Табл. 3.2 „элементарных частиц“ напоминает аналогичные таблицы атомного и ядерного спектров.

До того как были обнаружены десятки барионов и десятки мезонов, физики занимались поисками еще большей симметрии, чем симметрия $U(2)$ (изоспин и гиперзаряд), описанная нами в разд. 3.5. Здесь не место и не время говорить о неудачных вариантах. Упомянем только о $U$ (3)-группе Сакаты [78], фундаментальное представление которой было ассоциировано с $p$, $n, \Lambda$ – первыми тремя известными барионами.

Точно так же, как Гейзенберг, пренебрегая незначительной разницей масс нейтрона и протона (точнее, приписывая ее эффекту электромагнитной собственной массы), предложил считать их двумя состояниями одной и той же частицы со спином $1 / 2$, восемь известных барионов со спином $\left(1 / 2^{+}\right)$, а именно $p, n, \Lambda^{0}, \Sigma^{-}, \Sigma^{0}, \Sigma^{+}, \Xi^{-}, \Xi^{0}$, можно рассматривать как восемь состояний „одной и той же“ частицы, хотя разность масс здесь уже порядка не $0,15 \%$, а $15 \%$.

K 1961 г. было известно уже семь псевдоскалярных мезонов $\left(0^{-}\right)$, одинаковым образом группирующихся по изоспину и гиперзаряду $y=1, t=1 \frac{1}{2}, K^{+} K^{0} ; y=-1, t=1 / 2, K^{-} K^{0} ; y=0$, $t=1, \pi^{+} \pi^{0} \pi^{-}$, правда, с гораздо большим разбросом по массам. Гелл-Манн и Нееман независимо друг от друга предложили использовать $S U(3)$ в качестве классифицирующей группы $[79,80]$. Восемь барионов $(1 / 2)^{+}$и восемь мезонов $0^{-}$(предсказанный с $y=0, t=0$ псевдоскалярный мезон был открыт спустя несколько месяцев и назван $\eta^{0}$ ) образуют два октета (восьмимерные пространства $\mathscr{E}_{8}$ присоединенного представления $S U(3)$; ему соответствует схема Юнга $\boxplus$ ). Например, гильбертово пространство состояний одного бариона есть тензорное произведение $\mathscr{L}\left(m, 1 / 2^{+}\right) \otimes \mathscr{K}(\oplus)$, где $\mathscr{L}\left(m, 1 / 2^{+}\right)$представляет собой пространство НП $\left(m, 1 / 2^{+}\right)$группы Пуанкаре $\mathscr{P}$, а $\mathscr{K}$ (Ф есть
1) Гл. 4 при переводе опущена.
пространство октета $\mathscr{E}_{8}$. В том случае, когда разностью масс барионов можно пренебречь, $S U(3)$ является точной симметрией. Можно сказать, что сильные взаимодействия разлагаются на две части: часть с сильным взаимодействием, инвариантным относительно $S U(3)$, и часть с полусильным взаимодействием, инвариантным лишь относительно подгруппы $U_{2}(T, Y)$. Это соответствует редукции ${ }^{\mathrm{I}}$ )

巴
\[
\begin{aligned}
\left.S U(3)\right|_{U(2)} & =\left(1, \frac{1}{2}\right)(0,0) \quad(0,1)\left(-1, \frac{1}{2}\right)(y, t) \\
8 & =2+1+3+2
\end{aligned}
\]

Но можно ли рассматривать полусильное взаимодействие, нарушающее $S U(3)$-инвариантность, как возмущение сверхсильного взаимодействия? При известной доле оптимизма, конечно, да. В этом случае вы считаете, что $15 \%$ (эффект разности масс барионов) мало по сравнению с 1.

Перейдем теперь к изучению расщепления масс в $S U(3)$ мультиплете.
5.1.б. Массовый оператор
Простая гипотеза для массового оператора $M$ заключается в том, что он может быть разложен на
\[
M=M_{0}+M^{\prime}(y),
\]

где $M_{0}$ – „скалярный“ тензорный оператор, а $M^{\prime}(y)$ – образ $y$ [алгебры Ли $S U(3)]$ в октете ( $\mathscr{E}_{8}$-тензорном операторе). Пусть $\mathscr{E}$ есть пространство НП группы $S U(3)$. Поскольку $S U(3)$ имеет ранг 2, т. е. два нулевых корня (которые являются нулевыми весами для представления Ф) $^{2}$ ), то
\[
\operatorname{dim} \operatorname{Hom}\left(\mathscr{E} \otimes \mathscr{E}_{8}, \mathscr{E}\right)^{S U(3)} \leqslant 2 ;
\]
1) Для $u \in U(2)$ зачерненный столбец означает (det $u)^{-1}$, а В означает $(\operatorname{det} u$ ).
${ }^{2}$ ) Если $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant 0$ представляют собой числа клеток в первой и второй строках схемы Юнга для НП группы $S U(3)$, то можно также воспользоваться для этого НП обозначением $\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}, \lambda_{2}\right)$. Контраградиентное НП $(p, q)$ есть НП $(q, p)$, так что НП ( $p, p$ ) контраградиентно само себе; например $\square=(1,1)$, в то время как $H П \amalg=(3,0)$ размерности 10 имеет в качестве контраградиентного нП $\square$, обозначаемое физиками $\overline{10}$.
точнее, размерность равна 2 (за исключением тривиального НП, имеющего нулевую размерность) и равна 1 для тех НП, схєма Юнга которых имеет только одну строку [т. е. $\left(\lambda_{1}, 0\right)$ ] или две одинаковые строки $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ [т. е. $\left.\left(0, \lambda_{2}\right)\right]$. Это, например, НП ш и контраградиентное к нему НП $\square$, имеющие размерность 10 и обозначаемые поэтому символами 10 и $\overline{10}$. Это верно и для НП $\square=(1,0)$ и $\theta=(0,1)$, обозначаемых 3 и $\overline{3}$, а также для НП $\square=(2,0)$ и $\square=(0,2)$, обозначаемых 6 и $\overline{6}$.

