Пусть $V(r)$ – сферически симметричный потенциал. Тогда гамильтониан частицы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m} \mathbf{P}^{2}+V(r)
\]

и инвариантен относительно ортогональной группы $O$ (3). В терминах разд. 1.3 $H, \mathbf{P}^{2}$ и $V(r)$ – „калярные операторы“, $\mathbf{P}, \mathbf{R}$ и $\mathbf{L}=\mathbf{R} \times \mathbf{P}$ – (полярный и аксиальный) векторные операторы. Если а, b и т. д. – векторы трехмерного векторного пространства $E_{3}$ присоединенного представления группы $O$ (3), то перестановочные соотношения (2.1) можно записать в виде
\[
[\mathbf{P}(\mathbf{a}), \mathbf{Q}(\mathbf{b})]=i \hbar \mathbf{I} \frac{1}{2} \beta(\mathbf{a}, \mathbf{b})=i \hbar(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \mathbf{I} .
\]

В этом соотношении $\beta$ есть форма Киллинга – Қартана, определенная уравнением (1.11) ${ }^{1}$ ).

Из (2.10) и выражения $\mathbf{L}=\mathbf{R} \times \mathbf{P}$ для оператора момента количества движения, полученного из принципа соответствия (см. конец разд. 1.5), находим
\[
[\mathbf{L}(\mathbf{a}), \mathbf{L}(\mathbf{b})]=i \hbar \mathbf{L}(a \wedge b) .
\]

Это служит подтверкдением того факта, что векторный оператор момента количества движения является представлением (с точностью до множителя $i$ ) алгебры Ли группы $O(3)$, действующим в нашем гильбертовом пространстве.

Некоторые физики пишут $\mathbf{P} \cdot \mathbf{a}$ и $\mathbf{L} \cdot \mathbf{n}$ вместо $\mathbf{P}(\mathbf{a})$ и $\mathbf{L}(\mathbf{n})$. Однако не удивляйтесь, если во всех физических книгах вы увидите, что для ортонормированного базиса $\mathbf{Q}\left(e_{i}\right), \mathbf{P}\left(e_{j}\right), \mathbf{L}\left(e_{k}\right)$ используются векторные обозначения $Q_{i}, P_{j}, L_{k}$ и пр.

Операторы, которые соответствуют наблюдаемым, являющимся интегралами движения, генерируют алгебру $\{H\}^{\prime}$ – коммутант алгебры $H$. Следовательно, уравнение, которое может быть выведено из уравнения (2.10) и определения оператора $\mathbf{L}$ :
1) См. также приложение о перестановочных соотношениях в конце этого раздела.
$\mathbf{a} \in E_{3}, \quad[L(\mathbf{a}), H]=0$, или символически $[\mathbf{L}, H]=0$,
означает, с одной стороны, что гамильтониан инвариантен относительно вращений, а с другой стороны, что момент количества движения является интегралом движения.

Оператор Казимира для группы $O$ (3) (в нормировке, используемой физиками) имеет вид $\mathbf{L}^{2}=\sum_{i=1}^{3} L_{l}^{2}$, и, как хорошо известно, его значения для неприводимых представлений группы $S U(2)$ равны $j(j+1) \hbar^{2}$, где $2 j$ —целое положительное число или нуль, а $2 j+1$ – размерность представления. Для НП группы $S O(3)$ і принимает только целые значения. Если вектор состояния является собственным вектором оператора $\mathbf{L}^{2}$ с собственным значением $j(j+1) \hbar^{2}$, то для краткости мы будем говорить, что соответствующий момент количества движения равен $j \hbar$.
Приложение. О перестановочных соотношениях
Профессор Баргман указал мне, что я рассматривал группу инвариантности перестановочных соотношений только с точки зрения инвариантности относительно вращений [см. уравнение (2.10)]. Несомненно следует рассмотреть и общий случай, когда перестановочные соотношения имеют вид
\[
\left[P_{i}, Q_{j}\right]=-i \hbar \delta_{i j} \mathbf{I} \quad(i, j=1, \ldots, n) .
\]

Пусть $a=\left(a_{1} \ldots a_{n}\right), b=\left(b_{1} \ldots b_{n}\right) \in R^{n}$ и мы используем следующие обозначения для тензорных операторов: $P(a)=\sum_{i} a_{i} P_{i}$, $Q(b)=\sum_{j} b_{l} Q_{l}$. Уравнение $(2.10 a)$ определяет $(2 n+1) j$-мерную алгебру Ли, которая является центральным неабелевым расширением алгебры $\mathbf{g}$ пространства $R^{2^{n}}$ при помощи алгебры $R^{1}$ (центра алгебры g). Это расширение определяется антисимметричной билинейной формой на $R^{2^{n}}=R^{n} \oplus R^{n}$ :
\[
\sigma\left(a \oplus b, a^{\prime} \oplus b^{\prime}\right)=a \cdot b^{\prime}-b \cdot a^{\prime},
\]

где $a \cdot b=\sum_{i} a_{i} b_{i}$. Группой автоморфизмов алгебры g является симплектическая группа $S p(n)$, оставляющая эту форму инвариантной.

Соответствующая односвязная группа $G$ имеет с точностью до эквивалентности единственное унитарное НП (теорема фон Неймана). Шредингеровская реализация этого представления это реализация операторами на пространстве $\mathscr{L}^{2}$ функций $n$
переменных: $\quad x=\left(x_{1} \ldots x_{n}\right), \quad U_{a}=e^{i P(a)}, \quad\left(U_{a} f\right)(x)=f(x+a)$, $V_{b}=e^{i Q(b)},\left(V_{b} f\right)(x)=e^{i h b \cdot x} f(x)$. Здесь $x, a \in \mathscr{E}_{n}, b \in \mathscr{E}_{n}^{\prime}$ – пространство дуальное к $\mathscr{E}_{n}$. В случае уравнения $(2.10) n=3$. Кроме того, группа вращений $S O(3)$ оставляет инвариантной симметричную линейную форму $\beta$ на $\mathscr{E}_{3}$ и мы используем соответствующую идентификацию пространства $\mathscr{E}_{3}$ и дуального к нему пространства.