Для группы $S U(2)$ симметрическая алгебра $V$ для присоединенного представления тривиальна: $\operatorname{dim}(\mathscr{G} \otimes \mathscr{G}, \mathscr{G})^{S U(2)}=$ $=\operatorname{dim}(\mathscr{G} \wedge \mathscr{G}, \mathscr{G})^{S U(2)}=1$.

В самом общем случае, когда мы имеем три НП, действующие в пространствах $\mathscr{E}_{I_{1}}, \mathscr{E}_{I_{2}}, \mathscr{E}_{i_{3}}$,
\[
\operatorname{dim} \operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}}, \mathscr{E}_{j_{3}}\right)^{G}=\Delta\left(j_{1}, j_{2}, j_{3}\right)=0 \text { или } 1 \text {, }
\]

где $\Delta\left(j_{1}, j_{2}, j_{3}\right)=1$, если $\left|j_{1}-j_{2}\right| \leqslant j_{3} \leqslant j_{1}+j_{2}$ (условие треугольника) и $\Delta=0$ в остальных случаях. Эквивалентную формулировку этого результата физики называют теоремой Вигнера Эккарта, а группы, обладающие свойством (1.30), Вигнер назвал просто приводимыми.

В этом разделе мы будем часто ссылаться на две книги: работу [42]-сборник репринтов и оригинальных статей под редакцией Биденхарна и ван Дама и работу [43] – сборник, посвященный памяти Рака́.

Во втором сборнике на стр. 131-136 Вигнер доказал следующую теорему для конечных групп.

Теорема. Пусть $G$-конечная группа, а $H$ – ее подгруппа. Тогда следующие условия эквивалентны.
a) При ограничении на $H$ произвольного НП группы $G$ кратности, с которыми входят в разложение НП группы $H$, не превышают 1.
б) Кольцо классов элементов группы $G$, сопряженных относительно подгруппы $H$, является абелевым.
Разъясним условия „а“ и \”б“ более подробно.
a) Пусть дано НП группы \” $G$ в пространстве $\mathscr{G}$. Его ограничение на подгруппу $H$, вообще говоря, приводимо, и при разложении кратности входящих НП группы $H$ не превышают 1. Иными словами, коммутант представления группы $H$ (т. е. множество всех ограниченных элементов в $\mathscr{L}(\mathscr{G})$, коммутирующих со всеми операторами представления группы $H$, которое есть алгебра), является абелевой алгеброй.
б) Пусть дан элемент $a \in G$. Класс сопряженных элементов относительно $H$-это множество $A=\left\{h a h^{-1}, \forall h \in H\right\}$. Если даны два таких класса $A$ и $B$, то мы определим их произведение $A \cdot B$ как множество $\{a b, a \in A, b \in B\}$. Условие „б“ означает, что для любой пары классов справедливо равенство $A \cdot B=B \cdot A$. По-видимому, нетрудно распространить доказательство теоремы Вигнера на компактные группы.

Примерами пар групп и подгрупп, удовлетворяющих этой теореме, являются $S(n)$ и $S(n-1), U(n)$ и $\left.U(n-1)^{1}\right)$.

Используя закон умножения в группе, можно доказать, что прямое произведение $S U(2) \otimes S U(2)$ и диагональная подгруппа этой группы удовлетворяют условию „б“. Из теоремы Вигнера для них следует соотношение (1.30). Если это возможно, было бы интересно распространить доказательство Вигнера на локально компактные группы типа $1^{2}$ ).

Другое свойство группы $S U(2)$, которое мы уже отмечали, заключается в том, что любое ее. НП эквивалентно контраградиентному представлению. Для произвольного представления $D_{j}$ это определяет изоморфизм $C$ между пространством $\mathscr{E}_{j}$ представления $D_{j}$ и дуальным к нему пространством $\mathscr{E}_{l}^{\prime}: \mathscr{E}_{j} \xrightarrow{C} \mathscr{E}_{j}^{\prime}$. Изоморфизм $C$ обладает каноническим свойством
\[
\mathscr{E}_{j} \xrightarrow{C} \mathscr{E}_{j}^{\prime}, \quad C^{T}=(-1)^{21} C,
\]

где $C^{T}$ – матрица, транспонированная матрице $C$. Физики нормируют $C$ условием
\[
C^{T} C=1 .
\]

Теперь мы подготовили вас к понятию об исчислении, разработанном независимо Вигнером и Рака́ и необходимом физикам для того, чтобы полностью использовать в атомной физике (а также в ядерной физике и многих других разделах квантовой физики) инвариантность относительно вращений. Многие из чисел в атомных спектрах (расстояния между соседями в семействе спектральных линий, относительные интенсивности линий
1) После этой лекции профессор Дж. Макки с помощью своей теории индуцированных представлений привел доказательство для компактных групп.
2) В 1941 г. Вигнер доказал для конечных групп (статья перепечатана в сборнике [42]) другое свойство, эквивалентное свойствам па и \”б“. Пусть $\zeta(g)$ – число квадратных корней элемента $g$ в конечной группе $G$, а $v(g)$ – число элементов группы $G$, коммутирующих с $g$. В конечной группе $\sum_{g \in a}\left[v(g)^{2}-\zeta(g)^{3}\right] \geqslant 0$. Равенство осуществляется в том и только том случае. когда группа $G$ является просто приводимой.
и т. д.) оказываются алгебраическими функциями коэффициентов, определенных Вигнером и Рака́. Поскольку эти коэффициенты весьма полезны, им посвящена обширная литература. Обнаружено, что они обладают неожиданными симметриями, и были выдвинуты касающиеся их недоказанные гипотезы. Однако язык этого физического фольклора, по-видимому, не известен математически мыслящему этнографу.

