Для описания мира адронов использовались и симметрии более высокие, чем симметрия $SU(3)$. Конечно, эти симметрии являются более грубыми, но, как мы увидим, они еще могут быть полезными. Симметрия $SU(3)\times SU(3)$ — это симметрия, которая становится точной в случае пренебрежения массами $0^{-}$-мезонов. Заметим, что, считая эти массы равными нулю, мы берем на себя почти такую же смелость, как и утверждая, что они равны между собой, что мы уже делали для группы $SU(3)$. На самом же деле приближение, в котором пренебрегают только массой $\pi$-мезона, гораздо лучше, чем приближение $SU$ (3)-симметрии ( $m_{\pi }=140\mathrm{M}$ э , что меньше, чем разница масс $0^{-}$-мезонов). Это приближение соответствует подгруппе $SU(2)\times$ $\times SU(2)\times U(1)$ группы $SU(3)\times SU(3)$.

На фиг. 5.3 приводится схема групп симметрии, рассмотренных в физике адронов, но в этом разделе мы ограничимся рассмотрением группы $SU(3)\times SU(3)$ и ее подгрупп. (См. также лекции О’Райферти [37] о высших симметриях.)

На уровне средней линии (фиг. 5.3) появляется новая характерная особенность — смешение внутренней симметрии и пространственно-временно́й инвариантности. Оно очень мало для $SU(3)\times SU(3)$, так как это относится только к оператору четности. В рассматриваемом случае полная группа симметрии является полупрямым произведением
$$({\mathcal{P}}_0\times S{U}_3\times S{U}_3)\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}{Z}_2(P).$$

Здесь $Z_2(P)$ действует обычным образом на ${\mathcal{P}}_0$ и переставляет два $S{U}_3$-множителя в группе $S{U}_3\times S{U}_3$. Чтобы различать такие $SU$ (3)-множители, обозначи их $S{U}_3^{(+)}\times S{U}_3^{(-)}$. В физической
Фиг. 5.3. Группы симметрии и их размерности.

Схема групп симметрин, используемых в физихе адронов. Стрелки означают вложение в качестве подгруппы.

литературе они известны как киральные группы (土). Группа (5.49) представляет основу для понимания связи оператора четности $P$ с различного рода взаимодействиями. Это становится ясным из следующих рассуждений.

Диагональная подгруппа $SU(3{)}^d\subset S{U}_3^{(+)}\times S{U}_3^{(-)}$есть группа инвариантности $SU(3)$ (разд. 5.1-5.3).

Обозначим вектор 16 -мерного векторного пространства ${\mathcal{E}}_{16}$ алгебры Ли $SU(3)\times SU(3)$ прямой суммой двух векторов
$$\tilde{a}=a_{+}\oplus a_{-},$$

где $a_{\pm }$принадлежит $S{U}_3^{(\pm )}$-октету.
В терминах октетного скалярного произведения инвариантное эвклидово скалярное произведение (задаваемое формой Киллинга — Қартана) имеет вид
$$(\tilde{a},\tilde{b})=(a_{+}\oplus a_{-},b_{+}\oplus b_{-})=\frac{1}{2}(a_{+},b_{+})+\frac{1}{2}(a_{-},b_{-}).$$
Закон композиции в алгебре Ли (используем для него знак А) имеет вид
$$\tilde{a}\wedge \tilde{b}=(a_{+}\wedge b_{+})\oplus (a_{-}\wedge b_{-}).$$

Поскольку $\dim \mathrm{Hom}{({\mathcal{E}}_{16}\vee {\mathcal{E}}_{16},{\mathcal{E}}_{16})}^{SU(3)}\times SU(3)=1$, то существует единственная каноническая симметрическая алгебра
$$\tilde{a}\vee \tilde{b}=(a_{+}\vee b_{+})\oplus (a_{-}\vee b_{-}).$$

