Для описания мира адронов использовались и симметрии более высокие, чем симметрия $S U(3)$. Конечно, эти симметрии являются более грубыми, но, как мы увидим, они еще могут быть полезными. Симметрия $S U(3) \times S U(3)$ — это симметрия, которая становится точной в случае пренебрежения массами $0^{-}$-мезонов. Заметим, что, считая эти массы равными нулю, мы берем на себя почти такую же смелость, как и утверждая, что они равны между собой, что мы уже делали для группы $S U(3)$. На самом же деле приближение, в котором пренебрегают только массой $\pi$-мезона, гораздо лучше, чем приближение $S U$ (3)-симметрии ( $m_{\pi}=140 \mathrm{M}$ э , что меньше, чем разница масс $0^{-}$-мезонов). Это приближение соответствует подгруппе $S U(2) \times$ $\times S U(2) \times U(1)$ группы $S U(3) \times S U(3)$.

На фиг. 5.3 приводится схема групп симметрии, рассмотренных в физике адронов, но в этом разделе мы ограничимся рассмотрением группы $S U(3) \times S U(3)$ и ее подгрупп. (См. также лекции О’Райферти [37] о высших симметриях.)

На уровне средней линии (фиг. 5.3) появляется новая характерная особенность — смешение внутренней симметрии и пространственно-временно́й инвариантности. Оно очень мало для $S U(3) \times S U(3)$, так как это относится только к оператору четности. В рассматриваемом случае полная группа симметрии является полупрямым произведением
\[
\left(\mathscr{P}_{0} \times S U_{3} \times S U_{3}\right) \square Z_{2}(P) .
\]

Здесь $Z_{2}(P)$ действует обычным образом на $\mathscr{P}_{0}$ и переставляет два $S U_{3}$-множителя в группе $S U_{3} \times S U_{3}$. Чтобы различать такие $S U$ (3)-множители, обозначи их $S U_{3}^{(+)} \times S U_{3}^{(-)}$. В физической
Фиг. 5.3. Группы симметрии и их размерности.

Схема групп симметрин, используемых в физихе адронов. Стрелки означают вложение в качестве подгруппы.

литературе они известны как киральные группы (土). Группа (5.49) представляет основу для понимания связи оператора четности $P$ с различного рода взаимодействиями. Это становится ясным из следующих рассуждений.

Диагональная подгруппа $S U(3)^{d} \subset S U_{3}^{(+)} \times S U_{3}^{(-)}$есть группа инвариантности $S U(3)$ (разд. 5.1-5.3).

Обозначим вектор 16 -мерного векторного пространства $\mathscr{E}_{16}$ алгебры Ли $S U(3) \times S U(3)$ прямой суммой двух векторов
\[
\tilde{a}=a_{+} \oplus a_{-},
\]

где $a_{ \pm}$принадлежит $S U_{3}^{( \pm)}$-октету.
В терминах октетного скалярного произведения инвариантное эвклидово скалярное произведение (задаваемое формой Киллинга — Қартана) имеет вид
\[
(\tilde{a}, \tilde{b})=\left(a_{+} \oplus a_{-}, b_{+} \oplus b_{-}\right)=\frac{1}{2}\left(a_{+}, b_{+}\right)+\frac{1}{2}\left(a_{-}, b_{-}\right) .
\]
Закон композиции в алгебре Ли (используем для него знак А) имеет вид
\[
\tilde{a} \wedge \tilde{b}=\left(a_{+} \wedge b_{+}\right) \oplus\left(a_{-} \wedge b_{-}\right) .
\]

Поскольку $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{16} \vee \mathscr{E}_{16}, \mathscr{E}_{16}\right)^{S U(3)} \times S U(3)=1$, то существует единственная каноническая симметрическая алгебра
\[
\tilde{a} \vee \tilde{b}=\left(a_{+} \vee b_{+}\right) \oplus\left(a_{-} \vee b_{-}\right) .
\]

