Дадим краткий обзор некоторых результатов теории неприводимых представлений (НП) групп $U(n)$ и $S(n)$. Этими результатами мы будем часто пользоваться в наших лекциях. НП группы $S(n)$ определяется разбиением числа $n$ на неотрицательные целые числа
\[
\left[\lambda_{1}^{\alpha_{1}}, \ldots, \lambda_{i}^{\alpha_{i}}, \ldots, \lambda_{k}^{\alpha_{k}}\right], \quad \lambda_{1}>\lambda_{2}>\ldots>\lambda_{k}>0
\]

и
\[
\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} \lambda_{i}=n .
\]

Существует более наглядное изображение разбиения $\left[\lambda_{1}^{a_{1}} \ldots \lambda_{k}^{a_{k}}\right]$, называемое схемой Юнга. Это фигура из $n$ клеток, содержащая $\alpha_{1}$ строк по $\lambda_{1}$ клеток, $\alpha_{2}$ строк по $\lambda_{2}$ клеток и т. д.
Пример разбиения $\left[\lambda_{i}^{\alpha_{i}}\right]$ :
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{1}=9, & \alpha_{1}=1, \\
\lambda_{2}=5, & \alpha_{2}=3,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{3}=3, \quad \alpha_{3}=2, \\
\lambda_{4}=1, \quad \alpha_{4}=1 \\
n=9+(3 \times 5)+(2 \times 3)+1=31 .
\end{array}
\]

Схема Юнга содержит качественную информацию о НП; чем более она вытянута в горизонтальном (вертикальном) направлении, тем более симметричны (антисимметричны) векторы представления.
1) Представления групп $U(n)$ и $S(n)$ подробно рассмотрены в гл. V книги Вейля [39]. Соответствующий обзор для физиков был сделан Ициксоном и Науенбергом [40].
Существуют лишь два одномерных НП группы $S(n)$ :

Представления группы $S(n)$ контраградиенты сами себе. С каждым НП группы $S(n)$ мы можем связать дополнительное представление
\[
\left[\lambda_{i}^{\alpha_{i}}\right]^{c}=\left[\hat{\lambda}_{i}^{\alpha_{i}}\right], \quad \text { где } \quad \hat{\lambda}_{i}=\sum_{j=1}^{k+1-f} \alpha_{j}, \quad \hat{\alpha}_{i}=\lambda_{k-i+1}-\lambda_{k-i+2} .
\]

Схема Юнга этого представления получается применением к схеме Юнга исходного представления операции симметрии относительно диагонали.

Напомним, что тензорное произведение двух НП содержит представление $[n]$ (соответственно $\left[1^{n}\right]$ ) только в том случае, когда два НП эквивалентны (соответственно дополнительны друг другу). В этом случае оно содержит представление $[n]$ (соответственно $\left[1^{n}\right]$ ) только один раз.

Мы будем также использовать для линейных унитарных представлений группы $S(n)$ сокращенное обозначение [ ] $\lambda$.

Назовем факториальным представлением представление, являющееся прямой суммой эквивалентных НП.
Пусть $\mathscr{H}^{(1)}$ – гильбертово пространство, а
\[
\mathscr{G}^{(n)}=\stackrel{n}{\otimes} \mathscr{H}^{(1)}=\mathscr{H}^{(1)} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}^{(1)}(n \text { множителей }) .
\]

При перестановке множителей группа $S(n)$ действует на $\mathscr{C}^{(n)}$ линейно. Соответствующее представление, которое мы обозначим [ ] $]_{\mathscr{E}}$, каноническим образом разлагается на факториальные представления. Обозначим через $\mathscr{H}_{\mid}^{(n)}{ }_{\lambda}$ подпространство $\mathscr{H}^{(n)}$, на котором действует факториальное представление $\oplus[]_{\lambda}$.

Например, пространства $\mathscr{H}_{\left[1^{n}\right]}^{(n)}$ и $\mathscr{\mathscr { C }}_{[n]}^{(n)}$ (обозначаемые также $\wedge^{n} \mathscr{H}^{(1)}$ и $\left.\bigvee^{n} \mathscr{G}^{(1)}\right)$-это пространства тензоров на $\mathscr{H}^{(1)}$ ранга $n$, полностью антисимметричных и симметричных.

Предположим, что $\operatorname{dim} \mathscr{H}^{(1)}=k$ – конечное число. Тогда группа $U(k)$, действующая на $\mathscr{H}^{(1)}$, действует и на $\mathscr{H}^{(n)}$ как
$\stackrel{n}{\otimes} U(k)$. Разлагая это линейное представление группы $U(k)$ на факториальные представления, получаем те же самые подпространства $\mathscr{H}_{[}^{(n)}{ }_{\lambda}$. Поэтому тем же самым символом [ ] обозначить соответствующее НП группы $U(k)$.
Суммируя, имеем

где $u_{\lambda}$-размерность НП [ ] $]_{\lambda}$ группы $U(k), s_{\lambda}$ – размерность НП [ ]

Эта теорема является лейтмотивом книги Вейля, цитированной во введении, и неявно подразумевается в двух других книгах. Если $n>k$, то НП группы $U(k)$ соответствуют лишь те разбиения числа $n$, для которых $\Sigma \alpha_{i} \leqslant k$, т. е. схемы Юнга для НП группы $U(k)$ могут иметь произвольное число клеток, но число строк не должно превышать $k$. При этом $n=1$, соответствует $k$-мерному (фундаментальному) представлению группы $U(k)$, а $n=0$ – тривиальному (одномерному) представлению. Например, представление группы $U(2)$ задается разбиением $\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}\right]$, где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ – целые числа и $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant 0$.