Свойство ковариантности электромагнитного и слабого взаимодействий наиболее естественно распространяется на инвариантность $SU(3)\times SU(3)$ при следующем предположении: электрический ток $j_{\mu }(x)$, векторная часть $v_{\mu }^{(s)}(x)$, аксиальная векторная часть $a_{\mu }^{(\rho )}(x)$ (заряженного при $8=\pm 1$ ) слабого адронного тока $h_{\mu }^{(\epsilon )}(x)=v_{\mu }^{(\epsilon )}(x)-a_{\mu }^{(\epsilon )}(x)$ являются образом одного и того же ${\mathcal{E}}_{16}$ тензорного оператора, который мы впредь будем обозңачать $h_{\mu }(x,\tilde{a})$. При этом векторные токи соответствуют $SU(3{)}^d$, а аксиально-векторный ток соответствует антидиагонали в группе $SU(3)\times SU(3)$. Слабый ток имеет чистую киральность (-). В явном виде электромагнитный ток равен
$$\frac{2}{\sqrt{3}}e{h}_{\mu }(x;-(q\oplus q)).$$

Слабые (заряженные) токи равны
$$\frac{G}{\sqrt{2}}(h_{\mu }(x;0\oplus c_1)\pm i{h}_{\mu }(x;0\oplus c_2)).$$

Слабое адронное (не лептонное) взаимодействие, записанное в форме Радикати, .имеет вид
$$\begin{array}{rl}\frac{G^2}{2}\int (h_{\mu }(x)\vee h^{\mu }(x))(c)d^3\mathbf{x}& =\\ & =\frac{G^2}{2}\int (h_{\mu }(x)\vee h^{\mu }(x)(0\oplus c)d^{3}x.\end{array}$$

Генераторы группы $SU(3)\times SU(3)$ даотся пространственным интегралом тока, т. е.
$$a\to F(\tilde{a})=\int h_0(x;\tilde{a})d^3\mathbf{x},$$

который в свою очередь есть представление (с точностью до $i$ ) алгебры Ли $SU(3)\times SU(3)$ в физическом гильбертовом пространстве
$$[F(\tilde{a}),F(\tilde{b})]=iF(\tilde{a}\wedge \tilde{b}).$$

В частом случае ${\mathcal{E}}_{16}$-тензорного оператора $h_{\mu }(x,\tilde{a})$
$$[F(\tilde{a}),h_{\mu }(x,\tilde{b})]=i{h}_{\mu }(x,\tilde{a}\wedge \tilde{b}),$$
что согласуется с уравнением (1.9). В том приближении, когда $SU(3)\times SU(3)$ является точной симметрией ${\partial }_{\mu }{h}^{\mu }(x,\tilde{a})=0$, оператор $F(\tilde{a})$ полностью определен. Но когда симметрия $SU(3)\times$ $XSU(3)$ нарушается, возникает трудность определения самосопряженного оператора $F(\tilde{a}{)}^1)$.
Уравнение
$$\tilde{a}\vee \tilde{a}=\lambda \tilde{a}$$

для единичных векторов $\text{Math input error}$ имеет два типа решений. Один тип — это $1/\sqrt{2}\tilde{a}=\pm c\oplus 0$ или $\pm 0\oplus c$, где $c$ — нормированный положительный псевдокорень, а $\lambda =\mp \sqrt{2/3}$. Это множество состоит из двух минимальных стратов, каждый из которых в свою очередь состоит из двух орбит. Таким образом, каждая из четырех орбит является критической орбитой для любой гладкой $SU(3)\times SU(3)$-инвариантной функции на $S_{15}$, единичной сфере пространства ${\mathcal{E}}_{16}$. Стабилизаторами для этих двух стратов (с точностью до сопряжения) являются $S{U}_3^{(+)}\times$ $\times U_c^{(-)}(2)$ и $U_c^{(+)}(2)\times S{U}^{(-)}(3)$. Решение другого типа представляет собой совокупность векторов $\pm (q_1\oplus q_2)$, образующих две орбиты, которые входят в страт, состоящий из четырех отдельных орбит $(\pm q_1\oplus \mp q_2$ для двух других орбит). Их стабилизатором является ${(U_{q_1}(2)\times U_{q_1}(2))}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}}{Z}_2$. Псевдокорни $\pm (q\oplus q)$ диагональной группы $S{U}^{(d)}(3)$ лежат на орбитах, в то время как псевдокорни антидиагонали ( $\pm q\oplus \mp q$ ) находятся вне орбит. Это имеет непосредственное отношение к четности.

