \rho(p) \int_{\Omega(p)} d \omega_{\rho}(p) \int_{\Sigma(p)} d R(q) \times \\
\times \int_{\hat{H} \rho_{1}, \rho_{2}} d \hat{v}(\sigma) \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\bar{\sigma}) \sum_{\tau_{1}=1}^{n\left(\rho_{1}\right)} \sum_{\tau_{2}=1}^{n\left(\rho_{2}\right)} \psi_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q)^{*} \times \\
\times \varphi_{\sigma \vec{\sigma} \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q)=\langle\psi \mid \varphi\rangle^{1,2} .
\end{array}
\]

Согласно формулам (3.1.35) и (3.1.47), представление $U^{1,2}$ действует в пространстве $\mathscr{S}^{\prime \prime 1,2}$ следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(U^{\prime \prime 1,2}(A, a) \psi^{\prime \prime}\right)_{\sigma \sigma \tau_{1} \tau_{2}}(p, q) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q)= \\
=e^{t p \cdot a^{\sigma}} \chi^{\sigma}(Q(p, q ; A)) \psi_{\sigma \sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}\left(\Lambda(A)^{-1} p, \Lambda(A)^{-1} q\right)
\end{array}
\]

Иными словами, представление $U^{\prime \prime, 2}$ имеет вид прямого интеграла представлений группы $\tilde{P}$, индуцируемых неприводимыми унитарными представлениями группы $\breve{G}(p, \stackrel{\circ}{q})$.

Последний шаг выполняется с помощью преобразования Фурье (2.7.7). Так как функция $\psi^{\prime \prime}$ в силу формулы (3.1.49) почти для всех $\bar{\sigma}$ и $p$ является элементом пространства $\oplus \int_{\hat{H} \rho_{1} \rho_{2}} \sqrt{d \hat{v}(\sigma)} \mathscr{L}^{2}(\Sigma(p))$, а поверхность $\Sigma(p)$ гомеоморфна факторпространству $G(\stackrel{\circ}{p}) / H$ и $\hat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}} \subset \hat{H}$, то с помощью формул
\[
\begin{array}{l}
\widehat{F}: \mathfrak{g}^{\prime \prime 1,2} \rightarrow \hat{\mathscr{Y}}^{\prime 1,2}, \quad \hat{\psi}^{\prime}=\hat{F} \psi^{\prime \prime}, \\
\hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho \sigma^{\prime} \tau}(p)=\int_{\mathbf{\Sigma}(p)} d R_{p}(q) U_{G(p)}^{\rho}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\tau^{\prime} \sigma^{\prime}, \sigma \tau} \psi_{\sigma \tilde{\sigma} \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q), \\
\psi_{\sigma \sigma \sigma \tau_{1} \tau_{2}}^{\prime \prime}(p, q)= \\
=\int_{\widehat{\sigma}(p)_{\sigma}} d \hat{\mu}(\rho) \int_{\hat{H}_{\rho}} d \hat{v}\left(\sigma^{\prime}\right) \sum_{\tau^{\prime}, \tau} \hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho \sigma^{\prime} \tau}(p) U_{\sigma(p)}^{\rho}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\tau^{\prime} \sigma^{\prime}, \tau \sigma}^{*} \\
\end{array}
\]
мы можем определить унитарное отображение гильбертова пространства $\mathfrak{S g}^{\prime \prime 1,2}$ на пространство
\[
\begin{array}{l}
=\mathfrak{S}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}} \oplus \tilde{\mathcal{F}}^{\rho}{ }^{\rho}, \rho, \\
\widetilde{\mathcal{F}}^{\circ}, \rho \equiv \oplus \int_{0(p)} \sqrt{d \omega_{\rho}(p)} \oplus \int_{\widehat{H}_{\rho}} \sqrt{d \hat{v}\left(\sigma^{\prime}\right)} \oplus \sum_{\tau^{\prime}} \mathbf{C}, \\
\mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}=\oplus \int_{\hat{H}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} \sqrt{d \hat{v}(\sigma)} \oplus \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}+\rho_{2}}} \sqrt{d \hat{v}(\bar{\sigma})} \oplus \sum_{\tau_{1}, \tau_{2}, \tau} \mathbf{C} . \\
\end{array}
\]

