Мы будем считать, что для каждой рассматриваемой здесь физической теории существует „группа относительности“ $G$. Это значит, что $G$ действует на физической системе $S$ и существует изоморфизм между физикой системы $S$ (гильбертовым $(\mathcal{C}{)}^2)$ и т. д.) и физикой преобразований $\mathrm{g}(S)$ — преобразований $S$ при помощи элемента $\mathrm{g}\in G$ ( $\mathrm{g}$ может быть, например, вращением). Это „активная“ точка зрения на $G$-инвариантность. С „пассивной“ точки зрения группа преобразований устанавливает изоморфизм между физическим описанием одной и той же системы двумя наблюдателями, использующими разные системы координат, причем эти системы связаны преобразованием группы $G$.

Обозначим через $P_{g{x}_i}$ (для любого $g\in G$ ) состояние, получающееся после соответствующего преобразования из состояния $P_{x_i}$. Мы назовем группу $G$-группой инвариантности, если все вероятности в уравнении (1.2) инвариантны
$$\mathrm{\forall }|x⟩\in \mathcal{H},\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{Sp}{P}_{g{x}_1}{P}_{g{x}_2}=\mathrm{Sp}{P}_{x_1}{P}_{x_2},$$
1) Еще двадцать лет тому назад Сигал настаивал на использовании $C^{\ast }$-алгебр в квантовой физике. Ценность такого подхода (физнческое приближение и $\epsilon$-эквивалентность Фельда, введение правил суперотбора) показана в фундаментальной статье Хаага и Қастлера „Алгебраический подход к квантовой теории поля“ [30]. Бо́льшая часть работ по использованию $C^{\ast }$-алгебр в физике написана в строгом математическом стиле и опубликована в журнале \»Communications in Mathematical Physics\». По статистической механике \»см. книгу Д. Рюэлля „Статистическая механика“ [31].
${}^2$ ) Через $\mathcal{L}(\mathcal{G})$ обозначено пространство линейных операторов, действующих в пространстве $\mathcal{H}$.
или
$${\left|⟨g{x}_1\mid g{x}_2⟩\right|}^2={\left|⟨x_1\mid x_2⟩\right|}^2.$$

Это значит, что группа $G$ действует на $\mathcal{H}$ изометрично.
В своей книге по теории групп Вигнер [12] доказал (см. приложение к гл. 20) ${}^1$ ), что отображение $|x⟩\to |gx⟩$ является либо унитарным оператором $U(g)$, либо антиунитарным оператором $V(g)$ на $\mathcal{C}$. Напомним, что антиунитарный оператор $V$ обладает следующими характеристическими свойствами:
$$\begin{array}{c}|x⟩,|y⟩\in \mathcal{H},V(\alpha |x⟩+\beta |y⟩)=\overline{\alpha }V|x⟩+\overline{\beta }V|y⟩,\\ ⟨Vx\mid Vy⟩=⟨\overline{x}\mid y⟩=⟨y\mid x⟩;\end{array}$$

имеет обратный оператор.
Если дана изометрия на пространстве $\mathcal{H}$, то существует простой критерий ${}^2$ ) для решения вопроса, реализуется ли она унитарным $U$ или антиунитарным $V$ оператором. В том и другом случае операторы $U$ и $V$ определены с точностью до фазового множителя. При этом произведение двух антиунитарных операторов является унитарным оператором.

Пусть $\mathcal{V}(\mathcal{C})$ — группа как унитарных, так и антиунитарных операторов на $\mathcal{H}$, а $\mathcal{U}(\mathcal{C})$ — подгруппа унитарных операторов.