Представление, контраградиентное представлению $\left[\lambda_{i}^{a_{i}}\right]$, имеет вид $\left[\lambda_{i}^{\alpha_{i}^{\prime}}\right]$, где $\sum \alpha_{i}<k, \quad \alpha_{1}^{\prime}=k-\Sigma \alpha_{i}, \quad \lambda_{1}^{\prime}=\lambda_{1}, \quad \alpha_{j}^{\prime}=\alpha_{k+2-1}$, $\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}-\lambda_{k+1-i}, i, j>1$. Короче говоря, схема Юнга $\left[\lambda_{i}^{a_{i}^{\prime}}\right]$, будучи перевернута, дополняет схему $\left[\lambda_{i}^{\alpha_{i}}\right]$ до прямоугольника из $k$ строк по $\lambda_{1}$ клеток.

Представления группы $\boldsymbol{S U}(\boldsymbol{n})$. При ограничении НП группы $U(k)$ на подгруппу $S U(k)$ получается НП группы $S U(k)$. При этом те НП группы $U(k)$, схемы Юнга которых отличаются слева лишь на прямоугольный блок из столбцов длины $k$, дают при ограничении эквивалентные НП группы $S U(k)$. С учетом этого замечания можно однозначно задавать НП группы $S U(k)$ схемами Юнга. При этом мы получаем все неэквивалентные НП группы $S U(k)$.

Пример. Класс эквивалентности НП группы $S U(2)$, получающийся при ограничении НП $\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}\right]$ группы $U(2)$, задается значением целого числа ( $\lambda_{1}-\lambda_{2}$ ). Таким образом, его схема Юнга может быть представлена в виде горизонтальной строки из $\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)$ клеток. Для НП группы $S U(2)$ обычно используется символ
\[
D_{j} \quad \text { с } j=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right),
\]

где $j$ называется спином представления. Размерность этого представления равна $2 j+1$. Оператор Казимира для этого представления при выборе нормировки, используемой физиками, имеет вид $j(j+1) I$ и равен удвоенному оператору, определенному уравнением (1.9). (Это связано с тем, что физики выбирают в качестве формы Киллинга – Қартана $1 / 2 \mathrm{Sp}[D(a) D(b)]$.)
Напомним также известное разложение
\[
D_{j_{1}} \otimes D_{j_{2}}=\bigoplus_{j=\left|j_{1}-j_{2}\right|}^{j_{1}+j_{2}} D_{j} .
\]

Заметим, что все представления группы $S U(2)$ контраградиентны сами себе.

Представления присоединенной группы $\boldsymbol{S U}(\boldsymbol{n}) / \boldsymbol{Z}_{n}$. Центром группы $S U(k)$ является $Z_{k}$ – циклическая группа $k$ элементов, так что присоединенной группой группы $S U(k)$ является группа $S U(k) / Z_{k}$. Представлениями этой группы являются те представления группы $S U(k)$, схемы Юнга которых содержат число клеток, кратное $k$. Например, группа $S U(2) / Z_{2}=S O(3)$, а ее представления – это $D_{j}$ с целыми значениями $j$. Соответствующие схемы Юнга содержат только одну строку из четного числа $(2 j)$ клеток.

Присоединенное представление группы $S U(n)$ или ее присоединенная группа – это представление, действующее в пространстве ее алгебры Ли. Оно имеет размерность $n^{2}-1$, задается разбиением $\left[2,1^{n-2}\right]$ и эквивалентно контраградиентному представлению.

Замечание относительно произвольной группы. Пусть $\mathscr{H}^{(1)}$ есть пространство линейного унитарного представления (оно может быть приводимым и $\operatorname{dim} \mathscr{H}^{(1)}$ может равняться бесконечности) для произвольной группы. Как мы видели, на пространстве $\mathscr{H}^{(n)}=\bigotimes^{n} \mathscr{H}^{(1)}$ действуют группы $S(n)$ и $G$. Подпространства $\left.\mathscr{H}_{[}^{(n)}\right]_{\lambda}$ примарных представлений группы $S(n)$, вообще говоря, не являются подпространствами примарных представлений группы $G$. Физикам было бы интересно познакомиться с методами выяснения природы $G$-представлений, действующих в различных пространствах $\mathscr{H}_{I_{\lambda}}^{(n)}$, особенно в некоторых случаях, например для $\mathscr{H}_{[n]}^{(n)}$ (бозоны) и $\mathscr{H}_{\left[1^{n}\right]}^{(n)}$ (фермионы). В качестве примера приведем результат, доказанный $O$. Бором [41].

Пусть $G=S O(3), \mathscr{H}^{(1)}-$ пятимерное гильбертово пространство представления $D_{2}$. Для любого $n$ представление группы $S O(3)$, действующее в пространстве $\mathscr{H}_{[n]}^{(n)}=\bigvee^{n} \mathscr{H}^{(1)}$, при разложении в прямую сумму НП не содержит представления $D_{1}$. (Физически ядро со спином 0 в основном состоянии не имеет состояний со спином 1 , соответствующих коллективным возбуждениям.)

Можно добавить к этому, что если НП группы $G$ входит в $\mathscr{H}^{(n)}$ только один раз, то оно действует либо в пространстве $\mathscr{H}_{[n]}^{(n)}$, либо в пространстве $\mathscr{H}_{\left[1^{n}\right]}^{(n)}$.