Здесь $\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ – множество тех значений $\rho \in \widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})$, для которых сужение $U_{G(p)}^{\rho} \mid H$ содержит представление $\chi^{\sigma}$ при $\sigma \in \widehat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$, $\widehat{H}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ есть множество тех $\sigma \subset \hat{H}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$, для которых представление $\chi^{\sigma}$ содержится в сужении $U_{G(p)}^{\rho} \mid H$. Эти члены появляются при перестановке порядка интегрирования
\[
\int_{\hat{\hat{H}_{1} \rho_{2}}} d \hat{v}(\sigma) \int_{\widehat{G}(\stackrel{\circ}{\rho})_{\sigma}} d \hat{\mu}(\rho)=\int_{\widehat{G}(\rho))^{\rho_{1}}, \rho_{2}} d \hat{\mu}(\rho) \int_{\hat{H}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\sigma) .
\]

Скалярное произведение в пространстве $\widehat{\mathfrak{F}}^{\prime 1,2}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\hat{\psi}^{\prime} \mid \hat{\varphi}^{\prime}\right\rangle^{\wedge 1,2}= \\
=\int_{\Omega_{k}} d \rho(\stackrel{\circ}{p}) \int_{\widehat{\sigma}(p) \rho_{1}, \rho_{2}} d \hat{\mu}(\rho) \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\sigma) \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1}, \rho_{2}}} d \hat{v}(\bar{\sigma}) \times \\
\times \sum_{\tau_{1}, \tau_{2}, \tau}\left\langle\hat{\psi}_{\sigma \sigma \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho} \mid \hat{\varphi}_{\sigma \sigma \tilde{\tau_{1}} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho}\right\rangle^{\sim \stackrel{\circ}{p}, \rho}=\langle\psi \mid \varphi\rangle^{1,2}, \\
\left\langle\psi_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho} \mid \varphi_{\sigma \tilde{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\rho}\right\rangle^{\sim \stackrel{\circ}{p, \rho}}= \\
=\int_{\Omega(\rho)} d \omega_{\rho}(p) \int_{\widehat{H}_{\rho}} d \hat{v}\left(\sigma^{\prime}\right) \sum_{\tau^{\prime}} \hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho \sigma^{\prime} \tau^{\prime}}(p)^{*} \hat{\varphi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho \sigma^{\prime} \tau^{\prime}}(p) . \\
\end{array}
\]

С помощью соотношений
\[
\begin{array}{l}
U_{G(p)}^{\rho}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right) Q(p, q ; A)\right)_{\tau^{\prime} \sigma^{\prime}, \tau \sigma}= \\
=U_{G(p)}^{\rho}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\tau^{\prime} \sigma^{\prime}, \tau \sigma} \chi^{\sigma}(Q(p, q ; A))
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right) Q(p, q ; A)= \\
\quad=R(p ; A) R\left(\Lambda\left(\Lambda^{-1} p\right)^{-1} \Lambda^{-1} q\right), \quad \Lambda=\Lambda(A),
\end{array}
\]
[последнее следует из формул (3.1.26), (3.1.21) и (3.1.15), а также интегральной формулы
\[
\int_{\Sigma(\rho)} d R_{p}(q)=\int_{\Sigma\left(\Lambda^{-1} p\right)} d R_{\Lambda^{-1} p}\left(\Lambda^{-1} q\right),
\]

которая вытекает из (3.1.11)] можно записать для произведения представлений группы $\tilde{P}$, перенесенного в пространство $\widehat{S}^{\prime 1,2}$, следующее разложение:
\[
\begin{array}{l}
\left(\widehat{U}^{\prime 1,2}(A, a) \hat{\psi}^{\prime}\right)_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\rho \sigma^{\prime} \tau^{\prime}}(p) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\sim^{\prime \prime \sigma^{\prime} \tau^{\prime}}}(p)= \\
\quad=e^{i p \cdot a} \int_{\widehat{H}_{\rho}} d \hat{v}\left(\sigma^{\prime \prime}\right) \sum_{\tau^{\prime \prime}} U_{G(p)}^{\rho}(R(p ; A))_{\tau^{\prime} \sigma^{\prime}, \tau^{\prime \prime} \sigma^{\prime \prime}} \hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho \sigma^{\prime \prime} \tau^{\prime \prime}}\left(\Lambda^{-1} p\right) .
\end{array}
\]