Неравенство (5.3) можно интерпретировать иначе, сказав, что в гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$ НП $S U(3)$ существует самое большее два линейно независимых октетных тензорных оператора. Таким образом, в приближении, когда $U(2)$ является точной симметрией (т. е. можно пренебречь-электромагнитным и слабым взаимодействиями), массы частиц в мультиплете зависят от трех параметров [один параметр – среднее значение $M_{0}$, и не больше двух для $\left.M^{\prime}(y)\right]$. Из разд. 1.5 известно, что для каждого $\mathscr{E}$ мы можем взять в качестве линейно независимых октетно-тензорных операторов $F$ и $D=F \vee F$, где $x \rightarrow F(x)$ есть представление (с точностью до множителя $i$ ) алгебры Ли $S U$ (3) на гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ состояний адронов. Оно удовлетворяет соотношению $F \wedge F=i F$. Точнее, для любых $p_{1}$, $p_{2} \in \mathscr{K}$-пространство НП $S U(3)$ в $\mathscr{H}$ и для любого октетнотензорного оператора $T$ имеем
\[
\left\langle p_{1}|T(x)| p_{2}\right\rangle=\left\langle p_{1}|(\alpha F(x)+\beta D(x))| p_{2}\right\rangle .
\]

В физической литературе $\alpha / \beta$ называется отношением $F / D$. Если октетная часть $M^{\prime}(y)$ [см. уравнение (5.2)] массового оператора не имеет матричных элементов между двумя подпространствами $\mathscr{C}$, в которых действуют неэквивалентные $\operatorname{HП} S U(3)^{1}$ ), то отсюда следует, что
\[
M=M_{0}+M_{1} F(y)+M_{2} D(y),
\]

где $M_{0}, M_{1}, M_{2}-S U(3)$-скалярные операторы. Операторы $F(y)$ и $D(y)$ коммутируют и их общие пространства собственных векторов суть $U(2)$-мультиплеты, так что они являются функциями $Y$ и $T(T+1)$ – генераторов центра обертывающей алгебры $U_{y}(2)$. По определению оператор $F(y)$ пропорционален $Y$, т. е.
1) Из этого правила есть исключение (см. разд. 5.1г) – векторные мезоны. Чтобы подчеркнуть основную идею, мы сделали здесь слишком много упрощений.
оператору гиперзаряда. Вычисления дают
\[
D(y)=\mathbf{T}^{2}-\frac{1}{4} Y^{2}-\frac{1}{3} K,
\]

где $K$ есть (квадратичный) оператор Казимира группы $S U(3)$. Таким образом, изменив для удобства определение скалярных операторов, массу состояния $S U(3)$-мультиплета с гиперзарядом $y$ и изоспином $t$ можно записать в виде
\[
m=m_{0}^{\prime}+m_{1}^{\prime}+m_{2}\left(t(t+1)-\frac{1}{4} y^{2}\right) .
\]

В применении к октету барионов $N, \Lambda, \Sigma, \Xi$ это дает cooтношение между массами четырех частиц
\[
\frac{1}{2}\left(m_{N}+m_{\Xi}\right)=\frac{1}{4}\left(3 m_{\Lambda}+m_{\Sigma}\right)
\]
(соотношение масс Гелл-Манна – Окубо), которое хорошо подтверждается с точностью до нескольких $\mathrm{M}_{9} \mathrm{~B}$ (для масс более $10^{3}$ Мэ В)!

