Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы будем считать, что для каждой рассматриваемой здесь физической теории существует „группа относительности“ $G$. Это значит, что $G$ действует на физической системе $S$ и существует изоморфизм между физикой системы $S$ (гильбертовым $\left.(\mathscr{\mathscr { C }})^{2}\right)$ и т. д.) и физикой преобразований $\mathrm{g}(S)$ – преобразований $S$ при помощи элемента $\mathrm{g} \in G$ ( $\mathrm{g}$ может быть, например, вращением). Это „активная“ точка зрения на $G$-инвариантность. С „пассивной“ точки зрения группа преобразований устанавливает изоморфизм между физическим описанием одной и той же системы двумя наблюдателями, использующими разные системы координат, причем эти системы связаны преобразованием группы $G$. Обозначим через $P_{g x_{i}}$ (для любого $g \in G$ ) состояние, получающееся после соответствующего преобразования из состояния $P_{x_{i}}$. Мы назовем группу $G$-группой инвариантности, если все вероятности в уравнении (1.2) инвариантны Это значит, что группа $G$ действует на $\mathscr{H}$ изометрично. имеет обратный оператор. Пусть $\mathscr{V}(\mathscr{C})$ – группа как унитарных, так и антиунитарных операторов на $\mathscr{H}$, а $\mathscr{U}(\mathscr{C})$ – подгруппа унитарных операторов. Группа $\mathscr{U}(\mathscr{H})$ является подгруппой индекса 2 группы $\mathscr{V}(\mathscr{H})$, и потому $\mathscr{U}(\mathscr{C})$ – инвариантная подгруппа группы $\mathscr{P}(\mathscr{C})$. Мы предположим, что $G$ действует на $\mathscr{C}$ эффективно, т. е. единственным элементом, действующим на $\mathscr{H}$ тривиально, является $1 \in G$. Преобразования $\mathscr{U}(g)$ [или $\mathscr{V}(g)$ ] для $g \in G$ генерируют подгруппу $\mathscr{E}(G)$ группы $\mathscr{V}(\mathscr{H})$, которая является расширением группы $G$ при помощи группы $U_{1}$ (умножение векторов в пространстве $\mathscr{H}$ на фазовый множитель; состояние при этом остается неизменным), т. е. где ядро отображения $\operatorname{Ker} f$ является инвариантной подгруппой $G_{+} \subset G$ индекса 2 , которая действует как группа унитарных преобразований, а нетривиальный элемент образа отображения $\operatorname{Im} f$-это комплексное сопряжение $\alpha \rightarrow \tilde{\alpha}=\alpha^{-1} \in U_{1}$. Непрерывные проективные линейные унитарные представления конечных групп и групп Ли хорошо известны. Например, для трехмерной группы вращений – группы $S O(3, R)$ – эти проективные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с „линейными неприводимыми унитарными представлениями“ (в дальнейшем в данных лекциях для этого термина будет использовано сокращение НП) группы $S U(2)$ группы, которая является универсальной накрывающей для $S O(3, R)$. Отсюда следует необходимость введения спиноров в квантовую физику. В гл. 4 мы будем изучать инвариантность относительно групп преобразований, связанных с нерелятивистской (ньютоновской) механикой и специальной теорией относительности ${ }^{1}$ ). В физике, однако, рассматриваются и другие группы инвариантности, например группа $S(n)$ – группа перестановок $n$ тождественных частиц ( $n$ электронов в атоме). В ядерной физике и физике фундаментальных частиц мы встречаемся со многими „приближенными инвариантностями“. Соответствующей группой инвариантности в большинстве случаев является группа $U(n)$ или $S U(n)$ [группа унитарных $n \times n$-матриц с определителем, равным единице в случае $S U(n)]$, причем $n=1,2,3,4,6$. Термин „приближенная симметрия\” требует некоторого разъяснения. Пусть мы, например, изучаем инвариантность относительно группы $G$, где $G$ – группа симметрии динамической системы, например группа симметрии кристалла (одна из кристаллографических групп). Этот пример затрагивает деликатный вопрос о групповой инвариантности в физике. Взаимодействие между атомами, несомненно, является трансляционно-инвариантным (и, быть может, инвариантно относительно большей группы преобразований). Почему же тогда Перейдем теперь к обсуждению математического аппарата, который мы часто будем использовать.
|
1 |
Оглавление
|