Свойство ковариантности электромагнитного и слабого взаимодействий наиболее естественно распространяется на инвариантность $S U(3) \times S U(3)$ при следующем предположении: электрический ток $j_{\mu}(x)$, векторная часть $v_{\mu}^{(s)}(x)$, аксиальная векторная часть $a_{\mu}^{(\rho)}(x)$ (заряженного при $8= \pm 1$ ) слабого адронного тока $h_{\mu}^{(\varepsilon)}(x)=v_{\mu}^{(\varepsilon)}(x)-a_{\mu}^{(\varepsilon)}(x)$ являются образом одного и того же $\mathscr{E}_{16}$ тензорного оператора, который мы впредь будем обозңачать $h_{\mu}(x, \tilde{a})$. При этом векторные токи соответствуют $S U(3)^{d}$, а аксиально-векторный ток соответствует антидиагонали в группе $S U(3) \times S U(3)$. Слабый ток имеет чистую киральность (-). В явном виде электромагнитный ток равен
\[
\frac{2}{\sqrt{3}} e h_{\mu}(x ;-(q \oplus q)) .
\]

Слабые (заряженные) токи равны
\[
\frac{G}{\sqrt{2}}\left(h_{\mu}\left(x ; 0 \oplus c_{1}\right) \pm i h_{\mu}\left(x ; 0 \oplus c_{2}\right)\right) .
\]

Слабое адронное (не лептонное) взаимодействие, записанное в форме Радикати, .имеет вид
\[
\begin{aligned}
\frac{G^{2}}{2} \int\left(h_{\mu}(x) \vee h^{\mu}(x)\right)(c) d^{3} \mathbf{x} & = \\
& =\frac{G^{2}}{2} \int\left(h_{\mu}(x) \vee h^{\mu}(x)(0 \oplus c) d^{3} x .\right.
\end{aligned}
\]

Генераторы группы $S U(3) \times S U(3)$ даотся пространственным интегралом тока, т. е.
\[
a \rightarrow F(\tilde{a})=\int h_{0}(x ; \tilde{a}) d^{3} \mathbf{x},
\]

который в свою очередь есть представление (с точностью до $i$ ) алгебры Ли $S U(3) \times S U(3)$ в физическом гильбертовом пространстве
\[
[F(\tilde{a}), F(\tilde{b})]=i F(\tilde{a} \wedge \tilde{b}) .
\]

В частом случае $\mathscr{E}_{16}$-тензорного оператора $h_{\mu}(x, \tilde{a})$
\[
\left[F(\tilde{a}), h_{\mu}(x, \tilde{b})\right]=i h_{\mu}(x, \tilde{a} \wedge \tilde{b}),
\]
что согласуется с уравнением (1.9). В том приближении, когда $S U(3) \times S U(3)$ является точной симметрией $\partial_{\mu} h^{\mu}(x, \tilde{a})=0$, оператор $F(\tilde{a})$ полностью определен. Но когда симметрия $S U(3) \times$ $X S U(3)$ нарушается, возникает трудность определения самосопряженного оператора $\left.F(\tilde{a})^{1}\right)$.
Уравнение
\[
\tilde{a} \vee \tilde{a}=\lambda \tilde{a}
\]

для единичных векторов $€ S_{15} \subset \mathscr{E}_{16}$ имеет два типа решений. Один тип — это $1 / \sqrt{2} \tilde{a}= \pm c \oplus 0$ или $\pm 0 \oplus c$, где $c$ — нормированный положительный псевдокорень, а $\lambda=\mp \sqrt{2 / 3}$. Это множество состоит из двух минимальных стратов, каждый из которых в свою очередь состоит из двух орбит. Таким образом, каждая из четырех орбит является критической орбитой для любой гладкой $S U(3) \times S U(3)$-инвариантной функции на $S_{15}$, единичной сфере пространства $\mathscr{E}_{16}$. Стабилизаторами для этих двух стратов (с точностью до сопряжения) являются $S U_{3}^{(+)} \times$ $\times U_{c}^{(-)}(2)$ и $U_{c}^{(+)}(2) \times S U^{(-)}(3)$. Решение другого типа представляет собой совокупность векторов $\pm\left(q_{1} \oplus q_{2}\right)$, образующих две орбиты, которые входят в страт, состоящий из четырех отдельных орбит $\left( \pm q_{1} \oplus \mp q_{2}\right.$ для двух других орбит). Их стабилизатором является $\left(U_{q_{1}}(2) \times U_{q_{1}}(2)\right)_{\square} Z_{2}$. Псевдокорни $\pm(q \oplus q)$ диагональной группы $S U^{(d)}(3)$ лежат на орбитах, в то время как псевдокорни антидиагонали ( $\pm q \oplus \mp q$ ) находятся вне орбит. Это имеет непосредственное отношение к четности.