Весьма примечательнӧ, что направление электрического заряда — $(q\oplus q)$ и направление слабого гиперзаряда ( $0\oplus c$ ) определяются двумя решениями (по одному решению каждого типа) уравнения (5.58).
$SU(3)\times SU(3)$-инвариантность нарушается не только электромагнитным и слабым взаимодействиями, но и полусильным $U_2$-инвариантным взаимодействием. Существуют два разных интересных промежуточных приближения симметрии сильных взаимодействий между $U_2$ и $SU(3)\times SU(3)$. Они соответствуют четвертой строке фиг. 5.3. Это группа $SU(3)$, уже изученная ранее, и группа $SU(2)\times SU(2)\times U_1$, из которой следует правило сумм Адлера — Вайсбергера. В обоих случаях гамильтониан $H_{\text{сильв }}$ в хорошем приближении является суммой
$$H_{\text{сильн }}=H_0+H_1(\underset{\sim }{m}),$$
1) См. лекции О’Paйферти [37].
где оператор $H_0$ инвариантен относительно $SU(3)\times SU(3)$, а $H_{\mathrm{I}}(m)$ является образом $\underset{\sim }{m}SU(3)\times SU(3)$-теңзорного оператора для представления $(3,\bar{3})\otimes (\bar{3},3)$ (вещественно неприводимого). Два соответствующих направления $m$ для этих двух приближений вновь являются идемпотентамй или нильпотентами канонической симметрической алгебры. За подробным объяснением прошу обращаться к препринту моей и Радикати работы. Это 18-мерное неприводимое вещественное представление $SU(3)\times$ $\times SU(3)$ в пространстве ${\mathcal{E}}_{18}$ (которое обычно возникает в модели кварков) таково, что $\dim \mathrm{Hom}{({\mathcal{E}}_{18}\vee {\mathcal{E}}_{18},{\mathcal{E}}_{18})}^{SU(3)\times SU(3)}=1$. Таким образом, существует единственная каноническая симметрическая (вещественная) алгебра в ${\mathcal{E}}_{18}$, группой автоморфизмов которой является группа $SU(3)\times SU(3)$. Закон композиции в этой алгебре обозначим $\underset{\sim }{m_1}$ Т $\underset{\sim }{m_2}$.
Уравнение
$$\underset{\sim }{m}\mathrm{\top }\underset{\sim }{m}=\lambda m$$

имеет только два типа решеңий (для векторов на инвариантной единичной сфере $S_{17}\subset {\mathcal{E}}_{18}$ ), принадлежацих к двум минимальным стратам. Одному решению с $|\lambda |=\frac{2}{3}$ соответствует стабилизатор $S{U}^d(3)$. Другому с $\lambda =0$ соответствует $S{U}_y^{(+)}(2)\times$ $\times S{U}_y^{-}(2)\times U_y^d(1)$.

Согласно теореме 1 , этот последний случай ( $\lambda =0$ ) соответствует критической орбите для всех $SU(3)\times SU(3)$-инвариантных функций на $S_{17}$ [единичные векторы НП $(3,\bar{3})\oplus (\bar{3},3)$ ]. Такая орбита является также минимальным стратом с размерностью 9. Страт, соответствующий $SU(3{)}^d$, тоже минимален: он представляет собой 9-мерное связное подмногообразие (многообразия $S_{17}$ ), состоящее из 8 -мерных орбит. Из теоремы 2 следует, что каждая инвариантная функция имеет в этом страте по крайней мере две критические орбиты. Для всех функций от $(X,X\mathrm{\top }X$ ) двумя такими орбитами являются $\dot{X}\mathrm{\top }X=$ $=\pm 2/3X$.