Группа $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ является подгруппой индекса 2 группы $\mathcal{V}(\mathcal{H})$, и потому $\mathcal{U}(\mathcal{C})$ — инвариантная подгруппа группы $\mathcal{P}(\mathcal{C})$. Мы предположим, что $G$ действует на $\mathcal{C}$ эффективно, т. е. единственным элементом, действующим на $\mathcal{H}$ тривиально, является $1\in G$. Преобразования $\mathcal{U}(g)$ [или $\mathcal{V}(g)$ ] для $g\in G$ генерируют подгруппу $\mathcal{E}(G)$ группы $\mathcal{V}(\mathcal{H})$, которая является расширением группы $G$ при помощи группы $U_1$ (умножение векторов в пространстве $\mathcal{H}$ на фазовый множитель; состояние при этом остается неизменным), т. е.
$$G\stackrel{f}{\to }\text{ Aut }{U}_1,$$

где ядро отображения $\mathrm{Ker}f$ является инвариантной подгруппой $G_{+}\subset G$ индекса 2 , которая действует как группа унитарных преобразований, а нетривиальный элемент образа отображения $\mathrm{Im}f$-это комплексное сопряжение $\alpha \to \tilde{\alpha }={\alpha }^{-1}\in U_1$.
1) Более прямое доказательство теоремы Вигнера было дано Баргманом [32]. Доказательства некоторых обобщений теоремы можно найти в работе Ульхорна [33]. В рамках аксиоматики Биркгофа и фон Неймана эквивалентная теорема была доказана Эмхом и Пироном [34].
${}^2$ ) См. работу Баргмана [32]: для любой тройки векторов $|x⟩,|y⟩,|z⟩$ величина $⟨x\mid y⟩⟨y\mid z⟩⟨z\mid x⟩$ инвариантна относительно унитарного преобразования $U$ и переходит в комплексно-сопряженную величину при антиунитарном преобразовании $V$.
Можно сказать также, что группа $G_{+}$действует как линейное унитарное проективное представление, и для действия $G$ (когда $G$ строго содержит $G_{+}$) Вигнер предложил новый термин „проективное копредставление“. Как показал Вигнер, из физических соображений следует, что для преобразований, которые меняют направление времени, должны использоваться антиунитарные операторы. Это необходимо для того, чтобы энергия была положительной: в самом деле, сдвиг по времени на величину $t$ представляется оператором $e^{-itH}$; если $t\to -t$, то величина $i$ должна переходить в $-i$, чтобы как $H$, так и $e^{-itH}$ оставались инвариантными.

Непрерывные проективные линейные унитарные представления конечных групп и групп Ли хорошо известны. Например, для трехмерной группы вращений — группы $SO(3,R)$ — эти проективные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с „линейными неприводимыми унитарными представлениями“ (в дальнейшем в данных лекциях для этого термина будет использовано сокращение НП) группы $SU(2)$ группы, которая является универсальной накрывающей для $SO(3,R)$. Отсюда следует необходимость введения спиноров в квантовую физику.

В гл. 4 мы будем изучать инвариантность относительно групп преобразований, связанных с нерелятивистской (ньютоновской) механикой и специальной теорией относительности ${}^1$ ). В физике, однако, рассматриваются и другие группы инвариантности, например группа $S(n)$ — группа перестановок $n$ тождественных частиц ( $n$ электронов в атоме). В ядерной физике и физике фундаментальных частиц мы встречаемся со многими „приближенными инвариантностями“. Соответствующей группой инвариантности в большинстве случаев является группа $U(n)$ или $SU(n)$ [группа унитарных $n\times n$-матриц с определителем, равным единице в случае $SU(n)]$, причем $n=1,2,3,4,6$.

Термин „приближенная симметрия\» требует некоторого разъяснения. Пусть мы, например, изучаем инвариантность относительно группы $G$, где $G$ — группа симметрии динамической системы, например группа симметрии кристалла (одна из кристаллографических групп). Этот пример затрагивает деликатный вопрос о групповой инвариантности в физике. Взаимодействие между атомами, несомненно, является трансляционно-инвариантным (и, быть может, инвариантно относительно большей группы преобразований). Почему же тогда
1) При переводе эта глава опущена.
атомы образуют кристалл, решетка которого инвариантна только относительно подгруппы группы трансляций? При возникновении такого явления, т. е. когда стабильное состояние имеет меньшую симметрию, чем симметрия физических законов, мы будем говорить, что имеем дело с нарушенной симметрией ${}^1$ ).

Перейдем теперь к обсуждению математического аппарата, который мы часто будем использовать.