Весьма примечательнӧ, что направление электрического заряда — $(q \oplus q)$ и направление слабого гиперзаряда ( $0 \oplus c$ ) определяются двумя решениями (по одному решению каждого типа) уравнения (5.58).
$S U(3) \times S U(3)$-инвариантность нарушается не только электромагнитным и слабым взаимодействиями, но и полусильным $U_{2}$-инвариантным взаимодействием. Существуют два разных интересных промежуточных приближения симметрии сильных взаимодействий между $U_{2}$ и $S U(3) \times S U(3)$. Они соответствуют четвертой строке фиг. 5.3. Это группа $S U(3)$, уже изученная ранее, и группа $S U(2) \times S U(2) \times U_{1}$, из которой следует правило сумм Адлера — Вайсбергера. В обоих случаях гамильтониан $H_{\text {сильв }}$ в хорошем приближении является суммой
\[
H_{\text {сильн }}=H_{0}+H_{1}(\underset{\sim}{m}),
\]
1) См. лекции О’Paйферти [37].
где оператор $H_{0}$ инвариантен относительно $S U(3) \times S U(3)$, а $H_{\mathrm{I}}(m)$ является образом $\underset{\sim}{m} S U(3) \times S U(3)$-теңзорного оператора для представления $(3, \overline{3}) \otimes(\overline{3}, 3)$ (вещественно неприводимого). Два соответствующих направления $m$ для этих двух приближений вновь являются идемпотентамй или нильпотентами канонической симметрической алгебры. За подробным объяснением прошу обращаться к препринту моей и Радикати работы. Это 18-мерное неприводимое вещественное представление $S U(3) \times$ $\times S U(3)$ в пространстве $\mathscr{E}_{18}$ (которое обычно возникает в модели кварков) таково, что $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{18} \vee \mathscr{E}_{18}, \mathscr{E}_{18}\right)^{S U(3) \times S U(3)}=1$. Таким образом, существует единственная каноническая симметрическая (вещественная) алгебра в $\mathscr{E}_{18}$, группой автоморфизмов которой является группа $S U(3) \times S U(3)$. Закон композиции в этой алгебре обозначим $\underset{\sim}{m_{1}}$ Т $\underset{\sim}{m_{2}}$.
Уравнение
\[
\underset{\sim}{m} \top \underset{\sim}{m}=\lambda m
\]

имеет только два типа решеңий (для векторов на инвариантной единичной сфере $S_{17} \subset \mathscr{E}_{18}$ ), принадлежацих к двум минимальным стратам. Одному решению с $|\lambda|=\frac{2}{3}$ соответствует стабилизатор $S U^{d}(3)$. Другому с $\lambda=0$ соответствует $S U_{y}^{(+)}(2) \times$ $\times S U_{y}^{-}(2) \times U_{y}^{d}(1)$.

Согласно теореме 1 , этот последний случай ( $\lambda=0$ ) соответствует критической орбите для всех $S U(3) \times S U(3)$-инвариантных функций на $S_{17}$ [единичные векторы НП $(3, \overline{3}) \oplus(\overline{3}, 3)$ ]. Такая орбита является также минимальным стратом с размерностью 9. Страт, соответствующий $S U(3)^{d}$, тоже минимален: он представляет собой 9-мерное связное подмногообразие (многообразия $S_{17}$ ), состоящее из 8 -мерных орбит. Из теоремы 2 следует, что каждая инвариантная функция имеет в этом страте по крайней мере две критические орбиты. Для всех функций от $(X, X \top X$ ) двумя такими орбитами являются $\dot{X} \top X=$ $= \pm 2 / 3 X$.