Пусть $V(r)$ — сферически симметричный потенциал. Тогда гамильтониан частицы имеет вид
$$H=\frac{1}{2m}{\mathbf{P}}^2+V(r)$$

и инвариантен относительно ортогональной группы $O$ (3). В терминах разд. 1.3 $H,{\mathbf{P}}^2$ и $V(r)$ — „калярные операторы“, $\mathbf{P},\mathbf{R}$ и $\mathbf{L}=\mathbf{R}\times \mathbf{P}$ — (полярный и аксиальный) векторные операторы. Если а, b и т. д. — векторы трехмерного векторного пространства $E_3$ присоединенного представления группы $O$ (3), то перестановочные соотношения (2.1) можно записать в виде
$$[\mathbf{P}(\mathbf{a}),\mathbf{Q}(\mathbf{b})]=i\hslash \mathbf{I}\frac{1}{2}\beta (\mathbf{a},\mathbf{b})=i\hslash (\mathbf{a},\mathbf{b})\mathbf{I}.$$

В этом соотношении $\beta$ есть форма Киллинга — Қартана, определенная уравнением (1.11) ${}^1$ ).

Из (2.10) и выражения $\mathbf{L}=\mathbf{R}\times \mathbf{P}$ для оператора момента количества движения, полученного из принципа соответствия (см. конец разд. 1.5), находим
$$[\mathbf{L}(\mathbf{a}),\mathbf{L}(\mathbf{b})]=i\hslash \mathbf{L}(a\wedge b).$$

Это служит подтверкдением того факта, что векторный оператор момента количества движения является представлением (с точностью до множителя $i$ ) алгебры Ли группы $O(3)$, действующим в нашем гильбертовом пространстве.

Некоторые физики пишут $\mathbf{P}\cdot \mathbf{a}$ и $\mathbf{L}\cdot \mathbf{n}$ вместо $\mathbf{P}(\mathbf{a})$ и $\mathbf{L}(\mathbf{n})$. Однако не удивляйтесь, если во всех физических книгах вы увидите, что для ортонормированного базиса $\mathbf{Q}\left(e_i\right),\mathbf{P}\left(e_j\right),\mathbf{L}\left(e_k\right)$ используются векторные обозначения $Q_i,P_j,L_k$ и пр.

Операторы, которые соответствуют наблюдаемым, являющимся интегралами движения, генерируют алгебру $\{H{\}}^{\prime }$ — коммутант алгебры $H$. Следовательно, уравнение, которое может быть выведено из уравнения (2.10) и определения оператора $\mathbf{L}$ :
1) См. также приложение о перестановочных соотношениях в конце этого раздела.
$\mathbf{a}\in E_3,[L(\mathbf{a}),H]=0$, или символически $[\mathbf{L},H]=0$,
означает, с одной стороны, что гамильтониан инвариантен относительно вращений, а с другой стороны, что момент количества движения является интегралом движения.

Оператор Казимира для группы $O$ (3) (в нормировке, используемой физиками) имеет вид ${\mathbf{L}}^2=\sum _{i=1}^3{L}_l^2$, и, как хорошо известно, его значения для неприводимых представлений группы $SU(2)$ равны $j(j+1){\hslash }^2$, где $2j$ —целое положительное число или нуль, а $2j+1$ — размерность представления. Для НП группы $SO(3)$ і принимает только целые значения. Если вектор состояния является собственным вектором оператора ${\mathbf{L}}^2$ с собственным значением $j(j+1){\hslash }^2$, то для краткости мы будем говорить, что соответствующий момент количества движения равен $j\hslash$.
Приложение. О перестановочных соотношениях
Профессор Баргман указал мне, что я рассматривал группу инвариантности перестановочных соотношений только с точки зрения инвариантности относительно вращений [см. уравнение (2.10)]. Несомненно следует рассмотреть и общий случай, когда перестановочные соотношения имеют вид
$$[P_i,Q_j]=-i\hslash {\delta }_{ij}\mathbf{I}(i,j=1,\dots ,n).$$

Пусть $a=(a_1\dots a_n),b=(b_1\dots b_n)\in R^n$ и мы используем следующие обозначения для тензорных операторов: $P(a)=\sum _i{a}_i{P}_i$, $Q(b)=\sum _j{b}_l{Q}_l$. Уравнение $(2.10a)$ определяет $(2n+1)j$-мерную алгебру Ли, которая является центральным неабелевым расширением алгебры $\mathbf{g}$ пространства $R^{2^n}$ при помощи алгебры $R^1$ (центра алгебры g). Это расширение определяется антисимметричной билинейной формой на $R^{2^n}=R^n\oplus R^n$ :
$$\sigma (a\oplus b,a^{\prime }\oplus b^{\prime })=a\cdot b^{\prime }-b\cdot a^{\prime },$$

где $a\cdot b=\sum _i{a}_i{b}_i$. Группой автоморфизмов алгебры g является симплектическая группа $Sp(n)$, оставляющая эту форму инвариантной.

Соответствующая односвязная группа $G$ имеет с точностью до эквивалентности единственное унитарное НП (теорема фон Неймана). Шредингеровская реализация этого представления это реализация операторами на пространстве ${\mathcal{L}}^2$ функций $n$
переменных: $x=(x_1\dots x_n),U_a=e^{iP(a)},\left(U_{a}f\right)(x)=f(x+a)$, $V_b=e^{iQ(b)},\left(V_{b}f\right)(x)=e^{ihb\cdot x}f(x)$. Здесь $x,a\in {\mathcal{E}}_n,b\in {\mathcal{E}}_n^{\prime }$ — пространство дуальное к ${\mathcal{E}}_n$. В случае уравнения $(2.10)n=3$. Кроме того, группа вращений $SO(3)$ оставляет инвариантной симметричную линейную форму $\beta$ на ${\mathcal{E}}_3$ и мы используем соответствующую идентификацию пространства ${\mathcal{E}}_3$ и дуального к нему пространства.