Для записи $3 j$-коэффициентов Вигнера физики выбирают базис в каждом из гильбертовых пространств $\mathscr{E}_{1}$, в котором действует представление $D_{j}$. Базис состоит из собственных векторов подгруппы $U(1)$ [картановской подгруппы группы $S U(2)$ ], упорядоченных в терминах уменьшения собственного значения $\mu$ (меняющегося от $j$ до – через единицу). Очевидно, что бо́льшая часть этих свойств не зависит от выбора базиса. Рассмотрим элемент одномерного векторного пространства
\[
\left(\mathscr{E}_{j_{1}}^{\prime} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}}^{\prime} \otimes \mathscr{E}_{j_{3}}\right)^{G}=\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{j_{1}} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}}, \mathscr{E}_{j_{3}}\right)^{a} .
\]

Обозначим его через
\[
\left(\dot{j}_{1}, j_{2}, j_{3}\right) \text {. }
\]

Изоморфизм $C$ и преобразование, обратное к нему, определенные формулами (1.31) и (1.32), преобразуют тензор (1.34) следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(\dot{j}_{1}, \dot{j}_{2}, \dot{j}_{3}\right) \in\left(\mathscr{E}_{j_{1}}^{\prime} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}}^{\prime} \otimes \mathscr{E}_{j_{j}}^{\prime}\right)^{G}=\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{j_{1}} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{j_{3}}, \mathbf{C}\right)^{G}, \\
\left(j_{1}, j_{2}, j_{3}\right) \in\left(\mathscr{E}_{j_{1}} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{j_{1}}\right)^{G}=\operatorname{Hom}\left(\mathbf{C}, \mathscr{E}_{j_{1}} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{i_{3}}\right)^{G} \text {, } \\
\left(i_{1}, j_{2}, j_{3}\right) \in\left(\mathscr{E}_{l_{1}}^{\prime} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{j_{3}}\right)^{a}=\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{j_{1}}, \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{j_{3}}\right)^{G}, \\
\end{array}
\]

и т. д.
Из уравнений (1.35), (1.36) видно, что величины $\left(\dot{j}_{1}, \stackrel{\circ}{j}_{2}, \stackrel{\circ}{j}_{3}\right)$ соответственно $\left(j_{1}, j_{2}, j_{3}\right)$ принадлежат к одномерному представлению группы перестановок трех пространств, задаваемых числами $j_{1}, j_{2}, j_{3}$; вычисления показывают, что это представление имеет вид
Ш’имметричное), если $j_{1}+j_{2}+j_{3}$-четное число, (антисимметричное), если $j_{1}+j_{2}+j_{3}$ – нечетное число.

Композиция двух гомоморфизмов
\[
\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{1_{3}} \xrightarrow{\left(i_{1}, j_{2}, i_{3}\right)} \mathbf{C} \xrightarrow{\left(j_{1}, j_{2}, j_{3}\right)} \mathscr{E}_{j_{1}} \otimes \mathscr{E}_{j_{2}} \otimes \mathscr{E}_{I_{3}}
\]

является элементом $\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{l_{1}} \otimes \mathscr{E}_{l_{2}} \otimes \mathscr{E}_{j_{3}} ; \mathscr{E}_{1_{1}} \otimes \mathscr{E}_{i_{2}} \otimes \mathscr{E}_{l_{3}}\right)^{a}$, который мы обозначим через $\left(0_{1} o_{1} o_{2} j_{3}\right)\left(j_{1} j_{2} j_{2} j_{3}\right)$.
Вигнер доказал (см. [42] и уравнение (24.18b) книги [12], цитированной во введении), что
\[
\int_{S U(2)} D_{j_{1}}(g) \otimes D_{j_{2}}(g) \otimes D_{j_{3}}(g) d \mu(g)=\left(\stackrel{\circ}{j}_{1}, \stackrel{\circ}{j}_{2}, \stackrel{\circ}{j}_{3}\right)\left(j_{\mathrm{o}}, j_{2}, j_{3}\right),
\]

где $d \mu(g)$ – инвариантная мера на группе $S U(2)$, такая, что $\int d \mu(g)=1$.