Для мезонов (нулевой барионный заряд) вследствие зарядового сопряжения между частицами и античастицами величина $M_{1}^{\prime}$ должна быть равна нулю. Соотношение масс ГеллМанна – Окубо для псевдоскалярных мезонов
\[
m_{K}=\frac{1}{4}\left(m_{\pi}+3 m_{\eta}\right)
\]

подтверждается только с точностью до $50 \mathrm{M}$ эВ, т. е. примерно до $1 / 10$ массы $K$ и $\eta$. Оптимистически настроенные физики находят хорошие оправдания для объяснения того факта, что это соотношение лучше удовлетворяется для $m^{2}$, а не $m$.
5.1.в. Первый декуплет барионов
В 1961 г., когда в качестве группы симметрии было предложено использовать группу $S U(3)$, были известны только первые возбужденные состояния $N$ и $\Sigma: \Delta\left(j^{p}=3 / 2^{+}, t=3 / 2\right.$ и $\left.\Sigma^{*}\left(j^{p}=3 / 2^{+}, t=1\right)^{1}\right)$. Гелл-Манн, поместив их в представление 10 , предсказал частицу $\Xi^{*}\left(j^{p}=3 / 2^{+}, t=1 / 2, y=-1\right.$, возбужденное состояние $\Sigma$ ) и, наконец, частицу $\Omega\left(j^{p}=3 /{ }_{2}^{+}, t=0\right.$, $y=-2$ ). Как мы уже видели в НП 10 (со схемой Юнга шI), масса должна линейно зависеть от двух параметров [один из
1) Их часто называют также $Y^{*}$. Мы обозначаем через $j^{p}$ спин $j$ и четность $p$.
них $M_{0}$ и только один входит в $\left.M^{\prime}(y)\right]$, так что для этого декуплета соотношение Гелл-Манна – Окубо предсказывает массу $m_{y}$ состояния с гиперзарядом $y$ :
\[
m_{y}=m_{\Sigma^{*}}-\left(m_{\Sigma^{*}}-m_{\Delta}\right) y .
\]

Спустя несколько месяцев после этого (в 1962 г.), была обнаружена предсказанная частица $\Xi^{*}$ с массой 1530 МэВ [ср. с предсказанным значением $[1385+(1385-1236)]=1534$ МэВ]. Позднее установили, что она имеет спин $3 / 2$ и ту же относительную четность, что и $\Sigma^{*}$. Так как частица $\Omega^{-}$должна занимать самое нижнее адронное состояние с $b=1$ и $y=-2$, она должна быть стабильна по отношению к сильному и электромагнитному распаду. Такую частицу настойчиво искали, но не находили. По крайней мере немедленно. Многие физики, потеряв надежду, пытались объяснить, почему $\Omega$ не существует. Однако в 1964 г. после двух с половиной лет лихорадочных поисков эта частица наконец была обнаружена. Масса $\Omega$ равна 1672 МэВ (ср. с предсказанным значением 1677 МэВ). Ее спин еще не измерен, так как до сегодняшнего дня удалось наблюдать не более двух десятков $\Omega$-частиц. Если бы мы не искали частицу $\Omega$ там, где предсказано, неизвестно, когда бы еще мы обнаружили ее случайно.
5.1.2. Другие SU (3)-мультиплеты
Имеющиеся на сегодняшний день экспериментальные данные свидетельствуют о деформированном виде $S U$ (3)-мультиплетов. Например, для барионов еще не известно ни одного возбужденного состояния $\Omega$, хотя мультиплеты с $(5 / 2)+$ и другие декуплеты, вероятно, существуют. Некоторые октеты были идентифицированы предварительно, хотя известно еще слишком мало возбужденных состояний $\Xi$ и их квантовые числа пока не измерены.
По-видимому, мезоны предпочитают объединяться в нонеты.

В самом деле, как добавление к октету $0^{-}$известен мезон $0^{-}$ с $q=0, y=0, t=0$. Очень хорошо известен нонет $1^{-}(\rho, \omega$, $\left.\phi, K^{*}, \bar{K}^{*}\right)$. Массовую формулу нельзя было применить к известному „октету“. Дело в том, что $\omega$ и $\phi$ являются ортогональными состояниями \”смешанной конфигурации\” с $q=y=$ $=t=0, \omega=|1\rangle \cos \alpha+|8\rangle \sin \alpha, \phi=|8\rangle \cos \alpha-|1\rangle \sin \alpha$, где $|1\rangle$ есть $S U$ (3)-синглет, а $|8\rangle$ – вектор октета с $q=y=t=0$. Нонет $2^{+}$тоже надежно установлен. Вероятно, существует и октет $1^{+}$. Имеется некоторая возможность существования 27-плета ( $\square \square$ ) барионов (в табл. 2.3 не обозначен, так как это еще предварительные экспериментальные данные). Надо отметить, что появляются только НП присоединенной группы $S U(3) / Z_{3}$.
5.1.д. Поперечные сечения и распады резонансов
$S U(3)$-инвариантность предсказывает отношения вероятностей распадов резонансов на более легкие адроны (вероятности, измеренные по естественной ширине, и различные относительные вероятности). Это дает замечательно хорошие предсказания и объясняет такие странные явления, как малую относительную вероятность распада $\phi$ на $2 \pi$.

Для реакций с двумя октетными частицами $A+B \rightarrow C+D$ можно показать, что амплитуда рассеяния принадлежит к представлению

содержащему семь произвольных параметров. Еще меньше параметров в реакции $8 \otimes 8 \rightarrow 8 \otimes 10$. Путь уточнения разности масс пока`не ясен и все предсказания в этой области не эффективны.

Антология оригинальных статей, посвященных $S U(3)$-симметрии, была составлена Гелл-Манном и Нееманом [81]. Этому же вопросу посвящена книга Гурдэна [82].