Иными словами, в каждом гильбертовом пространстве $\tilde{\mathfrak{F}}^{0} . \rho$, которое содержится в разложеңии (3.1.52) пространства $\mathfrak{J}^{\prime 1,2}$, представление $\hat{U}^{1,2}$ принимает вид неприводимого унитарного представления группы $\tilde{P}$, принадлежащего к классу эквивалентности, характеризуемому парой $(p, \rho)$. В пространстве $\underset{p, \rho}{\mathfrak{J}_{\circ}^{\prime}}$ это представление реализуется с кратностью, которая определяется размерностью пространства $\mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$. В целом пространство представления $\widehat{\mathfrak{F}}^{\prime 1,2}$ является прямым интегралом гильбертовых продимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$, которое задается множествами $\Omega_{k}$ и $\widehat{G}(
ot p)^{\rho_{i}, \rho_{2}}$.

Дадим еще другую форму этого решения проблемы редукции произведения представлений группы $\tilde{P}$ с ненулевыми импульсами. В формуле (1.1.12) мы определили гильбертово пространство $\mathfrak{5}^{p, \rho}$, в котором реализуется неприводимое унитарное
(3.1.36), пространство $\tilde{5}^{\circ}, \rho=\ddot{A}^{p}{ }^{\circ} \rho-$ эквивалентно гильбертову пространству $\mathfrak{5}^{p} \rho$, которое входит в разложение сужения $U_{Q(\rho)}^{\rho} \mid H$. Используя унитарное отображение вида
\[
\hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho}(p) \rightarrow \hat{\psi}_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\rho}(p)=\ddot{A}^{-1} \hat{\psi}_{\sigma \sigma \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\prime \rho}(p),
\]

связывающее гильбертовы простраңства $\hat{F}^{\prime 1,2}$ и

можно перевести представление $\hat{U}^{\prime 1,2}$ в следующее:
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{U}^{1,2}(A, a) \hat{\psi}\right)_{\sigma \bar{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\rho}(p) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)_{\sigma \vec{\sigma} \tau_{1} \tau_{2} \tau}^{\rho \rho}(p)= \\
=e^{i p \cdot a} U_{G(\rho)}^{\rho}(R(p ; A)) \hat{\psi}_{\sigma \breve{\sigma} \tau_{i} \tau_{2} \tau}^{\rho}\left(\Lambda(A)^{-1} p\right), \\
\hat{U}^{1,2}=\oplus \int_{\Omega_{k}} d \rho(\stackrel{\circ}{p}) \oplus \int_{\widehat{G}(p) \rho_{1} \rho_{2}} d \hat{\mu}(\rho)\left[\mathbf{1}_{\mathscr{q}_{\rho}^{\rho_{1},} \rho_{z}} \oplus U^{\rho, \rho}\right] . \\
\end{array}
\]

Это представление реализуется в пространстве $\widehat{5}^{1,2}$, и его можно считать окончательной формой решения проблемы редукции прямого произведения $U^{\stackrel{\circ}{p_{1}, \rho_{1}}} \otimes U^{\stackrel{\circ}{p_{2}}, \rho_{2}}$ при $\stackrel{\circ}{p}_{1}
eq 0
eq \stackrel{\circ}{p}_{2}$. Области $\Omega_{k}$ перечислены в табл. 3.1. Области $\widehat{G}(\stackrel{p}{p})^{\rho_{1}, \rho_{2}}$, а также кратность, с которой входит представление $U^{\rho, \rho}$, определяемая размерностью пространства $\mathfrak{\rho}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$, и коэффициенты Клебша-Гордана указаны в разд. 3.2.