Отсюда с точностью до знака можно также определить, какой элемент одномерного векторного пространства $\left(\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{2} \otimes \mathscr{E}_{3}\right)^{G}$ выбран физиками для величины $\left(j_{1}, \dot{j}_{2}, j_{3}\right)$.

Конечно, у тензоров часть индексов может быть свернута (что обозначается знаком $X$ ); например, $(\stackrel{\circ}{a}, \stackrel{\circ}{b}, \stackrel{c}{\times})(c p q)-$ составной гомоморфизм
Обозначения Вигнера очень удобны!
Заметим, что уравнение (1.40) дает

где $\chi_{l}$-характер представления $D_{j}$.
При больших значениях $j$ для компонент этих тензоров в описанном выше базисе существуют приближенные асимптотические выражения (см. библиографию в работе [42]). Редже (его статья перепечатана в сборнике [42]) для множества метрии $\sim \operatorname{Aut}\left(S(3) \times S(3)\right.$ ), состоящую из 72 элементов ${ }^{1}$ ).

В 1941 г. Рака́ и Вигнер (обе статьи перепечатаны в [42]) ввели „6j-символы“ [численные функции шести НП группы $\left.S U(2)]^{2}\right)$.
Рассмотрим последовательность $S U(2)$-гомоморфизмов
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{e} \xrightarrow{\left(\begin{array}{lll}
0 & f & a \\
e & 0
\end{array}\right)} \mathscr{E}_{f} \otimes \mathscr{E}_{a} \xrightarrow{I_{f} \otimes\left(\begin{array}{lll}
0 & b & c \\
a & 0 & 0
\end{array}\right)} \mathscr{E}_{f} \otimes \mathscr{E}_{b} \otimes \mathscr{E}_{c} \xrightarrow{\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & d \\
f & b & 0
\end{array}\right) \otimes I_{c}} \\
\rightarrow \mathscr{E}_{d} \otimes \mathscr{E}_{c} \xrightarrow{\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & e \\
a & d & 0
\end{array}\right)} \mathscr{E}_{e} . \\
\end{array}
\]
1) Бо́льшая часть этих симметрий возникает естественно, см. статью Баргмана в [42]; относительно остальных симметрий см. работу Фламанда [44].
2) Часто их называют \”recoupling coefficients\”. Они являются стандартными.
Поскольку $\mathscr{E}_{e}$ есть пространство НП, этот $S U(2)$-гомоморфизм должен быть кратен тождественному оператору на $\mathscr{E}_{e}$.

Его след определяет (с точностью до знака, который я здесь не гарантирую) $6 j$-символ
\[
\left\{\begin{array}{lll}
a & b & c \\
d & e & f
\end{array}\right\}=(-1)^{b+c-d+e+f}\left(\begin{array}{ccc}
\times & f & a \\
e & \times & \times
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
\times & b & c \\
a & \times & \times
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
\times & \times & d \\
f & b & \times
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
\times & x & e \\
a & c & \times
\end{array}\right) .
\]

Вигнер показал, что для фиксированных значений $a, b, d$ и $e$, $\left\{\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f\end{array}\right\}$-матрица, ортогональная по индексам $c$ и $f$. Он также доказал соотношение (см. книгу [12], гл. 24).
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{lll}
a & b & c \\
d & e & f
\end{array}\right\}^{2}= \\
\quad=\iiint \chi_{a}(r) \chi_{b}(s) \chi_{c}(t) \chi_{d}\left(s t^{-1}\right) \chi_{e}\left(t r^{-1}\right) \chi_{f}\left(r s^{-1}\right) d \mu(r) d \mu(s) d \mu(t) .
\end{array}
\]

Асимптотически эта величина является быстро осциллирующей функцией нескольких переменных, но при усреднении по некоторой области одного аргумента, в том случае когда $a, b, c, d$, e и $f$ представляют собой длины сторон тетраэдра, принимает асимптотическое значение
\[
\left\{\begin{array}{lll}
a & b & c \\
d & e & f
\end{array}\right\}^{2} \rightarrow(24 \pi V)^{-1}
\]

где $V$-объем этого тетраэдра.
Понцано и Редже (первая статья сборника [43]) выдвинули гипотезу о точных асимптотических формулах для величин $\left\{\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f\end{array}\right\}$ вне зависимости от того, могут или не могут быть величины $a, b, c, d$, e и $f$ длинами сторон тетраэдра.

Кроме того, Редже нашел (см. статью в [42]) наибольшую линейную группу, действующую на $Z$-модуле, порожденном символами $a / 2, b / 2, c / 2, d / 2, e / 2, f / 2$, и имеющую величину $\left\{\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f\end{array}\right\}$ в качестве инварианта. Это группа $S(3) \times S(4)$, в нее входит также группа перестановок столбцов. Очень хорошие и симметричные выражения для символов $\left(j_{1} j_{2} j_{3}\right)$ и $\left\{\begin{array}{lll}j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6}\end{array}\right\}$ можно найти в статье Баргмана (последняя статья в [43]), где в качестве пространств НП группы $S U(2)$ были использованы гильбертовы пространства аналитических функций.